Номер 375, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} |x+4| < 9, \\ \frac{5x-2}{x+6} > 1; \end{cases} $

Решим первое неравенство: $|x+4| < 9$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству: $ -9 < x+4 < 9 $
Вычтем 4 из всех частей неравенства: $ -9 - 4 < x < 9 - 4 $
$ -13 < x < 5 $
Решение первого неравенства: $x \in (-13, 5)$.

Решим второе неравенство: $\frac{5x-2}{x+6} > 1$.
Перенесем 1 в левую часть: $ \frac{5x-2}{x+6} - 1 > 0 $
Приведем к общему знаменателю: $ \frac{5x-2 - (x+6)}{x+6} > 0 $
$ \frac{5x-2-x-6}{x+6} > 0 $
$ \frac{4x-8}{x+6} > 0 $
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $ 4x-8=0 \implies x=2 $
$ x+6=0 \implies x=-6 $
Отметим точки -6 и 2 на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty, -6)$, $(-6, 2)$ и $(2, \infty)$.

• При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{4(3)-8}{3+6} = \frac{4}{9} > 0$. Интервал $(2, \infty)$ является решением.
• При $-6 < x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{4(0)-8}{0+6} = -\frac{8}{6} < 0$. Интервал $(-6, 2)$ не является решением.
• При $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{4(-7)-8}{-7+6} = \frac{-36}{-1} = 36 > 0$. Интервал $(-\infty, -6)$ является решением.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -6) \cup (2, \infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-13, 5)$ и $x \in (-\infty, -6) \cup (2, \infty)$.

Пересечение множеств $(-13, 5)$ и $(-\infty, -6)$ дает интервал $(-13, -6)$.
Пересечение множеств $(-13, 5)$ и $(2, \infty)$ дает интервал $(2, 5)$.
Объединив эти результаты, получаем решение системы.

Изобразим решение на числовой оси:

Ответ: $x \in (-13, -6) \cup (2, 5)$

2)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \left|\frac{x^2-1}{x+2}\right| < 1, \\ \frac{4}{x-2} < 0. \end{cases} $

Сначала решим второе, более простое неравенство: $\frac{4}{x-2} < 0$.
Так как числитель $4$ положителен, дробь будет отрицательной, если знаменатель отрицателен: $ x-2 < 0 $
$ x < 2 $
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 2)$.

Теперь решим первое неравенство: $\left|\frac{x^2-1}{x+2}\right| < 1$.
Это неравенство равносильно системе (или двойному неравенству): $ -1 < \frac{x^2-1}{x+2} < 1 $
Область допустимых значений: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
Разобьем двойное неравенство на два:

а) $\frac{x^2-1}{x+2} < 1$
$ \frac{x^2-1}{x+2} - 1 < 0 $
$ \frac{x^2-1-(x+2)}{x+2} < 0 $
$ \frac{x^2-x-3}{x+2} < 0 $
Найдем корни числителя $x^2-x-3=0$ по формуле: $x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4(1)(-3)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Корни знаменателя: $x=-2$. Точки $-2, \frac{1-\sqrt{13}}{2} \approx -1.3, \frac{1+\sqrt{13}}{2} \approx 2.3$ разбивают числовую ось. Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2) \cup (\frac{1-\sqrt{13}}{2}, \frac{1+\sqrt{13}}{2})$.

б) $\frac{x^2-1}{x+2} > -1$
$ \frac{x^2-1}{x+2} + 1 > 0 $
$ \frac{x^2-1+x+2}{x+2} > 0 $
$ \frac{x^2+x+1}{x+2} > 0 $
Дискриминант числителя $x^2+x+1$ равен $D = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, числитель всегда положителен ($x^2+x+1 > 0$ для всех $x$).
Следовательно, знак дроби зависит только от знаменателя: $ x+2 > 0 \implies x > -2 $.
Решение неравенства б): $x \in (-2, \infty)$.

Решением первого неравенства системы является пересечение решений а) и б):
$( (-\infty, -2) \cup (\frac{1-\sqrt{13}}{2}, \frac{1+\sqrt{13}}{2}) ) \cap (-2, \infty) = (\frac{1-\sqrt{13}}{2}, \frac{1+\sqrt{13}}{2})$.

Наконец, найдем пересечение решений всей системы:
Решение 1: $x \in (\frac{1-\sqrt{13}}{2}, \frac{1+\sqrt{13}}{2})$
Решение 2: $x \in (-\infty, 2)$
Приближенные значения: $\frac{1-\sqrt{13}}{2} \approx -1.3$ и $\frac{1+\sqrt{13}}{2} \approx 2.3$.
Нам нужно найти пересечение интервалов $(\frac{1-\sqrt{13}}{2}, \frac{1+\sqrt{13}}{2})$ и $(-\infty, 2)$.

Изобразим на числовой оси:

Пересечение этих множеств - это интервал от $\frac{1-\sqrt{13}}{2}$ до $2$.

Ответ: $x \in (\frac{1-\sqrt{13}}{2}, 2)$