Вопросы, страница 169 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Кез келген түрлендіру берілген теңсіздікті мәндес теңсіздікке көшіре ме?

Жауабын түсіндіріңдер.

2. Мектеп курсында оқылатын кез келген теңсіздікті шығару үшін теңсіздікті түрлендірулердің қайсысы қолданылады?

1. Нет, не любое преобразование переводит данное неравенство в равносильное (мэндес) ему неравенство. Преобразование называется равносильным, если оно не изменяет множество решений неравенства. Существуют преобразования, которые могут привести к потере решений или появлению посторонних решений.

Приведем примеры неравносильных преобразований:

а) Умножение или деление обеих частей неравенства на выражение, содержащее переменную. Знак этого выражения может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от значения переменной. Если не учесть смену знака выражения, можно получить неверное решение. Например, если неравенство $x+1 > 0$ умножить на $x$, то для $x > 0$ получится $x(x+1) > 0$, а для $x < 0$ должно быть $x(x+1) < 0$. Без анализа знака множителя преобразование будет некорректным.

б) Возведение обеих частей неравенства в четную степень (например, в квадрат). Это преобразование не является равносильным, если части неравенства могут иметь разные знаки или быть отрицательными. Например, неравенство $-5 < 2$ является верным. Однако, если возвести обе части в квадрат, мы получим $(-5)^2 < 2^2$, что равносильно $25 < 4$ — это неверно. Другой пример: неравенство $x > -3$. Его решением является интервал $(-3, +\infty)$. Если возвести обе части в квадрат, получим $x^2 > 9$, решениями которого являются $x < -3$ или $x > 3$. Множество решений изменилось: мы потеряли решения из интервала $(-3, 3]$ и приобрели посторонние решения $x \in (-\infty, -3)$.

Поэтому при решении неравенств можно использовать только равносильные преобразования или применять специальные методы (например, метод интервалов), которые учитывают возможные изменения при неравносильных переходах.

Ответ: Нет, не любое преобразование является равносильным. Некоторые преобразования, такие как умножение на выражение с переменной или возведение в четную степень, могут изменить множество решений неравенства.

2. В школьном курсе математики для решения неравенств используются следующие равносильные (или приводящие к равносильной системе/совокупности) преобразования:

1.Перенос любого члена неравенства из одной части в другую с противоположным знаком. Это преобразование равносильно прибавлению к обеим частям неравенства одного и того же выражения. Например, неравенство $f(x) > g(x) + c$ равносильно неравенству $f(x) - g(x) > c$.

2.Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число или на выражение, принимающее только положительные значения. Знак неравенства при этом не меняется. Если $c > 0$, то $f(x) > g(x) \iff c \cdot f(x) > c \cdot g(x)$.

3.Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число или на выражение, принимающее только отрицательные значения. Знак неравенства при этом меняется на противоположный. Если $c < 0$, то $f(x) > g(x) \iff c \cdot f(x) < c \cdot g(x)$.

4.Возведение обеих частей неравенства в нечетную степень. Это преобразование сохраняет знак неравенства. Например, $f(x) > g(x) \iff (f(x))^3 > (g(x))^3$.

5.Возведение обеих частей неравенства в четную степень. Это преобразование является равносильным только при условии, что обе части неравенства неотрицательны. Если $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$, то $f(x) > g(x) \iff (f(x))^2 > (g(x))^2$.

6.Логарифмирование обеих частей неравенства. Если обе части неравенства строго положительны, их можно логарифмировать.
- Если основание логарифма $a > 1$, знак неравенства сохраняется: при $f(x) > g(x) > 0$ имеем $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x))$.
- Если основание логарифма $0 < a < 1$, знак неравенства меняется на противоположный: при $f(x) > g(x) > 0$ имеем $\log_a(f(x)) < \log_a(g(x))$.

7.Потенцирование. Преобразование, обратное логарифмированию, с теми же правилами для знака неравенства в зависимости от основания степени.
- Если $a > 1$, то $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x)) \iff f(x) > g(x)$.
- Если $0 < a < 1$, то $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x)) \iff f(x) < g(x)$.

Эти преобразования являются основой для решения линейных, квадратных, дробно-рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических неравенств, изучаемых в школе.

Ответ: Для решения неравенств в школьном курсе используются: перенос слагаемых; умножение/деление на положительное или отрицательное число (с сохранением или изменением знака неравенства соответственно); возведение в нечетную степень; возведение в четную степень (при неотрицательности обеих частей); логарифмирование и потенцирование (при положительности обеих частей и с учетом основания).