Номер 353, страница 170 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Решим неравенство $\frac{\sqrt{x-2}-2}{x} < 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю.

$\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ x \ne 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \ge 2$. Условие $x \ne 0$ выполняется автоматически. Таким образом, ОДЗ: $x \in [2, +\infty)$.

Для решения неравенства воспользуемся методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя:

$\sqrt{x-2}-2 = 0$

$\sqrt{x-2} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$x-2 = 4$

$x = 6$

Это значение принадлежит ОДЗ.

Нуль знаменателя:

$x = 0$

Это значение не принадлежит ОДЗ.

Нанесем ОДЗ и нуль числителя на числовую ось и определим знаки выражения на получившихся интервалах.

Проверим знак на интервале $[2, 6)$. Возьмем $x=3$: $\frac{\sqrt{3-2}-2}{3} = \frac{1-2}{3} = -\frac{1}{3} < 0$. Этот интервал подходит.

Проверим знак на интервале $(6, +\infty)$. Возьмем $x=11$: $\frac{\sqrt{11-2}-2}{11} = \frac{3-2}{11} = \frac{1}{11} > 0$. Этот интервал не подходит.

Поскольку неравенство строгое ($<0$), точка $x=6$ не включается в решение. Точка $x=2$ включается, так как при $x=2$ выражение равно $\frac{\sqrt{2-2}-2}{2} = -1 < 0$.

Таким образом, решение неравенства: $x \in [2; 6)$.

Ответ: $x \in [2; 6)$.

2) Решим неравенство $\frac{\sqrt{2x-1}-1}{x} < 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ x \ne 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $2x \ge 1$, то есть $x \ge \frac{1}{2}$. Условие $x \ne 0$ выполняется. Таким образом, ОДЗ: $x \in [\frac{1}{2}, +\infty)$.

На ОДЗ знаменатель $x$ всегда положителен ($x > 0$). Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \sqrt{2x-1}-1 < 0 \\ x \ge \frac{1}{2} \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\sqrt{2x-1} < 1$

Так как обе части неравенства неотрицательны, можем возвести их в квадрат:

$2x-1 < 1$

$2x < 2$

$x < 1$

Теперь объединим полученное решение с ОДЗ:

$\begin{cases} x < 1 \\ x \ge \frac{1}{2} \end{cases}$

Пересечением является интервал $[\frac{1}{2}, 1)$. Проверим граничные точки. При $x=1/2$ имеем $\frac{\sqrt{2(1/2)-1}-1}{1/2} = \frac{0-1}{1/2} = -2 < 0$, значит $x=1/2$ входит в решение. При $x=1$ числитель равен 0, все выражение равно 0, что не удовлетворяет строгому неравенству, поэтому $x=1$ не входит в решение.

Решение: $x \in [\frac{1}{2}; 1)$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}; 1)$.