Номер 357, страница 170 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Логарифмическая функция $y = \log_a(f(x))$ определена, когда ее аргумент строго положителен, то есть $f(x) > 0$.

Следовательно, функция является неопределенной, когда аргумент логарифма меньше или равен нулю, то есть $f(x) \le 0$. Также следует учесть, что знаменатель дроби в аргументе не может быть равен нулю.

Для данной функции $y = \log_{0,5}\left(\frac{3x^2 - 11x - 4}{5x^2 - 7x + 2}\right)$ условие неопределенности выглядит следующим образом:

$\frac{3x^2 - 11x - 4}{5x^2 - 7x + 2} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя дроби.

1. Найдем корни числителя, решив уравнение $3x^2 - 11x - 4 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169 = 13^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$

2. Найдем корни знаменателя, решив уравнение $5x^2 - 7x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9 = 3^2$

Корни уравнения:

$x_3 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$x_4 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

Теперь перепишем исходное неравенство, разложив числитель и знаменатель на множители:

$\frac{3(x + \frac{1}{3})(x - 4)}{5(x - \frac{2}{5})(x - 1)} \le 0$

Отметим на числовой оси критические точки: $-\frac{1}{3}$, $\frac{2}{5}$, $1$, $4$. Корни знаменателя ($\frac{2}{5}$ и $1$) являются выколотыми точками (обозначены пустыми кружками), так как они не входят в область определения. Корни числителя ($-\frac{1}{3}$ и $4$) являются закрашенными точками (обозначены сплошными кружками), так как неравенство нестрогое ($\le$).

Определим знаки выражения на каждом из полученных интервалов:

Неравенство $\le 0$ выполняется на тех интервалах, где стоит знак «-». С учетом типов точек (закрашенные и выколотые), получаем решение.

Функция не определена при $x$, принадлежащих объединению интервалов: $[-\frac{1}{3}, \frac{2}{5})$ и $(1, 4]$.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{3}, \frac{2}{5}) \cup (1, 4]$