Вопросы, страница 169 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Нет, не любое преобразование переводит данное неравенство в равносильное (мэндес) ему неравенство. Преобразование называется равносильным, если оно не изменяет множество решений неравенства. Существуют преобразования, которые могут привести к потере решений или появлению посторонних решений.

Приведем примеры неравносильных преобразований:

а) Умножение или деление обеих частей неравенства на выражение, содержащее переменную. Знак этого выражения может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от значения переменной. Если не учесть смену знака выражения, можно получить неверное решение. Например, если неравенство $x+1 > 0$ умножить на $x$, то для $x > 0$ получится $x(x+1) > 0$, а для $x < 0$ должно быть $x(x+1) < 0$. Без анализа знака множителя преобразование будет некорректным.

б) Возведение обеих частей неравенства в четную степень (например, в квадрат). Это преобразование не является равносильным, если части неравенства могут иметь разные знаки или быть отрицательными. Например, неравенство $-5 < 2$ является верным. Однако, если возвести обе части в квадрат, мы получим $(-5)^2 < 2^2$, что равносильно $25 < 4$ — это неверно. Другой пример: неравенство $x > -3$. Его решением является интервал $(-3, +\infty)$. Если возвести обе части в квадрат, получим $x^2 > 9$, решениями которого являются $x < -3$ или $x > 3$. Множество решений изменилось: мы потеряли решения из интервала $(-3, 3]$ и приобрели посторонние решения $x \in (-\infty, -3)$.

Поэтому при решении неравенств можно использовать только равносильные преобразования или применять специальные методы (например, метод интервалов), которые учитывают возможные изменения при неравносильных переходах.

Ответ: Нет, не любое преобразование является равносильным. Некоторые преобразования, такие как умножение на выражение с переменной или возведение в четную степень, могут изменить множество решений неравенства.

2. В школьном курсе математики для решения неравенств используются следующие равносильные (или приводящие к равносильной системе/совокупности) преобразования:

1.Перенос любого члена неравенства из одной части в другую с противоположным знаком. Это преобразование равносильно прибавлению к обеим частям неравенства одного и того же выражения. Например, неравенство $f(x) > g(x) + c$ равносильно неравенству $f(x) - g(x) > c$.

2.Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число или на выражение, принимающее только положительные значения. Знак неравенства при этом не меняется. Если $c > 0$, то $f(x) > g(x) \iff c \cdot f(x) > c \cdot g(x)$.

3.Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число или на выражение, принимающее только отрицательные значения. Знак неравенства при этом меняется на противоположный. Если $c < 0$, то $f(x) > g(x) \iff c \cdot f(x) < c \cdot g(x)$.

4.Возведение обеих частей неравенства в нечетную степень. Это преобразование сохраняет знак неравенства. Например, $f(x) > g(x) \iff (f(x))^3 > (g(x))^3$.

5.Возведение обеих частей неравенства в четную степень. Это преобразование является равносильным только при условии, что обе части неравенства неотрицательны. Если $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$, то $f(x) > g(x) \iff (f(x))^2 > (g(x))^2$.

6.Логарифмирование обеих частей неравенства. Если обе части неравенства строго положительны, их можно логарифмировать.
- Если основание логарифма $a > 1$, знак неравенства сохраняется: при $f(x) > g(x) > 0$ имеем $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x))$.
- Если основание логарифма $0 < a < 1$, знак неравенства меняется на противоположный: при $f(x) > g(x) > 0$ имеем $\log_a(f(x)) < \log_a(g(x))$.

7.Потенцирование. Преобразование, обратное логарифмированию, с теми же правилами для знака неравенства в зависимости от основания степени.
- Если $a > 1$, то $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x)) \iff f(x) > g(x)$.
- Если $0 < a < 1$, то $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x)) \iff f(x) < g(x)$.

Эти преобразования являются основой для решения линейных, квадратных, дробно-рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических неравенств, изучаемых в школе.

Ответ: Для решения неравенств в школьном курсе используются: перенос слагаемых; умножение/деление на положительное или отрицательное число (с сохранением или изменением знака неравенства соответственно); возведение в нечетную степень; возведение в четную степень (при неотрицательности обеих частей); логарифмирование и потенцирование (при положительности обеих частей и с учетом основания).