Номер 352, страница 170 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Исходное неравенство:

$\frac{(x + 3)^2}{5} + 1 - \frac{(3x - 1)^2}{5} < \frac{x(2x - 3)}{2}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который для 5 и 2 равен 10.

$10 \cdot \left( \frac{(x + 3)^2}{5} + 1 - \frac{(3x - 1)^2}{5} \right) < 10 \cdot \frac{x(2x - 3)}{2}$

$2(x + 3)^2 + 10 - 2(3x - 1)^2 < 5x(2x - 3)$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$2(x^2 + 6x + 9) + 10 - 2(9x^2 - 6x + 1) < 10x^2 - 15x$

$2x^2 + 12x + 18 + 10 - 18x^2 + 12x - 2 < 10x^2 - 15x$

Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства.

$(2x^2 - 18x^2) + (12x + 12x) + (18 + 10 - 2) < 10x^2 - 15x$

$-16x^2 + 24x + 26 < 10x^2 - 15x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное неравенство с положительным коэффициентом при $x^2$.

$0 < 10x^2 - 15x + 16x^2 - 24x - 26$

$0 < 26x^2 - 39x - 26$

Для удобства разделим обе части на 13 (так как 13 > 0, знак неравенства не меняется).

$0 < 2x^2 - 3x - 2$ или $2x^2 - 3x - 2 > 0$.

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $2x^2 - 3x - 2 = 0$, чтобы найти его корни.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$.

Мы решаем неравенство $2x^2 - 3x - 2 > 0$. Графиком функции $y=2x^2 - 3x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше 0). Парабола пересекает ось абсцисс в точках -0.5 и 2. Значения функции положительны (график выше оси Ox) левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x < -0.5$ или $x > 2$.

В виде интервала: $x \in (-\infty; -0.5) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -0.5) \cup (2; +\infty)$.

2)

Исходное неравенство:

$x - 7 + \frac{(x - 6)^2}{3} > \frac{(x + 4)^2}{2} - \frac{(x + 2)(x + 6)}{4}$

Найдем наименьший общий знаменатель дробей (3, 2 и 4), он равен 12. Умножим обе части неравенства на 12.

$12 \cdot (x - 7) + 12 \cdot \frac{(x - 6)^2}{3} > 12 \cdot \frac{(x + 4)^2}{2} - 12 \cdot \frac{(x + 2)(x + 6)}{4}$

$12x - 84 + 4(x - 6)^2 > 6(x + 4)^2 - 3(x + 2)(x + 6)$

Раскроем скобки.

$12x - 84 + 4(x^2 - 12x + 36) > 6(x^2 + 8x + 16) - 3(x^2 + 6x + 2x + 12)$

$12x - 84 + 4x^2 - 48x + 144 > 6x^2 + 48x + 96 - 3(x^2 + 8x + 12)$

$12x - 84 + 4x^2 - 48x + 144 > 6x^2 + 48x + 96 - 3x^2 - 24x - 36$

Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства.

Левая часть: $4x^2 + (12x - 48x) + (-84 + 144) = 4x^2 - 36x + 60$.

Правая часть: $(6x^2 - 3x^2) + (48x - 24x) + (96 - 36) = 3x^2 + 24x + 60$.

Неравенство принимает вид:

$4x^2 - 36x + 60 > 3x^2 + 24x + 60$

Перенесем все члены в левую часть.

$4x^2 - 3x^2 - 36x - 24x + 60 - 60 > 0$

$x^2 - 60x > 0$

Разложим левую часть на множители.

$x(x - 60) > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 60) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 60$.

Графиком функции $y=x^2-60x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $x(x - 60) > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < 0$ или $x > 60$.

В виде интервала: $x \in (-\infty; 0) \cup (60; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (60; +\infty)$.