Страница 235 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

При какой частоте вращения зубчатого колеса в опыте Физо наступало первое затмение, если колесо имело 720 зубцов?

Опыт Физо был одним из первых методов измерения скорости света в земных условиях. В этом эксперименте луч света направлялся на удаленное зеркало через зазоры во вращающемся зубчатом колесе. Скорость вращения колеса подбиралась таким образом, чтобы за время, пока свет доходит до зеркала и возвращается, колесо успевало повернуться, и отраженный луч перекрывался следующим зубцом. Это явление называется затемнением.

Для решения данной задачи необходимо использовать параметры оригинальной установки Физо (расстояние до зеркала) и современное значение скорости света, так как они не даны в условии явно.

Число зубцов на колесе, $N = 720$

Расстояние до зеркала, $L = 8633$ м (историческое значение из опыта Физо)

Скорость света, $c \approx 3 \times 10^8$ м/с

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

Частоту вращения колеса $\nu$, при которой наступает первое затемнение.

Сначала определим время $t$, за которое свет проходит путь от колеса до зеркала и обратно. Общее расстояние составляет $2L$.

$t = \frac{2L}{c}$

У зубчатого колеса имеется $N$ зубцов и $N$ промежутков (зазоров) между ними. Всего получается $2N$ равных секторов (зубцы и зазоры) на один полный оборот ($2\pi$ радиан). Первое затемнение произойдет, когда за время полета света $t$ колесо повернется на угол, равный угловой ширине одного такого сектора. То есть, место зазора, через который свет прошел изначально, займет соседний зубец. Угол такого поворота $\Delta\phi$ составляет:

$\Delta\phi = \frac{2\pi}{2N} = \frac{\pi}{N}$

С другой стороны, угол поворота $\Delta\phi$ связан с угловой скоростью $\omega$ и временем $t$ через соотношение $\Delta\phi = \omega t$. Угловая скорость $\omega$ выражается через частоту вращения $\nu$ (в оборотах в секунду, или Гц) как $\omega = 2\pi\nu$.

Подставив все известные соотношения в одно уравнение, получаем:

$\frac{\pi}{N} = (2\pi\nu)t = (2\pi\nu)\frac{2L}{c}$

Теперь из этого уравнения можно выразить искомую частоту $\nu$. Сократим $\pi$ в обеих частях:

$\frac{1}{N} = \frac{4\nu L}{c}$

Отсюда находим частоту:

$\nu = \frac{c}{4NL}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$\nu = \frac{3 \times 10^8 \text{ м/с}}{4 \cdot 720 \cdot 8633 \text{ м}} = \frac{300000000}{24863040} \approx 12.066$ Гц

Округлив результат до десятых, получаем значение частоты вращения, при которой наблюдалось первое затемнение. Стоит отметить, что в оригинальном эксперименте Физо измерил частоту вращения 12.6 Гц и, используя ее, вычислил скорость света, получив значение $3.13 \times 10^8$ м/с. Наше вычисление, основанное на современном значении скорости света, дает очень близкий результат.

Ответ: частота вращения зубчатого колеса при первом затемнении составляла примерно 12.1 Гц.