Обсуди с товарищами, страница 251 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Ответь на вопросы. § 51. Типы оптических спектров. Глава 3. Световые явления. Электромагнитные волны - страница 251.

В 1885 г. швейцарский математик и физик И. Бальмер, анализируя линии атомного спектра водорода, лежащие в видимом диапазоне (см. рис. 193, б, д), заметил, что их длины волн можно выразить следующим образом:

где k — некоторая постоянная. Бальмеру удалось записать одну общую формулу для этих четырёх длин волн и предсказать с её помощью существование других линий в спектре водорода. Попробуйте записать эту формулу.

Дано:

Эмпирические формулы для длин волн первых четырех линий видимого спектра атома водорода:

$ \lambda_\alpha = \frac{9k}{5} $

$ \lambda_\beta = \frac{4k}{3} $

$ \lambda_\gamma = \frac{25k}{21} $

$ \lambda_\delta = \frac{9k}{8} $

где $k$ — некоторая постоянная.

Найти:

Общую формулу, которая описывает все эти четыре длины волны.

Решение:

Задача состоит в поиске единой математической закономерности, объединяющей приведенные выражения. Спектральные линии обозначены последовательными буквами греческого алфавита (α, β, γ, δ), что позволяет предположить их связь с последовательными целыми числами. В физике для серии Бальмера, к которой относятся эти линии, принято использовать нумерацию, начинающуюся с $n=3$.

Сопоставим каждой линии целочисленный параметр $n$:

для линии $\alpha$ примем $n=3$;

для линии $\beta$ примем $n=4$;

для линии $\gamma$ примем $n=5$;

для линии $\delta$ примем $n=6$.

Теперь проанализируем, как можно выразить каждую дробь в формулах через соответствующее значение $n$.

1. Для линии $\alpha$ ($n=3$):

$ \lambda_\alpha = k \cdot \frac{9}{5} $. Заметим, что числитель $9 = 3^2 = n^2$, а знаменатель $5 = 9 - 4 = 3^2 - 4 = n^2 - 4$. Формула принимает вид: $ \lambda_\alpha = k \frac{n^2}{n^2 - 4} $.

2. Для линии $\beta$ ($n=4$):

$ \lambda_\beta = k \cdot \frac{4}{3} $. Чтобы числитель стал равен $n^2 = 4^2 = 16$, умножим дробь на $4/4$:

$ \frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{16}{12} $. Теперь числитель равен $16 = 4^2 = n^2$, а знаменатель $12 = 16 - 4 = 4^2 - 4 = n^2 - 4$. Формула принимает вид: $ \lambda_\beta = k \frac{n^2}{n^2 - 4} $.

3. Для линии $\gamma$ ($n=5$):

$ \lambda_\gamma = k \cdot \frac{25}{21} $. Числитель $25 = 5^2 = n^2$, а знаменатель $21 = 25 - 4 = 5^2 - 4 = n^2 - 4$. Формула принимает вид: $ \lambda_\gamma = k \frac{n^2}{n^2 - 4} $.

4. Для линии $\delta$ ($n=6$):

$ \lambda_\delta = k \cdot \frac{9}{8} $. Чтобы числитель стал равен $n^2 = 6^2 = 36$, умножим дробь на $4/4$:

$ \frac{9}{8} = \frac{9 \cdot 4}{8 \cdot 4} = \frac{36}{32} $. Теперь числитель равен $36 = 6^2 = n^2$, а знаменатель $32 = 36 - 4 = 6^2 - 4 = n^2 - 4$. Формула принимает вид: $ \lambda_\delta = k \frac{n^2}{n^2 - 4} $.

Таким образом, все четыре длины волны подчиняются единой закономерности. Эта общая формула, известная как формула Бальмера, позволяет рассчитать длины волн всех линий в данной серии спектра водорода.

Ответ: Общая формула для длин волн в видимом спектре водорода (серия Бальмера) имеет вид: $ \lambda_n = k \frac{n^2}{n^2 - 4} $, где $k$ — постоянная, а $n$ — целое число, принимающее значения $3, 4, 5, \dots$