Номер 347, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2\log_4^2 x - \log_4 x \cdot \log_4 y - 6\log_4^2 y = 0, \\ \log_4 x - 2 = -\log_{0,5} y; \end{cases} $
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $y > 0$.
Преобразуем второе уравнение системы. Используем формулу перехода к новому основанию для логарифма: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.
$\log_{0,5} y = \log_{1/2} y = \log_{4^{-1/2}} y = \frac{1}{-1/2} \log_4 y = -2\log_4 y$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\log_4 x - 2 = -(-2\log_4 y)$
$\log_4 x - 2 = 2\log_4 y$
$\log_4 x - 2\log_4 y = 2$.
Введем замену переменных: пусть $a = \log_4 x$ и $b = \log_4 y$.
Система примет вид:
$ \begin{cases} 2a^2 - ab - 6b^2 = 0, \\ a - 2b = 2. \end{cases} $
Первое уравнение является однородным. Разложим его на множители. Представим $-ab$ как $3ab - 4ab$:
$2a^2 + 3ab - 4ab - 6b^2 = 0$
$a(2a + 3b) - 2b(2a + 3b) = 0$
$(a - 2b)(2a + 3b) = 0$.
Из этого уравнения следует, что либо $a - 2b = 0$, либо $2a + 3b = 0$.
Рассмотрим оба случая, учитывая второе уравнение системы $a - 2b = 2$.
Случай 1: $ \begin{cases} a - 2b = 0, \\ a - 2b = 2. \end{cases} $
Эта система несовместна, так как $0 \ne 2$. Решений в этом случае нет.
Случай 2: $ \begin{cases} 2a + 3b = 0, \\ a - 2b = 2. \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $a$: $a = 2b + 2$.
Подставим в первое уравнение:
$2(2b + 2) + 3b = 0$
$4b + 4 + 3b = 0$
$7b = -4 \implies b = -\frac{4}{7}$.
Найдем $a$: $a = 2(-\frac{4}{7}) + 2 = -\frac{8}{7} + \frac{14}{7} = \frac{6}{7}$.
Выполним обратную замену:
$\log_4 x = a = \frac{6}{7} \implies x = 4^{6/7}$.
$\log_4 y = b = -\frac{4}{7} \implies y = 4^{-4/7}$.
Найденные значения удовлетворяют ОДЗ ($x>0, y>0$).
Ответ: $(4^{6/7}, 4^{-4/7})$.

2) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x \cdot 3^y + 3^{x+1} = 3^{y+1} + x \cdot 3^x, \\ y - (x+2)^{0,5} = 0. \end{cases} $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Из второго уравнения $y = (x+2)^{0,5} = \sqrt{x+2}$.
Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
Так как значение арифметического квадратного корня неотрицательно, то $y \ge 0$.
Преобразуем первое уравнение системы:
$x \cdot 3^y + 3 \cdot 3^x = 3 \cdot 3^y + x \cdot 3^x$
Сгруппируем слагаемые:
$x \cdot 3^y - 3 \cdot 3^y = x \cdot 3^x - 3 \cdot 3^x$
$3^y(x - 3) = 3^x(x - 3)$
$3^y(x - 3) - 3^x(x - 3) = 0$
$(x - 3)(3^y - 3^x) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
Случай 1: $x - 3 = 0 \implies x = 3$.
Подставим это значение во второе уравнение системы $y = \sqrt{x+2}$:
$y = \sqrt{3+2} = \sqrt{5}$.
Проверим найденное решение $(3, \sqrt{5})$ на соответствие ОДЗ: $x=3 \ge -2$ и $y=\sqrt{5} \ge 0$. Условия выполняются. Это первое решение.
Случай 2: $3^y - 3^x = 0 \implies 3^y = 3^x \implies y = x$.
Подставим $y=x$ во второе уравнение системы $y = \sqrt{x+2}$:
$x = \sqrt{x+2}$.
Для решения этого уравнения возведем обе части в квадрат. При этом необходимо учесть, что $x \ge 0$, так как $x$ равен значению арифметического корня.
$x^2 = x+2$
$x^2 - x - 2 = 0$.
По теореме Виета находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Остается корень $x_1 = 2$. Тогда $y = x = 2$.
Проверим найденное решение $(2, 2)$ на соответствие ОДЗ: $x=2 \ge -2$ и $y=2 \ge 0$. Условия выполняются. Это второе решение.
Ответ: $(2, 2), (3, \sqrt{5})$.