Страница 40, часть 1 - гдз по математике 1 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Сколько единиц присчитали? Сколько отсчитали? Как записать короче? Как проще изобразить?

$2 + 1 + 1 = \text{[]}$

$2 + \text{[]} = \text{[]}$

$4 - 1 - 1 - 1 = \text{[]}$

$4 - \text{[]} = \text{[]}$

Сделай вывод.

Присчитывание и отсчитывание единиц на числовом отрезке

$2 + 2 = 4$

$4 - 3 = 1$

К числу 2 присчитали

2 единицы

От числа 4 отсчитали

3 единицы

Рассмотрим задачу по частям и заполним пропуски в выражениях.

Сколько единиц присчитали?

В первом примере (слева) лягушка начинает с числа 2 и делает два прыжка вправо, каждый раз прибавляя по одной единице ($+1$). Чтобы узнать общее количество присчитанных единиц, нужно их сложить: $1 + 1 = 2$.

Ответ: Присчитали 2 единицы.

Сколько отсчитали?

Во втором примере (справа) лягушка начинает с числа 4 и делает три прыжка влево, каждый раз вычитая по одной единице ($-1$). Чтобы узнать общее количество отсчитанных единиц, нужно их сложить: $1 + 1 + 1 = 3$.

Ответ: Отсчитали 3 единицы.

Как записать короче?

Чтобы записать выражения короче, нужно заменить последовательное прибавление или вычитание единиц одним действием с их общей суммой. Заполним пропуски в примерах:

Первый пример:
$2 + 1 + 1 = 4$
Короткая запись, где $1+1=2$:
$2 + 2 = 4$

Второй пример:
$4 - 1 - 1 - 1 = 1$
Короткая запись, где $1+1+1=3$:
$4 - 3 = 1$

Ответ: Записи $2 + 2 = 4$ и $4 - 3 = 1$ являются более короткими.

Как проще изобразить?

Вместо нескольких маленьких дуг, обозначающих каждый отдельный шаг (прыжок), можно нарисовать одну большую дугу, которая показывает весь путь сразу. Для первого примера это будет одна дуга от 2 до 4 со знаком $+2$. Для второго примера — одна дуга от 4 до 1 со знаком $-3$. Это наглядно показано в рамке с примерами про бабочку.

Ответ: Проще изобразить действие одной большой дугой, подписав общее количество прибавленных или вычтенных единиц.

Сделай вывод.

Прибавлять или вычитать число можно по частям (например, по одной единице), а можно сразу всё число целиком. Результат от этого не изменится. Изображать на числовом отрезке и записывать математическое действие проще и быстрее, если выполнять его за один шаг, а не за несколько.

Ответ: Присчитывание (или отсчитывание) нескольких единиц по очереди дает тот же результат, что и присчитывание (или отсчитывание) их суммы за один раз.

2 Выполни действия устно. Проверь своё решение с помощью числового отрезка. Что ты замечаешь?

$1 + 2 = \boxed{}$ $1 + 3 = \boxed{}$ $2 + 2 = \boxed{}$

$3 - 2 = \boxed{}$ $4 - 3 = \boxed{}$ $4 - 2 = \boxed{}$

│────────│────────│────────│────────│

1 2 3 4

1 + 2
Сначала выполняем сложение: $1 + 2 = 3$.
Теперь проверим решение с помощью числового отрезка. Находим на отрезке число 1 и двигаемся от него вправо (в сторону увеличения) на 2 шага. Сначала попадаем в 2, потом в 3. Результат совпадает.
Ответ: 3

3 - 2
Выполняем вычитание: $3 - 2 = 1$.
Проверяем на числовом отрезке. Находим число 3 и двигаемся от него влево (в сторону уменьшения) на 2 шага. Сначала попадаем в 2, потом в 1. Результат совпадает.
Ответ: 1

1 + 3
Выполняем сложение: $1 + 3 = 4$.
Проверяем на числовом отрезке. Находим число 1 и делаем 3 шага вправо. Попадаем в 4. Результат совпадает.
Ответ: 4

4 - 3
Выполняем вычитание: $4 - 3 = 1$.
Проверяем на числовом отрезке. Находим число 4 и делаем 3 шага влево. Попадаем в 1. Результат совпадает.
Ответ: 1

2 + 2
Выполняем сложение: $2 + 2 = 4$.
Проверяем на числовом отрезке. Находим число 2 и делаем 2 шага вправо. Попадаем в 4. Результат совпадает.
Ответ: 4

4 - 2
Выполняем вычитание: $4 - 2 = 2$.
Проверяем на числовом отрезке. Находим число 4 и делаем 2 шага влево. Попадаем в 2. Результат совпадает.
Ответ: 2

Что ты замечаешь?
Можно заметить, что примеры в каждом столбце связаны друг с другом. Второй пример является обратным действием для первого. Например, в первом столбце мы к 1 прибавили 2 и получили 3 ($1 + 2 = 3$), а во втором примере из полученной суммы 3 вычли 2 и вернулись к исходному числу 1 ($3 - 2 = 1$).
Это показывает, что сложение и вычитание — это взаимообратные операции. Если к числу что-то прибавить, а потом это же число вычесть, то мы вернемся к начальному числу.

3 Придумай свои примеры на присчитывание и отсчитывание нескольких единиц. Работай с числами, которые ты знаешь. Используй линейку как числовой отрезок.

Примеры на присчитывание (сложение)

Присчитывание означает сложение. Чтобы сложить числа на линейке (числовом отрезке), нужно найти первое число и сделать от него несколько "шагов" вправо.

Пример 1: К 4 прибавить 3.
Находим на линейке число 4. Отсчитываем от него вправо 3 единицы (три деления): 5, 6, 7. Получаем число 7.
Записываем пример: $4 + 3 = 7$.
Ответ: 7.

Пример 2: К 6 прибавить 2.
Находим на линейке число 6. Делаем 2 шага вправо: 7, 8. Получаем число 8.
Записываем пример: $6 + 2 = 8$.
Ответ: 8.

Примеры на отсчитывание (вычитание)

Отсчитывание означает вычитание. Чтобы вычесть число на линейке (числовом отрезке), нужно найти первое число и сделать от него несколько "шагов" влево.

Пример 1: Из 9 вычесть 4.
Находим на линейке число 9. Отсчитываем от него влево 4 единицы (четыре деления): 8, 7, 6, 5. Получаем число 5.
Записываем пример: $9 - 4 = 5$.
Ответ: 5.

Пример 2: Из 7 вычесть 3.
Находим на линейке число 7. Делаем 3 шага влево: 6, 5, 4. Получаем число 4.
Записываем пример: $7 - 3 = 4$.
Ответ: 4.

1 Найди на каждом рисунке равные фигуры. Обоснуй свой ответ.

a) а, б, в, г, д, е, ж, з, и

б) а, б, в, г, д, е, ж, з

Равными фигурами называют такие фигуры, которые можно совместить друг с другом наложением. Для этого можно использовать сдвиг (параллельный перенос), поворот и зеркальное отражение. Сравним фигуры на каждом рисунке по количеству клеток и их расположению.

а)

• Фигуры а и в равны. Обе фигуры состоят из 5 клеток и имеют форму креста. Фигуру а можно совместить с фигурой в, если сдвинуть ее вправо и вниз.

• Фигуры б и ж равны. Обе фигуры состоят из 5 клеток и имеют форму буквы «Т». Фигуру б можно совместить с фигурой ж путем сдвига.

• Фигуры г и з равны. Обе фигуры состоят из 4 клеток. Фигура з является зеркальным отражением фигуры г. Если фигуру г мысленно «перевернуть», она совпадет с фигурой з. В геометрии такие фигуры тоже считаются равными.

Ответ: а = в, б = ж, г = з.

б)

• Фигуры а и д равны. Обе фигуры состоят из 4 клеток. Фигуру д можно получить, если повернуть фигуру а на $180^\circ$ (перевернуть «вверх ногами»).

• Фигуры б и г равны. Обе фигуры состоят из 5 клеток и имеют одинаковую Т-образную форму. Фигуру б можно совместить с фигурой г с помощью сдвига.

• Фигуры е и з равны. Обе фигуры состоят из 5 клеток. Фигуру з можно получить из фигуры е путем поворота на $90^\circ$ по часовой стрелке и последующего зеркального отражения. Такие фигуры также являются равными.

Ответ: а = д, б = г, е = з.

2 Что нужно дорисовать и дописать? Выбери по одному заданию из каждого ряда и выполни их в тетради.

5

$4 + \square$

$5 + \square$

$2 + \square$

$1 + \square$

$7 - \square$

$8 - \square$

$5 - \square$

$9 - \square$

В этом задании все примеры решаются так, чтобы в итоге получилось число 5, как показано в ромбе в центре. В верхнем ряду нужно дорисовать фигуры и вписать число, чтобы в сумме получилось 5. В нижнем ряду — зачеркнуть лишние фигуры и вписать их количество, чтобы в остатке получилось 5.

4 + ☐

На картинке 4 красных кружка и 1 желтый. Пример начинается с числа 4. Чтобы в сумме получилось 5, нужно прибавить 1. Это соответствует одному желтому кружку.
Что дописать: в пустой квадрат нужно вписать число 1.
Что дорисовать: ничего, все уже нарисовано.
Пример: $4 + 1 = 5$.
Ответ: Вписать 1.

5 + ☐

На картинке 5 белых кружков. Пример начинается с числа 5. Чтобы в сумме получилось 5, нужно прибавить 0.
Что дописать: в пустой квадрат нужно вписать число 0.
Что дорисовать: ничего, так как мы прибавляем 0.
Пример: $5 + 0 = 5$.
Ответ: Вписать 0.

2 + ☐

На картинке 2 желтых кружка. Пример начинается с числа 2. Чтобы в сумме получилось 5, нужно прибавить $5 - 2 = 3$.
Что дописать: в пустой квадрат нужно вписать число 3.
Что дорисовать: 3 кружка (любого цвета).
Пример: $2 + 3 = 5$.
Ответ: Вписать 3 и дорисовать 3 кружка.

1 + ☐

На картинке 1 красный кружок. Пример начинается с числа 1. Чтобы в сумме получилось 5, нужно прибавить $5 - 1 = 4$.
Что дописать: в пустой квадрат нужно вписать число 4.
Что дорисовать: 4 кружка (любого цвета).
Пример: $1 + 4 = 5$.
Ответ: Вписать 4 и дорисовать 4 кружка.

7 – ☐

На картинке 7 синих квадратов. Два из них уже зачеркнуты. Чтобы осталось 5, нужно из 7 вычесть 2. Это соответствует двум зачеркнутым квадратам.
Что дописать: в пустой квадрат нужно вписать число 2.
Что зачеркнуть: ничего, 2 квадрата уже зачеркнуты.
Пример: $7 - 2 = 5$.
Ответ: Вписать 2.

8 – ☐

На картинке 8 зеленых треугольников. Пример начинается с числа 8. Чтобы в остатке получилось 5, нужно вычесть $8 - 5 = 3$.
Что дописать: в пустой квадрат нужно вписать число 3.
Что зачеркнуть: 3 треугольника.
Пример: $8 - 3 = 5$.
Ответ: Вписать 3 и зачеркнуть 3 треугольника.

5 – ☐

На картинке 5 синих звезд. Пример начинается с числа 5. Чтобы в остатке получилось 5, нужно вычесть 0.
Что дописать: в пустой квадрат нужно вписать число 0.
Что зачеркнуть: ничего, так как мы вычитаем 0.
Пример: $5 - 0 = 5$.
Ответ: Вписать 0.

9 – ☐

На картинке 9 желтых кружков. Пример начинается с числа 9. Чтобы в остатке получилось 5, нужно вычесть $9 - 5 = 4$.
Что дописать: в пустой квадрат нужно вписать число 4.
Что зачеркнуть: 4 кружка.
Пример: $9 - 4 = 5$.
Ответ: Вписать 4 и зачеркнуть 4 кружка.

3 Вычисли. Догадайся, как связаны между собой ответы каждой строки, как связаны ответы разных столбцов.

$7 + 2 - 4$ $4 + 4 - 6$ $7 + 0 - 4$

$9 - 9 + 1$ $8 - 5 + 3$ $2 + 4 + 1$

7 + 2 - 4

Сначала выполним сложение: $7 + 2 = 9$.

Затем из результата вычтем 4: $9 - 4 = 5$.

Ответ: 5

4 + 4 - 6

Выполним сложение: $4 + 4 = 8$.

Далее выполним вычитание: $8 - 6 = 2$.

Ответ: 2

7 + 0 - 4

Сначала сложим: $7 + 0 = 7$.

Теперь вычтем: $7 - 4 = 3$.

Ответ: 3

9 - 9 + 1

Выполняем действия по порядку. Сначала вычитание: $9 - 9 = 0$.

Затем сложение: $0 + 1 = 1$.

Ответ: 1

8 - 5 + 3

Сначала вычитаем: $8 - 5 = 3$.

Затем прибавляем: $3 + 3 = 6$.

Ответ: 6

2 + 4 + 1

Складываем первые два числа: $2 + 4 = 6$.

К результату прибавляем третье число: $6 + 1 = 7$.

Ответ: 7

Теперь проанализируем полученные ответы.

Ответы первой строки: 5, 2, 3.

Ответы второй строки: 1, 6, 7.

Как связаны между собой ответы каждой строки

В ответах каждой отдельной строки (5, 2, 3 и 1, 6, 7) нет явной и простой арифметической закономерности, такой как постоянное увеличение или уменьшение на одно и то же число.

Ответ: Внутри каждой строки ответы не связаны простой арифметической последовательностью.

Как связаны ответы разных столбцов

Сравним ответы в каждом столбце (ответ из первой строки с ответом из второй строки).

Первый столбец: 5 и 1. Разница: $5 - 1 = 4$.

Второй столбец: 2 и 6. Разница: $6 - 2 = 4$.

Третий столбец: 3 и 7. Разница: $7 - 3 = 4$.

Видно, что ответ во второй строке каждого столбца на 4 больше, чем ответ в первой строке того же столбца.

Ответ: Ответ в каждом столбце второй строки на 4 больше, чем ответ в соответствующем столбце первой строки.

1 а) Покажи с помощью счётных палочек, на какие две части можно разбить число 10. А на какие три части?

б) Пользуясь домиком числа 10, вычисли.

$3 + 7$ $10 - 4$ $9 + 1$ $10 - 8$

$10 - 3$ $4 + 6$ $10 - 9$ $8 + 2$

Что ты замечаешь?

а)

Чтобы показать, на какие две части можно разбить число 10, нужно найти все пары чисел, которые в сумме дают 10. Эти пары как раз показаны в "домике" на картинке. Если мы возьмем 10 счётных палочек, их можно разделить на две группы следующими способами:

1 и 9 (потому что $1 + 9 = 10$)

2 и 8 (потому что $2 + 8 = 10$)

3 и 7 (потому что $3 + 7 = 10$)

4 и 6 (потому что $4 + 6 = 10$)

5 и 5 (потому что $5 + 5 = 10$)

Чтобы разбить число 10 на три части, нужно найти три числа, сумма которых равна 10. Вот несколько примеров:

1, 2 и 7 (потому что $1 + 2 + 7 = 10$)

1, 4 и 5 (потому что $1 + 4 + 5 = 10$)

2, 3 и 5 (потому что $2 + 3 + 5 = 10$)

3, 3 и 4 (потому что $3 + 3 + 4 = 10$)

Ответ: На две части: 1 и 9, 2 и 8, 3 и 7, 4 и 6, 5 и 5. На три части (примеры): 1, 2 и 7; 2, 3 и 5; 3, 3 и 4.

б)

Пользуясь "домиком числа 10", который показывает состав числа 10, решим примеры:

$3 + 7 = 10$

$10 - 4 = 6$

$9 + 1 = 10$

$10 - 8 = 2$

$10 - 3 = 7$

$4 + 6 = 10$

$10 - 9 = 1$

$8 + 2 = 10$

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что все примеры основаны на составе числа 10. Примеры на сложение показывают, какие два числа в сумме дают 10. А примеры на вычитание показывают, что если из 10 вычесть одно из этих чисел, то получится второе. Это значит, что сложение и вычитание — это взаимообратные действия. Например, зная, что $3 + 7 = 10$, мы можем легко найти, что $10 - 3 = 7$.

Ответ: $3 + 7 = 10$; $10 - 4 = 6$; $9 + 1 = 10$; $10 - 8 = 2$; $10 - 3 = 7$; $4 + 6 = 10$; $10 - 9 = 1$; $8 + 2 = 10$. Замечание: все примеры связаны с составом числа 10; сложение и вычитание являются взаимообратными действиями.

2 а) По каким признакам можно разбить на части группу фигур? Составь для каждого случая 4 равенства (устно). Запиши в тетради один столбик по своему выбору.

РАЗМЕР

$1 + 9 = \Box$

$\Box + \Box = \Box$

$\Box - \Box = \Box$

$\Box - \Box = \Box$

?

$4 + 6 = \Box$

$\Box + \Box = \Box$

$\Box - \Box = \Box$

$\Box - \Box = \Box$

?

$3 + 7 = \Box$

$\Box + \Box = \Box$

$\Box - \Box = \Box$

$\Box - \Box = \Box$

б) Нарисуй в тетради группу фигур для выражения 2 + 8. Составь по рисунку 4 равенства и объясни их смысл.

а)

Группу фигур на рисунке можно разбить на части по трем разным признакам. Общее количество фигур в группе — 10.

1. По признаку "РАЗМЕР"

В группе есть 1 большая фигура (красный круг) и 9 маленьких фигур. На основе этого составлены 4 равенства:

$1 + 9 = 10$
$9 + 1 = 10$
$10 - 1 = 9$
$10 - 9 = 1$

2. По признаку "ЦВЕТ" (первый столбик со знаком вопроса)

В группе 4 синие фигуры и 6 красных фигур. На основе этого можно составить 4 равенства:

$4 + 6 = 10$
$6 + 4 = 10$
$10 - 4 = 6$
$10 - 6 = 4$

3. По признаку "ФОРМА" (второй столбик со знаком вопроса)

В группе 3 треугольника и 7 кругов. На основе этого можно составить 4 равенства:

$3 + 7 = 10$
$7 + 3 = 10$
$10 - 3 = 7$
$10 - 7 = 3$

Запишем в тетрадь один столбик по своему выбору, например, по признаку "форма":

$3 + 7 = 10$
$7 + 3 = 10$
$10 - 3 = 7$
$10 - 7 = 3$

Ответ: Группу фигур можно разбить на части по признакам: размер (1 большая и 9 маленьких), цвет (4 синих и 6 красных) и форма (3 треугольника и 7 кругов). Пример столбика равенств для признака "форма": $3 + 7 = 10$; $7 + 3 = 10$; $10 - 3 = 7$; $10 - 7 = 3$.

б)

Для выражения $2 + 8$ можно нарисовать группу фигур, состоящую из двух частей, например, 2 квадрата и 8 кругов. Всего в группе будет $2+8=10$ фигур.

По этому рисунку можно составить 4 связанных равенства:

$2 + 8 = 10$
$8 + 2 = 10$
$10 - 2 = 8$
$10 - 8 = 2$

Смысл этих равенств:

- $2 + 8 = 10$: Если сложить количество фигур одного вида (2 квадрата) и количество фигур другого вида (8 кругов), получится общее количество фигур (10). Это нахождение целого по его частям.
- $8 + 2 = 10$: От перемены мест слагаемых сумма не меняется. Если к 8 кругам прибавить 2 квадрата, общее количество фигур также будет 10.
- $10 - 2 = 8$: Если из общего количества фигур (10) убрать фигуры одного вида (2 квадрата), то останутся фигуры другого вида (8 кругов). Это нахождение неизвестной части.
- $10 - 8 = 2$: Если из общего количества фигур (10) убрать 8 кругов, то останется 2 квадрата. Это также нахождение неизвестной части.

Ответ: Пример рисунка: 2 квадрата и 8 кругов. Равенства: $2 + 8 = 10$, $8 + 2 = 10$, $10 - 2 = 8$, $10 - 8 = 2$. Эти равенства показывают связь между частями (количеством фигур каждого вида) и целым (общим количеством фигур).

3 Реши уравнения с комментированием и сделай проверку.

$x + 4 = 10$

$10 - x = 1$

$x - 10 = 0$

В этом уравнении $x$ – это неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$x = 10 - 4$

$x = 6$

Проверка:

Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$6 + 4 = 10$

$10 = 10$

Равенство верное, следовательно, уравнение решено правильно.

Ответ: $x = 6$

В этом уравнении $x$ – это неизвестное вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$x = 10 - 1$

$x = 9$

Проверка:

Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$10 - 9 = 1$

$1 = 1$

Равенство верное, следовательно, уравнение решено правильно.

Ответ: $x = 9$

В этом уравнении $x$ – это неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$x = 0 + 10$

$x = 10$

Проверка:

Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$10 - 10 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, следовательно, уравнение решено правильно.

Ответ: $x = 10$