Номер 366, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $|x - \frac{3}{7}| = \frac{2}{5}$

Уравнение с модулем вида $|A| = B$ (где $B \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений:

$x - \frac{3}{7} = \frac{2}{5}$ или $x - \frac{3}{7} = -\frac{2}{5}$

Решим первое уравнение:

$x = \frac{2}{5} + \frac{3}{7}$

Приведем дроби к общему знаменателю 35:

$x = \frac{2 \cdot 7}{35} + \frac{3 \cdot 5}{35} = \frac{14 + 15}{35} = \frac{29}{35}$

Решим второе уравнение:

$x = -\frac{2}{5} + \frac{3}{7}$

$x = -\frac{14}{35} + \frac{15}{35} = \frac{1}{35}$

Ответ: $\frac{1}{35}; \frac{29}{35}$.

2) $|2x - 3| = x + 1$

По определению модуля, правая часть уравнения должна быть неотрицательной, то есть $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.

При этом условии уравнение распадается на два случая:

Первый случай: $2x - 3 = x + 1$

$2x - x = 1 + 3$

$x = 4$.

Этот корень удовлетворяет условию $x \ge -1$.

Второй случай: $2x - 3 = -(x + 1)$

$2x - 3 = -x - 1$

$2x + x = 3 - 1$

$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$.

Этот корень также удовлетворяет условию $x \ge -1$.

Оба найденных значения являются решениями.

Ответ: $\frac{2}{3}; 4$.

3) $2|x| - |x+1| = 2$

Для решения этого уравнения используем метод интервалов. Найдем точки, в которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль:

$x = 0$ и $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -1)$, $[-1; 0)$ и $[0; \infty)$.

Рассмотрим уравнение на каждом промежутке.

1. При $x \in (-\infty; -1)$:

Оба выражения под модулем отрицательны: $|x| = -x$ и $|x+1| = -(x+1)$.

$2(-x) - (-(x+1)) = 2$

$-2x + x + 1 = 2$

$-x = 1 \Rightarrow x = -1$.

Этот корень не входит в интервал $x < -1$, но является его границей. Проверим его подстановкой в исходное уравнение: $2|-1| - |-1+1| = 2(1) - 0 = 2$. Равенство верно, значит $x=-1$ является корнем.

2. При $x \in [-1; 0)$:

$|x| = -x$ и $|x+1| = x+1$.

$2(-x) - (x+1) = 2$

$-2x - x - 1 = 2$

$-3x = 3 \Rightarrow x = -1$.

Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку $[-1, 0)$.

3. При $x \in [0; \infty)$:

Оба выражения под модулем неотрицательны: $|x| = x$ и $|x+1| = x+1$.

$2(x) - (x+1) = 2$

$2x - x - 1 = 2$

$x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3$.

Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку $x \ge 0$.

Объединяя решения, получаем два корня.

Ответ: $-1; 3$.

4) $|x-2| + |x-3| + |2x-8| = 9$

Воспользуемся методом интервалов. Найдем нули подмодульных выражений:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

$2x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4$

Точки 2, 3, 4 делят числовую ось на четыре промежутка.

1. При $x < 2$:

Все подмодульные выражения отрицательны.

$-(x-2) - (x-3) - (2x-8) = 9$

$-x + 2 - x + 3 - 2x + 8 = 9$

$-4x + 13 = 9$

$-4x = -4 \Rightarrow x = 1$.

Корень $x=1$ удовлетворяет условию $x < 2$.

2. При $2 \le x < 3$:

$|x-2| = x-2$, остальные отрицательны.

$(x-2) - (x-3) - (2x-8) = 9$

$x - 2 - x + 3 - 2x + 8 = 9$

$-2x + 9 = 9$

$-2x = 0 \Rightarrow x = 0$.

Корень $x=0$ не принадлежит промежутку $[2, 3)$.

3. При $3 \le x < 4$:

$|x-2| = x-2$, $|x-3| = x-3$, $|2x-8| = -(2x-8)$.

$(x-2) + (x-3) - (2x-8) = 9$

$x - 2 + x - 3 - 2x + 8 = 9$

$3 = 9$.

Это неверное равенство, значит на этом промежутке корней нет.

4. При $x \ge 4$:

Все подмодульные выражения неотрицательны.

$(x-2) + (x-3) + (2x-8) = 9$

$x - 2 + x - 3 + 2x - 8 = 9$

$4x - 13 = 9$

$4x = 22 \Rightarrow x = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} = 5,5$.

Корень $x=5,5$ удовлетворяет условию $x \ge 4$.

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $1; 5,5$.