Номер 343, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для того чтобы доказать, что системы уравнений являются равносильными (мәндес), необходимо показать, что множества их решений совпадают. Проанализируем каждую пару систем.

1)

Рассмотрим две системы уравнений:

Первая система (Система А): $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ xy = 2 \end{cases} $$

Вторая система (Система Б): $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ \log_a x + \log_a y = \log_a 2 \end{cases} $$

Проанализируем второе уравнение Системы Б. Логарифмическая функция $\log_a z$ определена только для $z > 0$. Следовательно, уравнение $\log_a x + \log_a y = \log_a 2$ имеет смысл только при выполнении условий $x > 0$ и $y > 0$ (также предполагается, что основание логарифма $a > 0$ и $a \neq 1$).

При этих условиях, используя свойство суммы логарифмов, преобразуем второе уравнение:

$\log_a(xy) = \log_a 2$

Поскольку логарифмическая функция является монотонной, из равенства логарифмов следует равенство их аргументов:

$xy = 2$

Таким образом, Система Б равносильна следующей системе:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ xy = 2, \\ x > 0, \\ y > 0 \end{cases} $$

Теперь найдем решения Системы А. Мы можем решить ее, например, методом подстановки или заменой.

Из второго уравнения $xy=2$ следует, что $x$ и $y$ имеют одинаковый знак. Умножим второе уравнение на 2 и сложим с первым:

$x^2 + y^2 + 2xy = 5 + 2(2) \Rightarrow (x+y)^2 = 9 \Rightarrow x+y = \pm 3$

Вычтем удвоенное второе уравнение из первого:

$x^2 + y^2 - 2xy = 5 - 2(2) \Rightarrow (x-y)^2 = 1 \Rightarrow x-y = \pm 1$

Это приводит к четырем системам линейных уравнений:

• $\begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 1 \end{cases} \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x=2, y=1$. Решение $(2, 1)$.
• $\begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = -1 \end{cases} \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x=1, y=2$. Решение $(1, 2)$.
• $\begin{cases} x+y = -3 \\ x-y = 1 \end{cases} \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x=-1, y=-2$. Решение $(-1, -2)$.
• $\begin{cases} x+y = -3 \\ x-y = -1 \end{cases} \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x=-2, y=-1$. Решение $(-2, -1)$.

Множество решений Системы А: $\{(2, 1), (1, 2), (-1, -2), (-2, -1)\}$.

Множество решений Системы Б должно удовлетворять дополнительным условиям $x>0$ и $y>0$. Из найденных решений Системы А этим условиям удовлетворяют только пары $(2, 1)$ и $(1, 2)$.

Множество решений Системы Б: $\{(2, 1), (1, 2)\}$.

Поскольку множества решений двух систем не совпадают, они не являются равносильными. Вторая система является следствием первой только при дополнительном условии $x>0, y>0$.

Ответ: Системы не являются равносильными, так как вторая система имеет область определения $x>0, y>0$, что исключает решения $(-1, -2)$ и $(-2, -1)$, которые являются решениями первой системы.

2)

Рассмотрим две системы уравнений:

Первая система (Система А): $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ xy = 2 \end{cases} $$

Вторая система (Система В): $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ \log_a |x| + \log_a |y| = \log_a 2 \end{cases} $$

Проанализируем второе уравнение Системы В. Область определения этого уравнения: $|x| > 0$ и $|y| > 0$, что равносильно $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Это условие выполняется для всех решений Системы А, так как из $xy=2$ следует, что ни $x$, ни $y$ не равны нулю.

Преобразуем второе уравнение Системы В, используя свойства логарифмов:

$\log_a (|x| \cdot |y|) = \log_a 2$

$\log_a |xy| = \log_a 2$

Из равенства логарифмов следует равенство их аргументов:

$|xy| = 2$

Таким образом, Система В равносильна системе:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ |xy| = 2 \end{cases} $$

Уравнение $|xy|=2$ распадается на два случая: $xy=2$ или $xy=-2$.

Следовательно, множество решений Системы В является объединением решений двух систем:

Система (i): $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ xy = 2 \end{cases} $$

Система (ii): $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ xy = -2 \end{cases} $$

Система (i) — это в точности Система А. Ее решения, как мы нашли в пункте 1, это $\{(2, 1), (1, 2), (-1, -2), (-2, -1)\}$.

Теперь найдем решения Системы (ii):

$x^2 + y^2 + 2xy = 5 + 2(-2) \Rightarrow (x+y)^2 = 1 \Rightarrow x+y = \pm 1$

$x^2 + y^2 - 2xy = 5 - 2(-2) \Rightarrow (x-y)^2 = 9 \Rightarrow x-y = \pm 3$

Это приводит к четырем новым решениям:

• $\begin{cases} x+y = 1 \\ x-y = 3 \end{cases} \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x=2, y=-1$. Решение $(2, -1)$.
• $\begin{cases} x+y = 1 \\ x-y = -3 \end{cases} \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x=-1, y=2$. Решение $(-1, 2)$.
• $\begin{cases} x+y = -1 \\ x-y = 3 \end{cases} \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x=1, y=-2$. Решение $(1, -2)$.
• $\begin{cases} x+y = -1 \\ x-y = -3 \end{cases} \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x=-2, y=1$. Решение $(-2, 1)$.

Множество решений Системы В является объединением множеств решений систем (i) и (ii) и содержит 8 пар чисел: $\{(2, 1), (1, 2), (-1, -2), (-2, -1), (2, -1), (-1, 2), (1, -2), (-2, 1)\}$.

Множество решений Системы А содержит только 4 пары.

Поскольку множества решений не совпадают, системы не являются равносильными. Любое решение Системы А является решением Системы В (т.к. если $xy=2$, то $|xy|=2$), но не наоборот. Таким образом, Система А является следствием Системы В, но не равносильна ей.

Ответ: Системы не являются равносильными. Второе уравнение второй системы, $\log_a |x| + \log_a |y| = \log_a 2$, равносильно уравнению $|xy|=2$, которое допускает как $xy=2$, так и $xy=-2$. Из-за этого вторая система имеет больше решений, чем первая.