Страница 163 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Неге теңдеуді төртінші дәрежеге шығару берілген теңдеуге бөгде түбірлердің пайда болуына әкеледі? Жауабын түсіндіріндер.

Теңдеудің екі жағын да жұп дәрежеге, мысалы, төртінші дәрежеге шығару, теңдеудің түбірлер жиынын кеңейте алатын, яғни мәндес емес түрлендіру болып табылады. Бұл бөгде түбірлердің пайда болуына әкелуі мүмкін. Мұның себебін қарастырайық.

Бастапқы теңдеу $f(x) = g(x)$ түрінде берілсін. Оның екі жағын да төртінші дәрежеге шығарсақ, $ (f(x))^4 = (g(x))^4 $ теңдеуін аламыз. Бұл теңдеуді келесі түрде жазуға болады:

$(f(x))^4 - (g(x))^4 = 0$

Квадраттар айырымы формуласын $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ екі рет қолданып, өрнекті көбейткіштерге жіктейміз:

$((f(x))^2 - (g(x))^2)((f(x))^2 + (g(x))^2) = 0$

$(f(x) - g(x))(f(x) + g(x))((f(x))^2 + (g(x))^2) = 0$

Бұл теңдеудің шешімдері келесі жағдайларда табылады:

1. $f(x) - g(x) = 0$, яғни $f(x) = g(x)$. Бұл бастапқы теңдеудің түбірлері.
2. $f(x) + g(x) = 0$, яғни $f(x) = -g(x)$. Бұл теңдеудің түбірлері бастапқы теңдеу үшін бөгде болуы мүмкін.
3. $(f(x))^2 + (g(x))^2 = 0$. Бұл теңдеу $f(x)=0$ және $g(x)=0$ болғанда ғана орындалады.

Көріп отырғанымыздай, дәрежеге шығарылған теңдеудің шешімдер жиыны бастапқы теңдеудің шешімдерінен басқа, $f(x) = -g(x)$ теңдеуінің де шешімдерін қамтиды. Егер $f(x) = -g(x)$ теңдеуінің түбірлері бастапқы $f(x) = g(x)$ теңдеуін қанағаттандырмаса, онда олар бөгде түбірлер болып саналады.

Мысал: $\sqrt[4]{x-1} = -2$ теңдеуін қарастырайық. Арифметикалық төртінші дәрежелі түбір теріс сан бола алмайтындықтан, бұл теңдеудің шешімі жоқ екені анық. Алайда, екі жағын да төртінші дәрежеге шығарсақ:

$(\sqrt[4]{x-1})^4 = (-2)^4$

$x - 1 = 16$

$x = 17$

Алынған $x=17$ мәнін бастапқы теңдеуге қойып тексереміз:

$\sqrt[4]{17-1} = \sqrt[4]{16} = 2$. Ал теңдеудің оң жағы $-2$. $2 \neq -2$ болғандықтан, $x=17$ – бөгде түбір.

Ответ: Теңдеуді төртінші (жұп) дәрежеге шығару $f(x)=g(x)$ теңдеуін $(f(x))^4=(g(x))^4$ теңдеуіне ауыстырады, ал бұл соңғы теңдеу $f(x)=g(x)$ және $f(x)=-g(x)$ теңдеулерінің жиынтығына мәндес. $f(x)=-g(x)$ теңдеуінің түбірлері бастапқы теңдеу үшін бөгде болып табылады, сондықтан олардың пайда болуына әкеледі.

2. Потенциалдау арқылы берілген теңдеуден салдар-теңдеуге көшу не себепті берілген теңдеудің бөгде түбірлерінің пайда болуына әкеледі?

Потенциалдау — бұл теңдеудің екі жағын да бірдей дәрежеге шығару амалы. Бұл амал нәтижесінде алынған теңдеу бастапқы теңдеудің салдары болып табылады. Салдар-теңдеудің түбірлер жиыны әрқашан бастапқы теңдеудің түбірлер жиынын қамтиды, бірақ одан да кең болуы мүмкін. Осы кеңею бөгде түбірлердің пайда болуына әкеледі.

Бөгде түбірлердің пайда болуының негізгі себептері:

1.Жұп дәрежеге шығару. 1-сұрақта талданғандай, $f(x)=g(x)$ теңдеуін жұп $2k$ дәрежеге шығарғанда, $f(x)^{2k} = g(x)^{2k}$ теңдеуін аламыз. Бұл теңдеу $f(x)=g(x)$ және $f(x)=-g(x)$ теңдеулерінің бірігуіне мәндес. $f(x)=-g(x)$ теңдеуінің түбірлері бөгде түбірлердің негізгі көзі болып табылады. Себебі, $(a)^{2k} = (-a)^{2k}$, яғни жұп дәрежеге шығарғанда таңба туралы ақпарат жоғалады.

2.Мүмкін мәндер жиынының (ММЖ) кеңеюі. Кейбір теңдеулерде айнымалының мүмкін мәндер жиыны шектелген. Потенциалдау бұл шектеулерді жойып жіберуі мүмкін. Мысалы, $\sqrt{A(x)} = B(x)$ иррационал теңдеуін қарастырайық. Бұл теңдеудің ММЖ-сы $A(x) \ge 0$ шартымен анықталады. Сонымен қатар, арифметикалық түбірдің анықтамасы бойынша $B(x) \ge 0$ шарты орындалуы тиіс. Теңдеудің екі жағын квадраттағанда, $A(x) = (B(x))^2$ теңдеуін аламыз. Бұл теңдеуде $B(x) \ge 0$ шарты ескерілмейді, өйткені оң жақта $B(x)$-тің квадраты тұр, ал ол әрқашан теріс емес. Сондықтан, жаңа теңдеудің $B(x) < 0$ шартын қанағаттандыратын түбірлері де болуы мүмкін, олар бастапқы теңдеу үшін бөгде болады.

Мысал: $\sqrt{2x+5} = x+1$.

ММЖ: $2x+5 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2.5$. Сонымен қатар, $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$.

Екі жағын квадраттаймыз: $2x+5 = (x+1)^2 \Rightarrow 2x+5 = x^2+2x+1 \Rightarrow x^2 = 4$.

Бұдан $x_1 = 2$ және $x_2 = -2$ түбірлері шығады.

Тексеру:

• $x=2$: $\sqrt{2(2)+5} = \sqrt{9} = 3$. $x+1 = 2+1=3$. $3=3$, демек, $x=2$ – түбір.
• $x=-2$: $\sqrt{2(-2)+5} = \sqrt{1} = 1$. $x+1 = -2+1=-1$. $1 \neq -1$, демек, $x=-2$ – бөгде түбір. Бұл түбір $x \ge -1$ шартын қанағаттандырмағандықтан пайда болды.

Ответ: Потенциалдау салдар-теңдеуге көшу болып табылады, себебі бұл түрлендіру бастапқы теңдеудің түбірлерін жоғалтпайды, бірақ жаңа, бөгде түбірлерді қосуы мүмкін. Бұл, негізінен, жұп дәрежеге шығарғанда таңбаның жоғалуынан және теңдеудің мүмкін мәндер жиынының кеңеюінен болады. Сондықтан потенциалдау әдісін қолданғаннан кейін табылған түбірлерді міндетті түрде тексеру қажет.

3. Теңдеулер жүйесін шешудің қарастырылған тәсілдерінің қайсысы қолдануға тиімді? Неліктен?

Теңдеулер жүйесін шешудің "ең тиімді" әмбебап тәсілі жоқ. Әдісті таңдау нақты жүйенің құрылымына, теңдеулердің түріне (сызықтық, сызықтық емес, иррационал, т.б.) және олардың күрделілігіне байланысты. Әр әдістің өз артықшылықтары мен қолдану аясы бар.

Негізгі әдістерді және олардың тиімділігін қарастырайық:

1.Алмастыру тәсілі (Метод подстановки).
Қашан тиімді: Жүйедегі теңдеулердің бірінде бір айнымалыны екіншісі арқылы оңай өрнектеуге болатын кезде. Мысалы, $y = 2x - 1$ сияқты теңдеу болса.
Неліктен: Бұл әдіс жүйені бір айнымалысы бар бір теңдеуге келтіруге мүмкіндік береді, бұл есептеуді едәуір жеңілдетеді. Ол көптеген сызықтық және сызықтық емес жүйелер үшін универсалды болып табылады.

2.Алгебралық қосу тәсілі (Метод алгебраического сложения).
Қашан тиімді: Теңдеулердегі бір айнымалының коэффициенттері бірдей немесе қарама-қарсы сандар болғанда. Мысалы, бір теңдеуде $3y$ болса, екіншісінде $-3y$ болса.
Неліктен: Бұл әдіс теңдеулерді қосу немесе азайту арқылы бір айнымалыны бірден жоюға мүмкіндік береді. Бұл ең жылдам және ең аз есептеуді талап ететін әдістердің бірі, егер жүйенің құрылымы осыған сәйкес келсе.

3.Жаңа айнымалы енгізу тәсілі (Метод введения новой переменной).
Қашан тиімді: Жүйе күрделі, симметриялы немесе теңдеулерде бірдей қайталанатын өрнектер болғанда. Мысалы, $x+y$ және $xy$ өрнектері немесе $\frac{1}{x-y}$ және $\frac{1}{x+y}$ өрнектері бар жүйелер.
Неліктен: Бұл әдіс күрделі жүйені қарапайым және стандартты түрге келтіреді. Қайталанатын өрнектерді жаңа айнымалылармен ($u, v$) алмастыру арқылы біз әлдеқайда жеңіл жүйе аламыз, оны шешкеннен кейін бастапқы айнымалыларға ораламыз.

4.Графиктік тәсіл (Графический метод).
Қашан тиімді: Шешімдер санын анықтау үшін немесе жуық шешімдерді табу үшін.
Неліктен: Бұл әдіс жүйенің шешімдерін (функциялардың қиылысу нүктелерін) көрнекі түрде елестетуге мүмкіндік береді. Алайда, оның дәлдігі төмен, әсіресе шешімдер бүтін немесе қарапайым бөлшектер болмаған жағдайда. Нақты жауаптарды табу үшін сирек қолданылады.

Ответ: Теңдеулер жүйесін шешу үшін ең тиімді әдісті таңдау жүйенің құрылымына талдау жасаудан басталады. Егер бір айнымалы оңай өрнектелсе – алмастыру тәсілі ыңғайлы. Егер коэффициенттер бірдей немесе қарама-қарсы болса – қосу тәсілі жылдам нәтиже береді. Егер жүйе күрделі және симметриялы болса – жаңа айнымалы енгізу ең тиімді тәсіл болып табылады. Көп жағдайда ең жақсы нәтижеге жету үшін бірнеше әдістің комбинациясы қолданылады.