Номер 8, страница 33, часть 3 - гдз по математике 1 класс учебник Петерсон

8 Построй в тетради отрезок $AB = 7 \text{ см}$. Отметь на нём две точки так, чтобы образовались отрезки длиной $1 \text{ см}$, $2 \text{ см}$, $3 \text{ см}$, $4 \text{ см}$, $5 \text{ см}$.

Для решения этой задачи нам нужно на отрезке АБ длиной 7 см разместить две точки, назовем их С и D, таким образом, чтобы среди всех получившихся отрезков были отрезки с длинами 1 см, 2 см, 3 см, 4 см и 5 см.

Пусть отрезок АБ лежит на координатной прямой, где точка А соответствует координате 0, а точка В — координате 7. Две новые точки C и D делят отрезок AB на три меньших отрезка: AC, CD и DB. Обозначим их длины как $x, y, z$ соответственно:

• $x = |AC|$
• $y = |CD|$
• $z = |DB|$

Сумма длин этих отрезков равна длине всего отрезка АБ: $x + y + z = 7$ см.

Всего на рисунке теперь четыре точки: A, C, D, B. Рассмотрим все возможные отрезки, которые можно составить с их помощью (кроме самого отрезка AB), и выразим их длины через $x, y, z$:

• $|AC| = x$
• $|CD| = y$
• $|DB| = z$
• $|AD| = |AC| + |CD| = x+y$
• $|CB| = |CD| + |DB| = y+z$

Таким образом, набор из пяти длин {$x, y, z, x+y, y+z$} должен быть равен набору {1, 2, 3, 4, 5}.

Из этого следует, что $x, y, z$ должны быть тремя числами из набора {1, 2, 3, 4, 5}, а их сумма должна равняться 7. Единственная комбинация таких трех различных чисел — это 1, 2 и 4, так как $1 + 2 + 4 = 7$.

Теперь нужно проверить, какой порядок этих длин ($x, y, z$) даст нам нужный набор отрезков. Рассмотрим один из возможных порядков.

Пусть $x=2$ см, $y=1$ см, $z=4$ см. Проверим, какие длины получатся:

• $x = 2$
• $y = 1$
• $z = 4$
• $x+y = 2+1 = 3$
• $y+z = 1+4 = 5$

Набор длин: {2, 1, 4, 3, 5}, что соответствует требуемому набору {1, 2, 3, 4, 5}. Этот вариант подходит.

Чтобы построить отрезки с такими длинами, нужно:

1. Начертить отрезок АБ длиной 7 см.
2. От точки А отмерить 2 см и поставить точку. Назовем ее С. Длина отрезка АС будет равна 2 см.
3. От точки С отмерить 1 см в сторону точки В и поставить точку. Назовем ее D. Длина отрезка CD будет равна 1 см.

При таком расположении точек С и D, точка С будет находиться на расстоянии 2 см от А, а точка D — на расстоянии $2+1=3$ см от А. Давайте проверим длины всех образовавшихся отрезков:

• $|АС| = 2$ см.
• $|СD| = 1$ см.
• $|DB| = 7 - 3 = 4$ см.
• $|AD| = 3$ см.
• $|СВ| = 7 - 2 = 5$ см.

Действительно, мы получили отрезки длиной 1, 2, 3, 4 и 5 см. Задача решена.

(Примечание: существует и симметричное решение, когда отрезки, на которые делится АБ, имеют длины 4 см, 1 см и 2 см. В этом случае точки нужно было бы отметить на расстоянии 4 см и 5 см от точки А).

Ответ: На отрезке АБ нужно отметить две точки: одну на расстоянии 2 см от одного из концов (например, от А), а вторую — на расстоянии 3 см от того же конца.