Номер 2, страница 209 - гдз по физике 9 класс учебник Изергин

Глава VI. Гравитация и Вселенная. Вопросы для повторения главы VI - номер 2, страница 209.

Условие.

2. Между Землёй и Луной, очевидно, есть точка, в которой притяжение космического корабля к Луне и к Земле будет одинаковым по модулю. К какому телу ближе находится эта точка, к Земле или к Луне?

Решение.

Дано:

$M_З$ - масса Земли
$M_Л$ - масса Луны
$\text{m}$ - масса космического корабля
$F_З$ - сила притяжения корабля к Земле
$F_Л$ - сила притяжения корабля к Луне
Условие равенства сил по модулю: $F_З = F_Л$
Известно, что масса Земли значительно больше массы Луны: $M_З > M_Л$

Найти:

К какому телу (Земле или Луне) ближе находится точка, в которой силы притяжения равны?

Решение:

Сила всемирного тяготения между двумя телами определяется законом Ньютона:
$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $m_1$ и $m_2$ — массы тел, а $\text{r}$ — расстояние между их центрами.
Пусть $r_З$ — расстояние от космического корабля до центра Земли, а $r_Л$ — расстояние от корабля до центра Луны.
Сила притяжения корабля к Земле равна:
$F_З = G \frac{M_З \cdot m}{r_З^2}$
Сила притяжения корабля к Луне равна:
$F_Л = G \frac{M_Л \cdot m}{r_Л^2}$
По условию задачи, модули этих сил равны:
$F_З = F_Л$
$G \frac{M_З \cdot m}{r_З^2} = G \frac{M_Л \cdot m}{r_Л^2}$
Сократим одинаковые множители $\text{G}$ и $\text{m}$ в обеих частях уравнения:
$\frac{M_З}{r_З^2} = \frac{M_Л}{r_Л^2}$
Выразим из этого уравнения отношение квадратов расстояний:
$\frac{r_З^2}{r_Л^2} = \frac{M_З}{M_Л}$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей:
$\frac{r_З}{r_Л} = \sqrt{\frac{M_З}{M_Л}}$
Масса Земли ($M_З$) примерно в 81 раз больше массы Луны ($M_Л$). Следовательно, отношение $\frac{M_З}{M_Л} > 1$.
Поскольку $\frac{M_З}{M_Л} > 1$, то и корень из этого отношения будет больше единицы: $\sqrt{\frac{M_З}{M_Л}} > 1$.
Таким образом, мы получаем, что $\frac{r_З}{r_Л} > 1$, что эквивалентно $r_З > r_Л$.
Это означает, что расстояние от точки равновесия до Земли ($r_З$) больше, чем расстояние от этой точки до Луны ($r_Л$).
Следовательно, чтобы гравитационное притяжение со стороны массивной Земли уравновесилось притяжением со стороны гораздо менее массивной Луны, космический корабль должен находиться значительно дальше от Земли и ближе к Луне.

Ответ: Эта точка находится ближе к Луне.