Номер 365, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Бұл теңсіздікті дәлелдеу үшін $ \alpha, \beta, \gamma $ сүйірбұрышты үшбұрыштың бұрыштары екенін пайдаланамыз. Біріншіден, өрнектің сол жағын тригонометриялық тепе-теңдіктер арқылы түрлендірейік.

Дәрежені төмендету формуласын қолданамыз $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} $: $ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} + \frac{1 - \cos(2\beta)}{2} + \sin^2 \gamma $

$ = 1 - \frac{\cos(2\alpha) + \cos(2\beta)}{2} + \sin^2 \gamma $

Косинустардың қосындысын көбейтіндіге түрлендіру формуласын $ \cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} $ қолданамыз: $ \cos(2\alpha) + \cos(2\beta) = 2 \cos(\alpha+\beta) \cos(\alpha-\beta) $

Орнына қойсақ: $ 1 - \frac{2 \cos(\alpha+\beta) \cos(\alpha-\beta)}{2} + \sin^2 \gamma = 1 - \cos(\alpha+\beta) \cos(\alpha-\beta) + \sin^2 \gamma $

Үшбұрыш бұрыштарының қосындысы $ \alpha + \beta + \gamma = \pi $ екені белгілі, бұдан $ \alpha + \beta = \pi - \gamma $ шығады. Демек, $ \cos(\alpha+\beta) = \cos(\pi - \gamma) = -\cos \gamma $.

Осыны өрнекке қоямыз: $ 1 - (-\cos \gamma) \cos(\alpha-\beta) + \sin^2 \gamma = 1 + \cos \gamma \cos(\alpha-\beta) + \sin^2 \gamma $

$ \sin^2 \gamma = 1 - \cos^2 \gamma $ тепе-теңдігін пайдаланып, өрнекті одан әрі түрлендіреміз: $ = 1 + \cos \gamma \cos(\alpha-\beta) + 1 - \cos^2 \gamma = 2 + \cos \gamma \cos(\alpha-\beta) - \cos^2 \gamma $

$ = 2 + \cos \gamma (\cos(\alpha-\beta) - \cos \gamma) $

Жақша ішіндегі $ \cos \gamma $ орнына $ -\cos(\alpha+\beta) $ қоямыз: $ = 2 + \cos \gamma (\cos(\alpha-\beta) - (-\cos(\alpha+\beta))) = 2 + \cos \gamma (\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)) $

$ \cos(A-B) + \cos(A+B) = 2 \cos A \cos B $ формуласы бойынша: $ = 2 + \cos \gamma (2 \cos \alpha \cos \beta) = 2 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma $

Сонымен, біз кез келген үшбұрыш үшін орындалатын $ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 2 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma $ тепе-теңдігін алдық.

Енді бастапқы теңсіздікке оралайық: $ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma > 2 $

Алынған тепе-теңдікті теңсіздікке қойсақ: $ 2 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma > 2 $

Екі жағынан 2-ні алып тастағанда, теңсіздік мына түрге келеді: $ 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma > 0 $

немесе $ \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma > 0 $

Есептің шарты бойынша $ \alpha, \beta, \gamma $ — сүйірбұрышты үшбұрыштың бұрыштары. Бұл дегеніміз, барлық үш бұрыш та $ 90^\circ $-тан (немесе $ \pi/2 $ радианнан) кіші: $ 0 < \alpha < \pi/2 $, $ 0 < \beta < \pi/2 $, $ 0 < \gamma < \pi/2 $.

Бірінші ширектегі (0-ден $ \pi/2 $-ге дейінгі) бұрыштардың косинусы оң мән қабылдайды. Сондықтан: $ \cos \alpha > 0 $, $ \cos \beta > 0 $, $ \cos \gamma > 0 $.

Үш оң санның көбейтіндісі әрқашан оң болады: $ \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma > 0 $.

Бұл соңғы теңсіздік дұрыс болғандықтан, бастапқы $ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma > 2 $ теңсіздігі де сүйірбұрышты үшбұрыш үшін дұрыс болып табылады.

Ответ: Дәлелдеу аяқталды. Сүйірбұрышты үшбұрыштың барлық бұрыштары $ (0, \pi/2) $ аралығында жататындықтан, олардың косинустары оң болады. Демек, $ \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma > 0 $. $ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 2 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma $ тепе-теңдігіне сүйеніп, $ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma > 2 $ екендігіне көз жеткіземіз.