Страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дано уравнение $cos^2(\pi - x) + 8cos(\pi + x) = 0$ на отрезке $[90°; 270°]$.

Сначала упростим уравнение, используя формулы приведения:

Поскольку угол $(\pi - x)$ находится во второй четверти (если $x$ — острый угол), где косинус отрицателен, то $cos(\pi - x) = -cos(x)$. Тогда $cos^2(\pi - x) = (-cos(x))^2 = cos^2(x)$.

Поскольку угол $(\pi + x)$ находится в третьей четверти, где косинус также отрицателен, то $cos(\pi + x) = -cos(x)$.

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$cos^2(x) + 8(-cos(x)) = 0$

$cos^2(x) - 8cos(x) = 0$

Вынесем $cos(x)$ за скобки:

$cos(x)(cos(x) - 8) = 0$

Это уравнение распадается на два:

а) $cos(x) = 0$

Общее решение этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

В градусах: $x = 90° + 180°n$.

б) $cos(x) - 8 = 0 \Rightarrow cos(x) = 8$

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$.

Теперь найдем корни, принадлежащие заданному отрезку $[90°; 270°]$, перебирая целые значения $n$ для $x = 90° + 180°n$.

При $n = 0$: $x = 90° + 180° \cdot 0 = 90°$. Этот корень принадлежит отрезку $[90°; 270°]$.

При $n = 1$: $x = 90° + 180° \cdot 1 = 270°$. Этот корень принадлежит отрезку $[90°; 270°]$.

При $n = 2$: $x = 90° + 180° \cdot 2 = 450°$. Этот корень не принадлежит отрезку.

При $n = -1$: $x = 90° + 180° \cdot (-1) = -90°$. Этот корень не принадлежит отрезку.

Следовательно, на заданном отрезке уравнение имеет два корня.

Ответ: $90°, 270°$.

2) Дано уравнение $cos2x - 2sin^2x = -3$ на отрезке $[0°; 180°]$.

Используем формулу косинуса двойного угла $cos2x = 1 - 2sin^2x$. Подставим ее в уравнение:

$(1 - 2sin^2x) - 2sin^2x = -3$

Упростим полученное выражение:

$1 - 4sin^2x = -3$

$-4sin^2x = -3 - 1$

$-4sin^2x = -4$

$sin^2x = 1$

Отсюда получаем два случая:

а) $sin(x) = 1$

Общее решение: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

В градусах: $x = 90° + 360°n$.

б) $sin(x) = -1$

Общее решение: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ (или $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$), где $n \in Z$.

В градусах: $x = -90° + 360°n$ (или $x = 270° + 360°n$).

Теперь выберем корни, принадлежащие заданному отрезку $[0°; 180°]$.

Для случая $sin(x) = 1$ и $x = 90° + 360°n$:

При $n = 0$: $x = 90° + 360° \cdot 0 = 90°$. Этот корень принадлежит отрезку $[0°; 180°]$.

Другие целые значения $n$ дают корни за пределами указанного отрезка.

Для случая $sin(x) = -1$ и $x = 270° + 360°n$:

При $n = 0$: $x = 270°$. Этот корень не принадлежит отрезку $[0°; 180°]$.

При $n = -1$: $x = 270° - 360° = -90°$. Этот корень не принадлежит отрезку.

Таким образом, на заданном отрезке уравнение имеет только один корень.

Ответ: $90°$.

1) Исходное уравнение: $25^{\sqrt{x}} - 124 \cdot 5^{\sqrt{x}} = 125$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется существованием выражения $\sqrt{x}$, что требует $x \ge 0$.
Заметим, что $25 = 5^2$, поэтому $25^{\sqrt{x}} = (5^2)^{\sqrt{x}} = (5^{\sqrt{x}})^2$.
Перепишем уравнение в виде: $(5^{\sqrt{x}})^2 - 124 \cdot 5^{\sqrt{x}} - 125 = 0$.
Это уравнение является квадратным относительно $5^{\sqrt{x}}$. Сделаем замену переменной.
Пусть $y = 5^{\sqrt{x}}$. Так как показательная функция всегда положительна, то $y > 0$.
После замены уравнение принимает вид:
$y^2 - 124y - 125 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-124)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-125) = 15376 + 500 = 15876$.
$\sqrt{D} = \sqrt{15876} = 126$.
Найдем корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{124 + 126}{2} = \frac{250}{2} = 125$.
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{124 - 126}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Проверим корни на соответствие условию $y > 0$.
$y_1 = 125$ удовлетворяет условию $y > 0$.
$y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y > 0$, поэтому этот корень является посторонним.
Выполним обратную замену для $y_1 = 125$:
$5^{\sqrt{x}} = 125$.
Поскольку $125 = 5^3$, получаем:
$5^{\sqrt{x}} = 5^3$.
Приравниваем показатели степени:
$\sqrt{x} = 3$.
Возводим обе части в квадрат:
$x = 3^2 = 9$.
Корень $x = 9$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).
Ответ: 9.

2) Исходное уравнение: $\log_x 5\sqrt{5} - 1,25 = (\log_x \sqrt{5})^2$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице: $x > 0, x \neq 1$.
Упростим логарифмические выражения, используя свойства логарифмов и степеней:
$5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{1/2} = 5^{3/2}$.
$\sqrt{5} = 5^{1/2}$.
Следовательно:
$\log_x 5\sqrt{5} = \log_x (5^{3/2}) = \frac{3}{2} \log_x 5$.
$(\log_x \sqrt{5})^2 = (\log_x (5^{1/2}))^2 = (\frac{1}{2} \log_x 5)^2 = \frac{1}{4}(\log_x 5)^2$.
Также представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $1,25 = \frac{5}{4}$.
Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:
$\frac{3}{2} \log_x 5 - \frac{5}{4} = \frac{1}{4}(\log_x 5)^2$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_x 5$. Уравнение примет вид:
$\frac{3}{2} t - \frac{5}{4} = \frac{1}{4}t^2$.
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:
$6t - 5 = t^2$.
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$t^2 - 6t + 5 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 5. Следовательно, корни:
$t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.
Выполним обратную замену для каждого из корней.
Случай 1: $t = 1$.
$\log_x 5 = 1$.
По определению логарифма, $x^1 = 5$.
Отсюда $x = 5$.
Случай 2: $t = 5$.
$\log_x 5 = 5$.
По определению логарифма, $x^5 = 5$.
Отсюда $x = \sqrt[5]{5}$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$).
$x_1 = 5$. Это число удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = \sqrt[5]{5}$. Это число больше 1 (так как $1^5 = 1$), значит, удовлетворяет ОДЗ.
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: $5; \sqrt[5]{5}$.

340. 1) Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 35 \\ x^2y - xy^2 = 30 \end{cases} $$

Преобразуем уравнения системы. Первое уравнение является разностью квадратов, а во втором можно вынести за скобки общий множитель $xy$.

$$ \begin{cases} (x - y)(x + y) = 35 \\ xy(x - y) = 30 \end{cases} $$

Поскольку правая часть второго уравнения не равна нулю ($30 \neq 0$), то $x-y \neq 0$. Введем новую переменную $u = x-y$. Тогда из второго уравнения получаем $xy = \frac{30}{u}$.

Из первого уравнения $x+y = \frac{35}{u}$.

Теперь воспользуемся известным тождеством: $(x+y)^2 = (x-y)^2 + 4xy$. Подставим в него наши выражения:

$$ \left(\frac{35}{u}\right)^2 = u^2 + 4\left(\frac{30}{u}\right) $$

$$ \frac{1225}{u^2} = u^2 + \frac{120}{u} $$

Умножим обе части на $u^2$ (мы уже установили, что $u \neq 0$):

$$ 1225 = u^4 + 120u $$

$$ u^4 + 120u - 1225 = 0 $$

Это уравнение четвертой степени относительно $u$. Попробуем найти его целые корни, которые должны быть делителями свободного члена $-1225$. Делители числа $1225 = 5^2 \cdot 7^2$ включают $\pm1, \pm5, \pm7, \ldots$.

Проверим $u=5$:

$5^4 + 120(5) - 1225 = 625 + 600 - 1225 = 1225 - 1225 = 0$.

Значит, $u=5$ является корнем уравнения. Это соответствует $x-y=5$.

Теперь, зная $u=x-y=5$, мы можем найти $x+y$. Из уравнения $(x-y)(x+y) = 35$ получаем $5(x+y)=35$, откуда $x+y=7$.

Теперь у нас есть простая система для $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x+y = 7 \\ x-y = 5 \end{cases} $$

Сложив уравнения, получим $2x=12$, откуда $x=6$.

Вычтя второе уравнение из первого, получим $2y=2$, откуда $y=1$.

Таким образом, мы нашли одно решение: $(6, 1)$.

Проверим его, подставив в исходную систему:

$6^2 - 1^2 = 36-1=35$. (Верно)

$6^2(1) - 6(1^2) = 36-6=30$. (Верно)

Для полноты решения отметим, что уравнение $u^4 + 120u - 1225 = 0$ может иметь и другие корни. Разделив многочлен на $(u-5)$, получим: $u^3 + 5u^2 + 25u + 245 = 0$. Этот кубический многочлен имеет один действительный иррациональный корень и два комплексных сопряженных корня. Нахождение этих корней требует использования сложных методов, которые обычно выходят за рамки школьной программы. Поэтому мы ограничимся найденным рациональным решением.

Ответ: $(6, 1)$.

2) Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} xy + x + y = 15 \\ x^2y + y^2x = 54 \end{cases} $$

Преобразуем второе уравнение, вынеся за скобки общий множитель $xy$:

$$ xy(x+y) = 54 $$

Система примет вид:

$$ \begin{cases} xy + (x+y) = 15 \\ xy \cdot (x+y) = 54 \end{cases} $$

Эта система является симметрической относительно переменных $x$ и $y$. Введем новые переменные, используя основные симметрические многочлены: пусть $s_1 = x+y$ и $s_2 = xy$.

В новых переменных система выглядит следующим образом:

$$ \begin{cases} s_1 + s_2 = 15 \\ s_1 \cdot s_2 = 54 \end{cases} $$

Согласно теореме Виета, $s_1$ и $s_2$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (s_1+s_2)t + s_1s_2 = 0$. Подставив значения из нашей системы, получим:

$$ t^2 - 15t + 54 = 0 $$

Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета. Нам нужны два числа, сумма которых равна 15, а произведение равно 54. Эти числа - 6 и 9. Таким образом, корни $t_1=6, t_2=9$.

Это дает нам две возможные пары для $(s_1, s_2)$.

Случай 1: $s_1 = 6$ и $s_2 = 9$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x+y = 6 \\ xy = 9 \end{cases} $$

Переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (x+y)z + xy = 0$:

$$ z^2 - 6z + 9 = 0 $$

$$ (z-3)^2 = 0 $$

Это уравнение имеет один корень $z=3$ кратности 2. Следовательно, $x=3$ и $y=3$.

Случай 2: $s_1 = 9$ и $s_2 = 6$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x+y = 9 \\ xy = 6 \end{cases} $$

Переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (x+y)z + xy = 0$:

$$ z^2 - 9z + 6 = 0 $$

Решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения:

$$ z = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 24}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{2} $$

Отсюда получаем две пары решений для $(x,y)$:

$$ \left(\frac{9 + \sqrt{57}}{2}, \frac{9 - \sqrt{57}}{2}\right) \text{ и } \left(\frac{9 - \sqrt{57}}{2}, \frac{9 + \sqrt{57}}{2}\right) $$

Все найденные пары являются решениями исходной системы.

Ответ: $(3, 3)$; $\left(\frac{9 + \sqrt{57}}{2}, \frac{9 - \sqrt{57}}{2}\right)$; $\left(\frac{9 - \sqrt{57}}{2}, \frac{9 + \sqrt{57}}{2}\right)$.

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2\sqrt{3y+x} - \sqrt{6y-x} = x, \\ \sqrt{3y+x} + \sqrt{6y-x} = 3y \end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:

$3y+x \ge 0$

$6y-x \ge 0$

Из второго уравнения системы, $\sqrt{3y+x} + \sqrt{6y-x} = 3y$, следует, что правая часть $3y$ должна быть неотрицательной, так как левая часть является суммой двух неотрицательных значений. Следовательно, $3y \ge 0$, откуда $y \ge 0$.

Сложим оба уравнения системы:

$(2\sqrt{3y+x} - \sqrt{6y-x}) + (\sqrt{3y+x} + \sqrt{6y-x}) = x + 3y$

$3\sqrt{3y+x} = 3y+x$

Пусть $A = 3y+x$. Тогда уравнение принимает вид $3\sqrt{A} = A$.

Для решения этого уравнения рассмотрим два случая:

1. $A=0$. В этом случае равенство $3\sqrt{0}=0$ является верным.

2. $A>0$. В этом случае можно разделить обе части на $\sqrt{A}$, получим $3 = \sqrt{A}$, откуда, возведя в квадрат, найдем $A=9$.

Таким образом, мы должны рассмотреть два независимых случая.

Случай 1: $3y+x = 0$.

Из этого соотношения выразим $x = -3y$. Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы:

$\sqrt{3y+(-3y)} + \sqrt{6y-(-3y)} = 3y$

$\sqrt{0} + \sqrt{9y} = 3y$

$3\sqrt{y} = 3y$

$\sqrt{y} = y$

Возведем обе части в квадрат: $y = y^2$. Перенеся все в одну сторону, получим $y^2 - y = 0$, или $y(y-1)=0$.

Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y=0$ или $y=1$.

Если $y=0$, то $x = -3(0) = 0$. Получаем решение $(0, 0)$.

Если $y=1$, то $x = -3(1) = -3$. Получаем решение $(-3, 1)$.

Оба решения удовлетворяют условиям ОДЗ.

Случай 2: $3y+x = 9$.

Из этого соотношения следует, что $\sqrt{3y+x} = \sqrt{9} = 3$. Подставим это значение во второе уравнение исходной системы:

$3 + \sqrt{6y-x} = 3y$

$\sqrt{6y-x} = 3y-3$

Из $3y+x=9$ выразим $x = 9-3y$ и подставим в полученное уравнение:

$\sqrt{6y-(9-3y)} = 3y-3$

$\sqrt{9y-9} = 3y-3$

$\sqrt{9(y-1)} = 3(y-1)$

$3\sqrt{y-1} = 3(y-1)$

$\sqrt{y-1} = y-1$

Пусть $B = y-1$. Уравнение $\sqrt{B}=B$ имеет решения $B=0$ и $B=1$.

Если $y-1=0$, то $y=1$. Тогда $x=9-3(1)=6$. Получаем решение $(6, 1)$.

Если $y-1=1$, то $y=2$. Тогда $x=9-3(2)=3$. Получаем решение $(3, 2)$.

Эти решения также удовлетворяют ОДЗ.

Проверка подстановкой всех четырех пар в исходную систему подтверждает, что они являются решениями.

Ответ: $(0, 0), (-3, 1), (6, 1), (3, 2)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2^{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = 512, \\ \lg\sqrt{xy} = \frac{1}{2}\lg{400} \end{cases}$

Найдем ОДЗ. Для существования квадратных корней необходимо, чтобы $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Для существования десятичного логарифма необходимо, чтобы выражение под ним было строго положительным: $\sqrt{xy} > 0$, что эквивалентно $xy > 0$. Объединяя эти условия, получаем $x > 0$ и $y > 0$.

Рассмотрим и преобразуем каждое уравнение системы.

Первое уравнение:

$2^{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = 512$

Так как $512$ это $2^9$, уравнение можно переписать в виде:

$2^{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = 2^9$

Поскольку основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:

$\sqrt{x}+\sqrt{y} = 9$

Второе уравнение:

$\lg\sqrt{xy} = \frac{1}{2}\lg{400}$

Используя свойство логарифма $n\log_a b = \log_a b^n$, преобразуем правую часть:

$\lg\sqrt{xy} = \lg(400^{1/2})$

$\lg\sqrt{xy} = \lg\sqrt{400}$

$\lg\sqrt{xy} = \lg 20$

Поскольку основания логарифмов равны, то и выражения под логарифмами должны быть равны:

$\sqrt{xy} = 20$

Теперь мы имеем эквивалентную систему уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y} = 9, \\ \sqrt{xy} = 20 \end{cases}$

Для упрощения решения введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Учитывая ОДЗ ($x > 0, y > 0$), имеем $a > 0$ и $b > 0$.

Система для новых переменных $a$ и $b$ выглядит так:

$\begin{cases} a+b = 9, \\ ab = 20 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$, то есть:

$t^2 - 9t + 20 = 0$

Решим это уравнение. Можно найти корни подбором (4 и 5) или через дискриминант:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$

$t_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2}$

$t_1 = \frac{10}{2} = 5$, $t_2 = \frac{8}{2} = 4$.

Следовательно, пара $(a,b)$ может принимать значения $(4,5)$ или $(5,4)$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

Случай 1: $a=4, b=5$.

$\sqrt{x}=4 \Rightarrow x=16$

$\sqrt{y}=5 \Rightarrow y=25$

Получаем решение $(16, 25)$.

Случай 2: $a=5, b=4$.

$\sqrt{x}=5 \Rightarrow x=25$

$\sqrt{y}=4 \Rightarrow y=16$

Получаем решение $(25, 16)$.

Обе пары решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(16, 25), (25, 16)$.

Для того чтобы доказать, что два уравнения равносильны (или мәндес), необходимо показать, что множества их решений совпадают. Это, в свою очередь, часто требует сравнения их областей допустимых значений (ОДЗ).

1) $2\log_a f(x) = c$ және $\log_a f^2(x) = c$

Сравним два уравнения. Для равносильности необходимо совпадение их ОДЗ и множеств решений.

Первое уравнение: $2\log_a f(x) = c$.

ОДЗ для этого уравнения определяется условием положительности аргумента логарифма: $f(x) > 0$. Решая уравнение, получаем: $\log_a f(x) = \frac{c}{2}$, что эквивалентно $f(x) = a^{c/2}$.

Второе уравнение: $\log_a f^2(x) = c$.

ОДЗ для этого уравнения: $f^2(x) > 0$, что означает $f(x) \neq 0$. Это более широкая область, чем $f(x) > 0$. Решая уравнение, получаем: $f^2(x) = a^c$, откуда $f(x) = \pm \sqrt{a^c} = \pm a^{c/2}$.

Так как ОДЗ и множества решений у уравнений различны, в общем случае они не являются равносильными. Первое уравнение является следствием второго. Однако, если рассматривать уравнения при дополнительном условии $f(x) > 0$, то ОДЗ обоих уравнений становятся одинаковыми. В этом случае $\log_a f^2(x) = 2\log_a f(x)$, и второе уравнение становится идентичным первому. В школьном курсе часто по умолчанию предполагается, что аргумент логарифмической функции положителен.

Ответ: Уравнения не являются равносильными в общем случае. Они равносильны при дополнительном условии $f(x) > 0$.

2) $\frac{1}{2}\log_a f(x) = c$ және $\log_a f(x) = c$

Рассмотрим данную пару уравнений. Из первого уравнения следует, что $\log_a f(x) = 2c$. Второе уравнение — $\log_a f(x) = c$. Равенство $2c=c$ выполняется только при $c=0$. Так как в задаче требуется доказать равносильность "в любом случае", в условии, по-видимому, допущена опечатка.

Предположим, что второе уравнение должно было иметь вид $\log_a \sqrt{f(x)} = c$. В этом случае:

Первое уравнение: $\frac{1}{2}\log_a f(x) = c$.

ОДЗ: $f(x) > 0$. Решение: $\log_a f(x) = 2c \implies f(x) = a^{2c}$.

Второе уравнение (исправленное): $\log_a \sqrt{f(x)} = c$.

ОДЗ: $\sqrt{f(x)} > 0$, что равносильно $f(x) > 0$. Решение: $\sqrt{f(x)} = a^c$. Возведя обе части в квадрат, получаем $f(x) = (a^c)^2 = a^{2c}$.

При такой коррекции ОДЗ и решения уравнений совпадают, следовательно, они равносильны.

Ответ: В представленной формулировке уравнения не равносильны (за исключением случая $c=0$). Если предположить, что второе уравнение имеет вид $\log_a \sqrt{f(x)} = c$, то уравнения равносильны.

3) $3\log_a f(x) = c$ және $\log_a f^3(x) = c$

Сравним ОДЗ и решения для данной пары уравнений.

Первое уравнение: $3\log_a f(x) = c$.

ОДЗ: $f(x) > 0$. Решение: $\log_a f(x) = \frac{c}{3} \implies f(x) = a^{c/3}$.

Второе уравнение: $\log_a f^3(x) = c$.

ОДЗ: $f^3(x) > 0$. Так как степень 3 — нечетная, это неравенство равносильно $f(x) > 0$. Таким образом, ОДЗ обоих уравнений совпадают.

Решение: $f^3(x) = a^c \implies f(x) = \sqrt[3]{a^c} = a^{c/3}$.

Поскольку ОДЗ и множества решений у обоих уравнений одинаковы, уравнения являются равносильными. Это связано с тем, что для нечетного показателя степени $p$ преобразование $\log_a M^p = p \log_a M$ является равносильным.

Ответ: Уравнения равносильны.

4) $\log_a f^2(x) = c$ және $2\log_a |f(x)| = c$

Сравним ОДЗ и решения для данной пары уравнений.

Первое уравнение: $\log_a f^2(x) = c$.

ОДЗ: $f^2(x) > 0$, что равносильно $f(x) \neq 0$.

Решение: $f^2(x) = a^c \implies |f(x)| = \sqrt{a^c} = a^{c/2}$, откуда $f(x) = \pm a^{c/2}$.

Второе уравнение: $2\log_a |f(x)| = c$.

ОДЗ: $|f(x)| > 0$, что равносильно $f(x) \neq 0$. ОДЗ совпадает с ОДЗ первого уравнения.

Решение: $\log_a |f(x)| = \frac{c}{2} \implies |f(x)| = a^{c/2}$, откуда $f(x) = \pm a^{c/2}$.

ОДЗ и множества решений обоих уравнений полностью совпадают. Это основано на свойстве логарифма для четной степени: $\log_b (M^{2n}) = 2n \log_b |M|$, которое справедливо для $M \neq 0$.

Ответ: Уравнения равносильны.

Для того чтобы доказать, что системы уравнений являются равносильными (мәндес), необходимо показать, что множества их решений совпадают. Проанализируем каждую пару систем.

1)

Рассмотрим две системы уравнений:

Первая система (Система А): $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ xy = 2 \end{cases} $$

Вторая система (Система Б): $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ \log_a x + \log_a y = \log_a 2 \end{cases} $$

Проанализируем второе уравнение Системы Б. Логарифмическая функция $\log_a z$ определена только для $z > 0$. Следовательно, уравнение $\log_a x + \log_a y = \log_a 2$ имеет смысл только при выполнении условий $x > 0$ и $y > 0$ (также предполагается, что основание логарифма $a > 0$ и $a \neq 1$).

При этих условиях, используя свойство суммы логарифмов, преобразуем второе уравнение:

$\log_a(xy) = \log_a 2$

Поскольку логарифмическая функция является монотонной, из равенства логарифмов следует равенство их аргументов:

$xy = 2$

Таким образом, Система Б равносильна следующей системе:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ xy = 2, \\ x > 0, \\ y > 0 \end{cases} $$

Теперь найдем решения Системы А. Мы можем решить ее, например, методом подстановки или заменой.

Из второго уравнения $xy=2$ следует, что $x$ и $y$ имеют одинаковый знак. Умножим второе уравнение на 2 и сложим с первым:

$x^2 + y^2 + 2xy = 5 + 2(2) \Rightarrow (x+y)^2 = 9 \Rightarrow x+y = \pm 3$

Вычтем удвоенное второе уравнение из первого:

$x^2 + y^2 - 2xy = 5 - 2(2) \Rightarrow (x-y)^2 = 1 \Rightarrow x-y = \pm 1$

Это приводит к четырем системам линейных уравнений:

• $\begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 1 \end{cases} \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x=2, y=1$. Решение $(2, 1)$.
• $\begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = -1 \end{cases} \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x=1, y=2$. Решение $(1, 2)$.
• $\begin{cases} x+y = -3 \\ x-y = 1 \end{cases} \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x=-1, y=-2$. Решение $(-1, -2)$.
• $\begin{cases} x+y = -3 \\ x-y = -1 \end{cases} \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x=-2, y=-1$. Решение $(-2, -1)$.

Множество решений Системы А: $\{(2, 1), (1, 2), (-1, -2), (-2, -1)\}$.

Множество решений Системы Б должно удовлетворять дополнительным условиям $x>0$ и $y>0$. Из найденных решений Системы А этим условиям удовлетворяют только пары $(2, 1)$ и $(1, 2)$.

Множество решений Системы Б: $\{(2, 1), (1, 2)\}$.

Поскольку множества решений двух систем не совпадают, они не являются равносильными. Вторая система является следствием первой только при дополнительном условии $x>0, y>0$.

Ответ: Системы не являются равносильными, так как вторая система имеет область определения $x>0, y>0$, что исключает решения $(-1, -2)$ и $(-2, -1)$, которые являются решениями первой системы.

2)

Рассмотрим две системы уравнений:

Первая система (Система А): $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ xy = 2 \end{cases} $$

Вторая система (Система В): $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ \log_a |x| + \log_a |y| = \log_a 2 \end{cases} $$

Проанализируем второе уравнение Системы В. Область определения этого уравнения: $|x| > 0$ и $|y| > 0$, что равносильно $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Это условие выполняется для всех решений Системы А, так как из $xy=2$ следует, что ни $x$, ни $y$ не равны нулю.

Преобразуем второе уравнение Системы В, используя свойства логарифмов:

$\log_a (|x| \cdot |y|) = \log_a 2$

$\log_a |xy| = \log_a 2$

Из равенства логарифмов следует равенство их аргументов:

$|xy| = 2$

Таким образом, Система В равносильна системе:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ |xy| = 2 \end{cases} $$

Уравнение $|xy|=2$ распадается на два случая: $xy=2$ или $xy=-2$.

Следовательно, множество решений Системы В является объединением решений двух систем:

Система (i): $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ xy = 2 \end{cases} $$

Система (ii): $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ xy = -2 \end{cases} $$

Система (i) — это в точности Система А. Ее решения, как мы нашли в пункте 1, это $\{(2, 1), (1, 2), (-1, -2), (-2, -1)\}$.

Теперь найдем решения Системы (ii):

$x^2 + y^2 + 2xy = 5 + 2(-2) \Rightarrow (x+y)^2 = 1 \Rightarrow x+y = \pm 1$

$x^2 + y^2 - 2xy = 5 - 2(-2) \Rightarrow (x-y)^2 = 9 \Rightarrow x-y = \pm 3$

Это приводит к четырем новым решениям:

• $\begin{cases} x+y = 1 \\ x-y = 3 \end{cases} \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x=2, y=-1$. Решение $(2, -1)$.
• $\begin{cases} x+y = 1 \\ x-y = -3 \end{cases} \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x=-1, y=2$. Решение $(-1, 2)$.
• $\begin{cases} x+y = -1 \\ x-y = 3 \end{cases} \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x=1, y=-2$. Решение $(1, -2)$.
• $\begin{cases} x+y = -1 \\ x-y = -3 \end{cases} \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x=-2, y=1$. Решение $(-2, 1)$.

Множество решений Системы В является объединением множеств решений систем (i) и (ii) и содержит 8 пар чисел: $\{(2, 1), (1, 2), (-1, -2), (-2, -1), (2, -1), (-1, 2), (1, -2), (-2, 1)\}$.

Множество решений Системы А содержит только 4 пары.

Поскольку множества решений не совпадают, системы не являются равносильными. Любое решение Системы А является решением Системы В (т.к. если $xy=2$, то $|xy|=2$), но не наоборот. Таким образом, Система А является следствием Системы В, но не равносильна ей.

Ответ: Системы не являются равносильными. Второе уравнение второй системы, $\log_a |x| + \log_a |y| = \log_a 2$, равносильно уравнению $|xy|=2$, которое допускает как $xy=2$, так и $xy=-2$. Из-за этого вторая система имеет больше решений, чем первая.

1) $x^4 + 4x^3 - 18x^2 - 12x + 9 = 0$

Преобразуем левую часть уравнения, представив её как разность квадратов. Для этого выделим полный квадрат. Заметим, что выражение $(x^2+2x-3)^2$ равно $x^4+4x^2+9+4x^3-6x^2-12x = x^4+4x^3-2x^2-12x+9$.

Тогда исходное уравнение можно переписать в виде: $(x^4+4x^3-2x^2-12x+9) - 16x^2 = 0$, что эквивалентно $(x^2+2x-3)^2 - (4x)^2 = 0$.

Применив формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, получим: $(x^2+2x-3-4x)(x^2+2x-3+4x) = 0$, или $(x^2-2x-3)(x^2+6x-3) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Решим два полученных квадратных уравнения:

а) $x^2-2x-3=0$. По теореме Виета находим корни: $x_1=3$, $x_2=-1$.

б) $x^2+6x-3=0$. Находим корни через дискриминант: $D = b^2-4ac = 6^2-4 \cdot 1 \cdot (-3) = 36+12=48$. Корни $x = \frac{-6 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{16 \cdot 3}}{2} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{3}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{3}$.

Таким образом, получаем четыре корня: $x_1=-1$, $x_2=3$, $x_3=-3+2\sqrt{3}$ и $x_4=-3-2\sqrt{3}$.

Ответ: $-1; 3; -3 - 2\sqrt{3}; -3 + 2\sqrt{3}$.

2) $32x^4 - 48x^3 - 10x^2 + 21x + 5 = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена. Будем искать корни среди чисел вида $\frac{p}{q}$, где $p$ — делитель свободного члена ($5$), а $q$ — делитель старшего коэффициента ($32$).

Подстановкой убеждаемся, что $x=1$ является корнем: $32(1)^4 - 48(1)^3 - 10(1)^2 + 21(1) + 5 = 32 - 48 - 10 + 21 + 5 = 0$.

Также проверим $x=-\frac{1}{2}$: $32(-\frac{1}{2})^4 - 48(-\frac{1}{2})^3 - 10(-\frac{1}{2})^2 + 21(-\frac{1}{2}) + 5 = 32(\frac{1}{16}) - 48(-\frac{1}{8}) - 10(\frac{1}{4}) - \frac{21}{2} + 5 = 2 + 6 - \frac{5}{2} - \frac{21}{2} + 5 = 13 - \frac{26}{2} = 13 - 13 = 0$. Следовательно, $x=-\frac{1}{2}$ также является корнем.

Это означает, что многочлен в левой части делится на $(x-1)$ и $(x+\frac{1}{2})$, а значит, и на их произведение $(x-1)(2x+1) = 2x^2-x-1$.

Выполнив деление многочлена $32x^4 - 48x^3 - 10x^2 + 21x + 5$ на $2x^2-x-1$, получим в частном $16x^2 - 16x - 5$.

Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению $(2x^2 - x - 1)(16x^2 - 16x - 5) = 0$.

Корни первого множителя мы уже нашли: $x_1=1$, $x_2=-\frac{1}{2}$.

Решим второе уравнение: $16x^2-16x-5=0$. Дискриминант $D = (-16)^2-4 \cdot 16 \cdot (-5) = 256+320=576=24^2$.

Корни: $x = \frac{16 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 16} = \frac{16 \pm 24}{32}$.

Отсюда $x_3 = \frac{16+24}{32} = \frac{40}{32} = \frac{5}{4}$ и $x_4 = \frac{16-24}{32} = \frac{-8}{32} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $1; -\frac{1}{2}; \frac{5}{4}; -\frac{1}{4}$.

1) Решим уравнение $ \sqrt{1 + \cos x} = \sin x $.

Данное уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} \sin x \ge 0 \\ 1 + \cos x = \sin^2 x \end{cases} $

Первое условие $ \sin x \ge 0 $ определяет область допустимых значений (ОДЗ). Это означает, что решения могут находиться только в I и II координатных четвертях, включая границы. То есть $ x \in [2\pi n, \pi + 2\pi n] $ для $ n \in \mathbb{Z} $.

Решим второе уравнение системы, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x $:
$ 1 + \cos x = 1 - \cos^2 x $
$ \cos^2 x + \cos x = 0 $

Вынесем $ \cos x $ за скобки:
$ \cos x (\cos x + 1) = 0 $

Это уравнение распадается на два случая:
а) $ \cos x = 0 $. Отсюда $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
б) $ \cos x + 1 = 0 $, то есть $ \cos x = -1 $. Отсюда $ x = \pi + 2\pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Теперь проверим найденные серии решений на соответствие условию $ \sin x \ge 0 $.
Для серии $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $:
- если $ k $ четное, т.е. $ k = 2n $, то $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $. В этих точках $ \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 1 $, что удовлетворяет условию $ 1 \ge 0 $. Эта серия решений подходит.
- если $ k $ нечетное, т.е. $ k = 2n + 1 $, то $ x = \frac{\pi}{2} + (2n+1)\pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n $. В этих точках $ \sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n) = -1 $, что не удовлетворяет условию $ -1 \ge 0 $. Эта серия является посторонней.

Для серии $ x = \pi + 2\pi m $:
В этих точках $ \sin(\pi + 2\pi m) = 0 $, что удовлетворяет условию $ 0 \ge 0 $. Эта серия решений также подходит.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются две серии корней.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

2) Решим уравнение $ \sqrt{2 \sin 2x} + 2 \sin x = 0 $.

Перенесем $ 2 \sin x $ в правую часть:
$ \sqrt{2 \sin 2x} = -2 \sin x $

Данное уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} -2 \sin x \ge 0 \\ 2 \sin 2x = (-2 \sin x)^2 \end{cases} $

Из первого неравенства $ -2 \sin x \ge 0 $ следует $ \sin x \le 0 $. Это означает, что решения могут находиться только в III и IV координатных четвертях, включая границы. То есть $ x \in [\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n] $ для $ n \in \mathbb{Z} $. Также из подкоренного выражения следует $ 2 \sin 2x \ge 0 $, или $ \sin 2x \ge 0 $.

Решим второе уравнение системы, используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $:
$ 2 (2 \sin x \cos x) = 4 \sin^2 x $
$ 4 \sin x \cos x = 4 \sin^2 x $
$ 4 \sin^2 x - 4 \sin x \cos x = 0 $

Вынесем $ 4 \sin x $ за скобки:
$ 4 \sin x (\sin x - \cos x) = 0 $

Это уравнение распадается на два случая:
а) $ \sin x = 0 $. Отсюда $ x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
б) $ \sin x - \cos x = 0 $, то есть $ \sin x = \cos x $. Если $ \cos x \ne 0 $, то можно разделить обе части на $ \cos x $, получив $ \tan x = 1 $. Отсюда $ x = \frac{\pi}{4} + \pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $. (Если $ \cos x = 0 $, то и $ \sin x $ должен быть равен 0, что невозможно).

Теперь проверим найденные серии решений на соответствие условию $ \sin x \le 0 $.
Для серии $ x = \pi k $:
В этих точках $ \sin(\pi k) = 0 $, что удовлетворяет условию $ 0 \le 0 $. Проверим второе условие ОДЗ: $ \sin(2\pi k) = 0 \ge 0 $. Эта серия решений подходит.

Для серии $ x = \frac{\pi}{4} + \pi m $:
- если $ m $ четное, т.е. $ m = 2n $, то $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n $. Это точки в I четверти, где $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 $. Эта серия не подходит.
- если $ m $ нечетное, т.е. $ m = 2n + 1 $, то $ x = \frac{\pi}{4} + (2n+1)\pi = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n $. Это точки в III четверти, где $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0 $. Эта серия удовлетворяет условию $ \sin x \le 0 $. Проверим второе условие ОДЗ: $ \sin(2x) = \sin(2(\frac{5\pi}{4} + 2\pi n)) = \sin(\frac{5\pi}{2} + 4\pi n) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \ge 0 $. Эта серия решений подходит.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются две серии корней.
Ответ: $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

1) $ \log_3(4^x + 15 \cdot 2^x + 27) = 2\log_3(4 \cdot 2^x - 3) $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

1. $ 4^x + 15 \cdot 2^x + 27 > 0 $. Так как $ 4^x > 0 $ и $ 2^x > 0 $ для любого действительного $ x $, это неравенство выполняется всегда.

2. $ 4 \cdot 2^x - 3 > 0 \implies 4 \cdot 2^x > 3 \implies 2^x > \frac{3}{4} \implies x > \log_2(\frac{3}{4}) $.

Таким образом, ОДЗ: $ x > \log_2(\frac{3}{4}) $.

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство $ n \log_a b = \log_a b^n $:

$ \log_3(4^x + 15 \cdot 2^x + 27) = \log_3((4 \cdot 2^x - 3)^2) $

Поскольку основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$ 4^x + 15 \cdot 2^x + 27 = (4 \cdot 2^x - 3)^2 $

Заметим, что $ 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 $. Сделаем замену $ t = 2^x $. Учитывая ОДЗ, $ t > \frac{3}{4} $.

$ t^2 + 15t + 27 = (4t - 3)^2 $

$ t^2 + 15t + 27 = 16t^2 - 24t + 9 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$ 15t^2 - 39t - 18 = 0 $

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$ 5t^2 - 13t - 6 = 0 $

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-13)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 169 + 120 = 289 = 17^2 $

$ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 17}{10} $

Получаем два корня для $ t $:

$ t_1 = \frac{13 + 17}{10} = \frac{30}{10} = 3 $

$ t_2 = \frac{13 - 17}{10} = \frac{-4}{10} = -0.4 $

Теперь выполним обратную замену $ t = 2^x $ и проверим соответствие ОДЗ ($ t > \frac{3}{4} $).

1. $ t_1 = 3 $. Корень $ 3 > \frac{3}{4} $, значит, он подходит. $ 2^x = 3 \implies x = \log_2 3 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ $ x > \log_2(\frac{3}{4}) $, так как $ 3 > \frac{3}{4} $.

2. $ t_2 = -0.4 $. Корень $ -0.4 < \frac{3}{4} $, он не удовлетворяет условию. Кроме того, уравнение $ 2^x = -0.4 $ не имеет действительных решений, так как показательная функция всегда положительна.

Единственное решение — $ x = \log_2 3 $.

Ответ: $ \log_2 3 $

2) $ \log_{\sqrt{10}} \sqrt{x^3} \cdot \lg(100x) = 3\lg x $

ОДЗ: $ x > 0 $, чтобы все логарифмы и корень были определены.

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойства логарифмов. Напомним, что $ \lg x = \log_{10} x $.

Первый множитель: $ \log_{\sqrt{10}} \sqrt{x^3} = \log_{10^{1/2}} x^{3/2} $. Используя свойство $ \log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b $:

$ \log_{10^{1/2}} x^{3/2} = \frac{3/2}{1/2} \log_{10} x = 3 \log_{10} x = 3 \lg x $

Второй множитель: $ \lg(100x) = \lg(100) + \lg x = \lg(10^2) + \lg x = 2 + \lg x $.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$ (3 \lg x) \cdot (2 + \lg x) = 3 \lg x $

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $ 3 \lg x $ за скобки:

$ (3 \lg x)(2 + \lg x) - 3 \lg x = 0 $

$ 3 \lg x \cdot ((2 + \lg x) - 1) = 0 $

$ 3 \lg x \cdot (1 + \lg x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1. $ 3 \lg x = 0 \implies \lg x = 0 \implies x = 10^0 \implies x = 1 $

2. $ 1 + \lg x = 0 \implies \lg x = -1 \implies x = 10^{-1} \implies x = 0.1 $

Оба корня ($ 1 $ и $ 0.1 $) положительны, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ 1; 0.1 $

3) $ \sqrt{x^{\log_2 \sqrt{x}}} = 2 $

ОДЗ: $ x > 0 $.

Представим уравнение в виде степеней:

$ \left(x^{\log_2(x^{1/2})}\right)^{1/2} = 2 $

Упростим показатель степени у $ x $: $ \log_2(x^{1/2}) = \frac{1}{2}\log_2 x $.

$ \left(x^{\frac{1}{2}\log_2 x}\right)^{1/2} = 2 $

Используем свойство степени $ (a^m)^n = a^{mn} $:

$ x^{\frac{1}{2}\log_2 x \cdot \frac{1}{2}} = 2 $

$ x^{\frac{1}{4}(\log_2 x)} = 2 $

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$ \log_2\left(x^{\frac{1}{4}\log_2 x}\right) = \log_2 2 $

Используем свойство $ \log_a(b^c) = c \log_a b $:

$ \frac{1}{4}\log_2 x \cdot \log_2 x = 1 $

$ \frac{1}{4}(\log_2 x)^2 = 1 $

$ (\log_2 x)^2 = 4 $

Извлечем квадратный корень:

$ \log_2 x = \pm 2 $

Получаем два случая:

1. $ \log_2 x = 2 \implies x = 2^2 \implies x = 4 $

2. $ \log_2 x = -2 \implies x = 2^{-2} \implies x = \frac{1}{4} $

Оба корня ($ 4 $ и $ 1/4 $) положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ 4; \frac{1}{4} $

4) $ \log_4(4x) = \sqrt{\log_x(4x^3)} $

ОДЗ:

1. Аргумент логарифма: $ 4x > 0 \implies x > 0 $.

2. Основание логарифма: $ x > 0 $ и $ x \neq 1 $.

3. Подрадикальное выражение: $ \log_x(4x^3) \ge 0 $.

Разберем неравенство $ \log_x(4x^3) \ge 0 $:

- Если $ x > 1 $, то $ 4x^3 \ge x^0 \implies 4x^3 \ge 1 \implies x^3 \ge \frac{1}{4} \implies x \ge \frac{1}{\sqrt[3]{4}} $. Это условие выполняется для всех $ x > 1 $, так как $ \frac{1}{\sqrt[3]{4}} < 1 $.

- Если $ 0 < x < 1 $, то $ 4x^3 \le x^0 \implies 4x^3 \le 1 \implies x^3 \le \frac{1}{4} \implies x \le \frac{1}{\sqrt[3]{4}} $.

4. Из левой части $ \log_4(4x) $ и знака корня следует $ \log_4(4x) \ge 0 \implies 4x \ge 4^0 \implies 4x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{4} $.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $ x \in [\frac{1}{4}, \frac{1}{\sqrt[3]{4}}] \cup (1, +\infty) $.

Преобразуем уравнение. Пусть $ t = \log_4 x $. Тогда $ x = 4^t $.

Левая часть: $ \log_4(4x) = \log_4 4 + \log_4 x = 1 + t $.

Правая часть: $ \log_x(4x^3) = \log_x 4 + \log_x(x^3) = \frac{\log_4 4}{\log_4 x} + 3 = \frac{1}{t} + 3 $.

Подставляем в исходное уравнение:

$ 1 + t = \sqrt{\frac{1}{t} + 3} $

Возведем обе части в квадрат (учитывая, что $ 1+t \ge 0 \implies t \ge -1 $, что согласуется с ОДЗ $ x \ge 1/4 $):

$ (1 + t)^2 = \frac{1}{t} + 3 $

$ t^2 + 2t + 1 = \frac{1+3t}{t} $

Умножим на $ t $ (из ОДЗ $ x \neq 1 $ следует $ t \neq 0 $):

$ t^3 + 2t^2 + t = 1 + 3t $

$ t^3 + 2t^2 - 2t - 1 = 0 $

Найдем корни этого кубического уравнения. Пробуем делители свободного члена (±1).

При $ t=1 $: $ 1+2-2-1 = 0 $. Значит, $ t=1 $ является корнем. Разделим многочлен на $ (t-1) $:

$ (t^3 + 2t^2 - 2t - 1) : (t-1) = t^2 + 3t + 1 $.

Получаем уравнение $ (t-1)(t^2+3t+1) = 0 $.

Корни:

1. $ t-1=0 \implies t_1 = 1 $

2. $ t^2+3t+1=0 $. Решаем через дискриминант $ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5 $.

$ t_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-3+2.236}{2} \approx -0.382 $

$ t_3 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-3-2.236}{2} \approx -2.618 $

Проверим корни $t$ на соответствие ОДЗ для $ x $, то есть $ t \in [-1, \log_4(\frac{1}{\sqrt[3]{4}})] \cup (0, +\infty) $, что эквивалентно $ t \in [-1, -1/3] \cup (0, +\infty) $.

- $ t_1 = 1 $. Входит в интервал $ (0, +\infty) $. Подходит.

- $ t_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \approx -0.382 $. Так как $ -1 < -0.382 < -1/3 $, этот корень входит в интервал $ [-1, -1/3] $. Подходит.

- $ t_3 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} \approx -2.618 $. Не входит в область определения для $t$. Не подходит.

Выполним обратную замену $ x = 4^t $:

1. $ t=1 \implies x = 4^1 = 4 $.

2. $ t = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \implies x = 4^{\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}} $.

Ответ: $ 4; 4^{\frac{\sqrt{5}-3}{2}} $