Номер 363, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Решим первое неравенство системы:

$$ \frac{x^2 + 4}{x^2 - 16x + 64} > 0 $$

Числитель $x^2 + 4$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, следовательно $x^2 + 4 \ge 4$.

Знаменатель $x^2 - 16x + 64$ является полным квадратом: $(x-8)^2$.

Неравенство принимает вид:

$$ \frac{x^2 + 4}{(x-8)^2} > 0 $$

Так как числитель всегда положителен, для выполнения неравенства знаменатель также должен быть положителен. Выражение $(x-8)^2$ положительно при всех значениях $x$, кроме тех, при которых оно равно нулю.

$(x-8)^2 \neq 0 \implies x - 8 \neq 0 \implies x \neq 8$.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 8) \cup (8; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство системы:

$$ \lg \sqrt{x + 7} > \lg(x - 5) - 2\lg 2 $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} \sqrt{x+7} > 0 \\ x-5 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x+7 > 0 \\ x > 5 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -7 \\ x > 5 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x > 5$.

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов ($n\log_a b = \log_a b^n$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$):

$$ \lg \sqrt{x + 7} > \lg(x - 5) - \lg 2^2 $$

$$ \lg \sqrt{x + 7} > \lg\left(\frac{x - 5}{4}\right) $$

Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, мы можем опустить логарифмы, сохранив знак неравенства:

$$ \sqrt{x + 7} > \frac{x - 5}{4} $$

В области ОДЗ ($x > 5$) обе части неравенства положительны. Возведем обе части в квадрат:

$$ x + 7 > \frac{(x - 5)^2}{16} $$

$$ 16(x+7) > x^2 - 10x + 25 $$

$$ 16x + 112 > x^2 - 10x + 25 $$

$$ x^2 - 26x - 87 < 0 $$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 26x - 87 = 0$ через дискриминант:

$D = (-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-87) = 676 + 348 = 1024 = 32^2$.

$x_1 = \frac{26 - 32}{2} = -3$, $x_2 = \frac{26 + 32}{2} = 29$.

Парабола $y = x^2 - 26x - 87$ ветвями вверх, значит, неравенство $x^2 - 26x - 87 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-3; 29)$.

Учитывая ОДЗ ($x > 5$), получаем решение второго неравенства: $x \in (5; 29)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств системы:

$\begin{cases} x \in (-\infty; 8) \cup (8; +\infty) \\ x \in (5; 29) \end{cases}$

Пересечением является объединение интервалов $(5; 8) \cup (8; 29)$.

Ответ: $(5; 8) \cup (8; 29)$.

2)

Во втором неравенстве системы $\frac{}{\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x}} > 4$ отсутствует числитель. Вероятно, это опечатка в условии задачи. Наиболее логичным и решаемым вариантом является предположение, что дробная черта является лишней, и неравенство должно выглядеть так: $\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x} > 4$. Будем решать систему с этим исправлением.

Решим первое неравенство системы:

$$ \sqrt{4x - 7} < x $$

Данное иррациональное неравенство равносильно системе:

$$ \begin{cases} 4x - 7 \ge 0 \\ x > 0 \\ 4x - 7 < x^2 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство системы:

1) $4x - 7 \ge 0 \implies 4x \ge 7 \implies x \ge \frac{7}{4}$.

2) $x > 0$.

3) $x^2 - 4x + 7 > 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), трехчлен $x^2 - 4x + 7$ положителен при любых $x \in \mathbb{R}$.

Пересечение решений $x \ge \frac{7}{4}$, $x > 0$ и $x \in \mathbb{R}$ дает $x \ge \frac{7}{4}$.

Решение первого неравенства: $x \in [\frac{7}{4}; +\infty)$.

Решим второе неравенство (в исправленном виде):

$$ \sqrt{5+x} + \sqrt{5-x} > 4 $$

Найдем ОДЗ: $\begin{cases} 5+x \ge 0 \\ 5-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x \le 5 \end{cases} \implies x \in [-5; 5]$.

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому можем возвести их в квадрат:

$$ (\sqrt{5+x} + \sqrt{5-x})^2 > 4^2 $$

$$ (5+x) + 2\sqrt{(5+x)(5-x)} + (5-x) > 16 $$

$$ 10 + 2\sqrt{25 - x^2} > 16 $$

$$ 2\sqrt{25 - x^2} > 6 $$

$$ \sqrt{25 - x^2} > 3 $$

Снова возведем в квадрат обе части (они неотрицательны):

$$ 25 - x^2 > 9 $$

$$ 16 > x^2 $$

$$ x^2 < 16 \implies -4 < x < 4 $$

Учитывая ОДЗ $x \in [-5; 5]$, получаем решение второго неравенства: $x \in (-4; 4)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств системы:

$\begin{cases} x \in [\frac{7}{4}; +\infty) \\ x \in (-4; 4) \end{cases}$

Так как $\frac{7}{4} = 1.75$, пересечением является интервал $[\frac{7}{4}; 4)$.

Ответ: $[\frac{7}{4}; 4)$.