Номер 3, страница 259 - гдз по физике 9 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 10. Строение Вселенной. Элементы научной картины мира. Параграф 51. Геоцентрическая и гелиоцентрическая системы мира. Законы Кеплера. Задания и упражнения - номер 3, страница 259.

Условие.

3. Планета Марс находится от Солнца на расстоянии, равном примерно $228 \cdot 10^6$ км, а Земля — на расстоянии, равном примерно $150 \cdot 10^6$ км. За какое время Марс совершает полный оборот вокруг Солнца?

Решение.

Дано:

Расстояние от Марса до Солнца, $a_М = 228 \cdot 10^6$ км

Расстояние от Земли до Солнца, $a_З = 150 \cdot 10^6$ км

Период обращения Земли вокруг Солнца, $T_З = 1$ год

Перевод в систему СИ:

$a_М = 228 \cdot 10^6 \text{ км} = 228 \cdot 10^9 \text{ м} = 2.28 \cdot 10^{11} \text{ м}$

$a_З = 150 \cdot 10^6 \text{ км} = 150 \cdot 10^9 \text{ м} = 1.5 \cdot 10^{11} \text{ м}$

$T_З = 1 \text{ год} \approx 365.25 \text{ суток} = 365.25 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} \approx 3.156 \cdot 10^7 \text{ с}$

Найти:

Период обращения Марса вокруг Солнца, $T_М$ - ?

Решение:

Для решения этой задачи используется третий закон Кеплера, который устанавливает связь между периодами обращения планет вокруг Солнца и радиусами их орбит (в задаче используются средние расстояния до Солнца).

Третий закон Кеплера гласит, что квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:

$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}$

где $T_1$ и $T_2$ — периоды обращения двух планет, а $a_1$ и $a_2$ — большие полуоси их орбит (средние расстояния до Солнца).

Применим этот закон для Марса (индекс М) и Земли (индекс З):

$\frac{T_М^2}{T_З^2} = \frac{a_М^3}{a_З^3}$

Из этой формулы необходимо выразить искомый период обращения Марса $T_М$:

$T_М^2 = T_З^2 \cdot \frac{a_М^3}{a_З^3} = T_З^2 \cdot \left(\frac{a_М}{a_З}\right)^3$

$T_М = \sqrt{T_З^2 \cdot \left(\frac{a_М}{a_З}\right)^3} = T_З \cdot \left(\frac{a_М}{a_З}\right)^{3/2}$

Для удобства расчетов можно использовать период обращения Земли в годах ($T_З = 1$ год), а расстояния — в километрах, так как в дроби $\frac{a_М}{a_З}$ единицы измерения сократятся, и результат для $T_М$ будет получен в годах.

Подставим числовые значения из условия задачи:

$T_М = 1 \text{ год} \cdot \left(\frac{228 \cdot 10^6 \text{ км}}{150 \cdot 10^6 \text{ км}}\right)^{3/2}$

Сначала вычислим отношение расстояний:

$\frac{228}{150} = 1.52$

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$T_М = 1 \cdot (1.52)^{3/2} = (1.52)^{1.5}$

Вычислим значение степени:

$(1.52)^{1.5} = \sqrt{1.52^3} = \sqrt{3.511808} \approx 1.874$

Таким образом, период обращения Марса составляет примерно 1.874 земных года.

$T_М \approx 1.874$ года

Можно также выразить это время в земных сутках, зная, что в земном году примерно 365.25 суток:

$T_М \approx 1.874 \cdot 365.25 \text{ суток} \approx 684.5$ суток

Небольшое расхождение с известным фактическим значением периода обращения Марса (около 687 суток) объясняется использованием в условии задачи округленных значений расстояний до Солнца.

Ответ: Марс совершает полный оборот вокруг Солнца примерно за 1.874 земных года, или приблизительно за 684.5 земных суток.