Номер 370, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Исходное уравнение: $ \sqrt{4-x} = 3 - |x-1| $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ 4-x \ge 0 $, что означает $ x \le 4 $.
2. Правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как она равна арифметическому квадратному корню: $ 3 - |x-1| \ge 0 $, что означает $ |x-1| \le 3 $.
Решим неравенство с модулем: $ -3 \le x-1 \le 3 $. Прибавив 1 ко всем частям, получим $ -2 \le x \le 4 $.
Объединяя оба условия ($ x \le 4 $ и $ -2 \le x \le 4 $), получаем итоговую ОДЗ: $ x \in [-2, 4] $.

Теперь рассмотрим два случая, раскрывая модуль.

Случай 1: $ x - 1 \ge 0 $, то есть $ x \ge 1 $.
С учетом ОДЗ, рассматриваем промежуток $ x \in [1, 4] $.
На этом промежутке $|x-1| = x-1$. Уравнение принимает вид:
$ \sqrt{4-x} = 3 - (x-1) $
$ \sqrt{4-x} = 4-x $
Пусть $ y = \sqrt{4-x} $, тогда $ y^2 = 4-x $. Уравнение становится $ y = y^2 $.
$ y^2 - y = 0 $
$ y(y-1) = 0 $
Отсюда $ y=0 $ или $ y=1 $.
Если $ y=0 $, то $ \sqrt{4-x} = 0 \implies 4-x = 0 \implies x=4 $. Этот корень принадлежит промежутку $ [1, 4] $.
Если $ y=1 $, то $ \sqrt{4-x} = 1 \implies 4-x = 1 \implies x=3 $. Этот корень также принадлежит промежутку $ [1, 4] $.
В этом случае мы получили два корня: $ x=3 $ и $ x=4 $.

Случай 2: $ x - 1 < 0 $, то есть $ x < 1 $.
С учетом ОДЗ, рассматриваем промежуток $ x \in [-2, 1) $.
На этом промежутке $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Уравнение принимает вид:
$ \sqrt{4-x} = 3 - (1-x) $
$ \sqrt{4-x} = 2+x $
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$ 4-x = (2+x)^2 $
$ 4-x = 4 + 4x + x^2 $
$ x^2 + 5x = 0 $
$ x(x+5) = 0 $
Получаем два потенциальных корня: $ x=0 $ и $ x=-5 $.
Проверяем их принадлежность промежутку $ [-2, 1) $.
$ x=0 $ принадлежит промежутку $ [-2, 1) $, значит, это корень.
$ x=-5 $ не принадлежит промежутку $ [-2, 1) $, значит, это посторонний корень.

Объединяем решения из обоих случаев.
Ответ: $ \{0, 3, 4\} $

2)

Исходное уравнение: $ \sqrt{3-x+3} = x+2 $, что можно упростить до $ \sqrt{6-x} = x+2 $

Определим область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ 6-x \ge 0 $, что означает $ x \le 6 $.
2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $ x+2 \ge 0 $, что означает $ x \ge -2 $.
Итоговая ОДЗ: $ x \in [-2, 6] $.

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как на ОДЗ они обе неотрицательны:
$ (\sqrt{6-x})^2 = (x+2)^2 $
$ 6-x = x^2 + 4x + 4 $
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$ x^2 + 4x + x + 4 - 6 = 0 $
$ x^2 + 5x - 2 = 0 $

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:
$ D = 5^2 - 4(1)(-2) = 25 + 8 = 33 $
Поскольку $ D > 0 $, уравнение имеет два корня:
$ x_1 = \frac{-5 - \sqrt{33}}{2} $
$ x_2 = \frac{-5 + \sqrt{33}}{2} $

Теперь проверим, принадлежат ли эти корни ОДЗ ($ x \in [-2, 6] $).
Для $ x_1 = \frac{-5 - \sqrt{33}}{2} $:
Так как $ \sqrt{25} < \sqrt{33} < \sqrt{36} $, то $ 5 < \sqrt{33} < 6 $.
Значит, $ -5 - \sqrt{33} < -5 - 5 = -10 $.
$ x_1 = \frac{-5 - \sqrt{33}}{2} < \frac{-10}{2} = -5 $.
Поскольку $ -5 < -2 $, корень $ x_1 $ не входит в ОДЗ и является посторонним.

Для $ x_2 = \frac{-5 + \sqrt{33}}{2} $:
Используя те же оценки для $ \sqrt{33} $:
$ -5 + 5 < -5 + \sqrt{33} < -5 + 6 \implies 0 < -5 + \sqrt{33} < 1 $.
Тогда $ \frac{0}{2} < \frac{-5 + \sqrt{33}}{2} < \frac{1}{2} \implies 0 < x_2 < 0.5 $.
Значение $ x_2 $ находится в интервале $ [-2, 6] $, следовательно, это действительный корень уравнения.

Ответ: $ \frac{-5+\sqrt{33}}{2} $