Номер 2, страница 186 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

2. В каком диапазоне длины волны может работать приемник, если емкость конденсатора в его колебательном контуре плавно изменяется от 50 до 500 пФ, а индуктивность катушки постоянна и равна 2 мкГн?

Дано:

$C_{min} = 50 \text{ пФ} = 50 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 5 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}$

$C_{max} = 500 \text{ пФ} = 500 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 5 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}$

$L = 2 \text{ мкГн} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$

Скорость света в вакууме $c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

Диапазон длин волн $\lambda_{min} - \lambda_{max}$

Решение:

Приемник настраивается в резонанс с приходящей электромагнитной волной. Длина волны $\lambda$, на которую настроен колебательный контур, связана с его параметрами — индуктивностью $L$ и емкостью $C$ — через формулу Томсона для периода электромагнитных колебаний.

Период собственных колебаний в контуре определяется по формуле Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Длина волны связана с периодом и скоростью света соотношением:

$\lambda = c \cdot T$

Объединив эти две формулы, получим зависимость длины волны от параметров контура:

$\lambda = 2\pi c\sqrt{LC}$

Поскольку индуктивность катушки $L$ постоянна, диапазон принимаемых длин волн определяется диапазоном изменения емкости конденсатора $C$. Минимальной длине волны $\lambda_{min}$ соответствует минимальная емкость $C_{min}$, а максимальной длине волны $\lambda_{max}$ — максимальная емкость $C_{max}$.

Найдем минимальную длину волны, подставив значение $C_{min}$:

$\lambda_{min} = 2\pi c\sqrt{LC_{min}} = 2 \cdot 3.14 \cdot 3 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{2 \cdot 10^{-6} \cdot 50 \cdot 10^{-12}} \text{ (м)}$

$\lambda_{min} = 18.84 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{100 \cdot 10^{-18}} = 18.84 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{10^{-16}} = 18.84 \cdot 10^8 \cdot 10^{-8} = 18.84 \text{ м}$

Теперь найдем максимальную длину волны, подставив значение $C_{max}$:

$\lambda_{max} = 2\pi c\sqrt{LC_{max}} = 2 \cdot 3.14 \cdot 3 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{2 \cdot 10^{-6} \cdot 500 \cdot 10^{-12}} \text{ (м)}$

$\lambda_{max} = 18.84 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{1000 \cdot 10^{-18}} = 18.84 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{10 \cdot 10^{-16}} = 18.84 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{10} \cdot 10^{-8}$

$\lambda_{max} = 18.84 \cdot \sqrt{10} \approx 18.84 \cdot 3.162 \approx 59.57 \text{ м}$

Округлив полученные значения, получаем диапазон длин волн от 18,8 м до 59,6 м.

Ответ: приемник может работать в диапазоне длин волн от 18,8 м до 59,6 м.