Вопросы, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Айнымалысы модуль таңбасының ішінде болатын теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің модульсіз теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуден басты айырмашылығы — шешу әдісінің күрделілігі мен құрылымында. Модульсіз теңдеулерді шешкенде, біз әдетте бүкіл сандар осінде орындалатын бірыңғай алгебралық түрлендірулерді қолданамыз. Ал модуль таңбасының болуы есепті бірнеше жағдайға немесе аралықтарға бөліп қарастыруды талап етеді.

Негізгі айырмашылықтар:

1.Анықталу облысын аралықтарға бөлу. Модульдің анықтамасы бойынша, $|a| = \begin{cases} a, & \text{егер } a \ge 0 \\ -a, & \text{егер } a < 0 \end{cases}$. Сондықтан, модуль ішіндегі өрнектің таңбасына байланысты кем дегенде екі жағдайды қарастыру керек. Ол үшін алдымен модуль ішіндегі өрнекті нөлге теңестіретін "критикалық нүктелер" табылады. Бұл нүктелер айнымалының мүмкін мәндер жиынын (сандар осін) бірнеше аралықтарға бөледі.

2.Әр аралықта жеке теңдеу/теңсіздік шешу. Әрбір аралықта модуль ішіндегі өрнектің таңбасы тұрақты болады (оң немесе теріс). Осы таңбаға сәйкес модуль таңбасы ашылады да, бастапқы теңдеу әр аралық үшін модульсіз, жаңа, қарапайым теңдеуге (немесе теңсіздікке) айналады.

3.Шешімдерді тексеру және біріктіру. Әр аралықта табылған шешім міндетті түрде сол аралыққа тиісті болуы керек. Егер шешім аралықтан тыс болса, ол жарамсыз (бөгде) түбір болып саналады. Соңында барлық аралықтардан алынған жарамды шешімдер жиыны біріктіріледі.

Модульсіз теңдеулер мен теңсіздіктерде мұндай аралықтарға бөлу, әр аралықта жеке шешу және шешімдерді тексеріп біріктіру қадамдары қажет емес.

Ответ: Айнымалысы модуль ішіндегі теңдеулерді/теңсіздіктерді шешу айнымалының мүмкін мәндер жиынын аралықтарға бөлуді, әр аралықта модульді ашып, жеке теңдеу/теңсіздік шешуді және соңында табылған шешімдердің сол аралыққа тиістілігін тексеріп, оларды біріктіруді талап етеді. Модульсіз есептерде бұл қадамдар орындалмайды.

2. Айнымалысы модуль таңбасының ішінде болатын теңдеулерді (теңсіздіктерді) шешу барысында әрбір аралықта шығарылатын теңдеулердің (теңсіздіктердің) бастапқы есепке мәндес (эквивалентті) болуын былай түсінуге болады: бұл мәндестік абсолютті емес, шартты болып табылады.

Яғни, модульді ашқаннан кейін пайда болған жаңа теңдеу бастапқы модульдік теңдеуге тек біз қарастырып отырған нақты аралықтың ішінде ғана мәндес болады. Басқаша айтқанда, олардың шешімдер жиыны тек сол аралықта ғана бірдей болады.

Мысалы, $|f(x)| = g(x)$ теңдеуін шешу керек болсын.

1. $f(x) \ge 0$ болатын аралықты қарастырайық. Бұл аралықта модульдің анықтамасы бойынша $|f(x)| = f(x)$ болады. Демек, бастапқы теңдеу $f(x) = g(x)$ теңдеуіне айналады. Бұл $f(x) = g(x)$ теңдеуі бастапқы $|f(x)| = g(x)$ теңдеуіне тек $f(x) \ge 0$ шарты орындалғанда ғана мәндес. Яғни, біз келесі жүйені шешеміз: $ \begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) \ge 0. \end{cases} $ Егер $f(x) = g(x)$ теңдеуінің шешімі $f(x) \ge 0$ шартын қанағаттандырмаса, ол бастапқы теңдеудің шешімі бола алмайды.

2. $f(x) < 0$ болатын аралықты қарастырайық. Бұл аралықта $|f(x)| = -f(x)$ болады. Сонда бастапқы теңдеу $-f(x) = g(x)$ теңдеуіне айналады. Бұл теңдеу бастапқы теңдеуге тек $f(x) < 0$ шарты орындалғанда ғана мәндес. Яғни, біз мына жүйені шешеміз: $ \begin{cases} -f(x) = g(x), \\ f(x) < 0. \end{cases} $

Осылайша, әрбір аралықтағы теңдеудің бастапқы теңдеуге мәндес болуы дегеніміз – модульді ашу үшін қойылған шартты (мысалы, $f(x) \ge 0$) ескере отырып, сол шарт аясында ғана шешімдердің сәйкес келуі. Егер табылған шешім сол шартты қанағаттандырмаса, ол бөгде түбір болып есептеледі, себебі ол модульді ашу ережесін бұзады.

Ответ: Әрбір аралықта шығарылатын теңдеудің бастапқы теңдеуге мәндес болуы – бұл шартты мәндестік. Яғни, жаңа теңдеу бастапқы теңдеумен тек сол аралықты анықтайтын шарт орындалғанда ғана бірдей шешімдерге ие болады. Сол шартты қанағаттандырмайтын кез келген шешім бөгде түбір болып табылады.