Вопросы, страница 182 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Параметрі бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің параметрі жоқ теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуден қандай айырмашылығы бар?

Параметрі жоқ теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу мен параметрі бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің арасында түбегейлі айырмашылықтар бар.

Параметрі жоқ теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудегі мақсат – айнымалының (әдетте $x$) нақты сандық мәнін немесе оның мүмкін мәндер жиынын (аралықты) табу. Бұл жағдайда теңдеудегі немесе теңсіздіктегі барлық коэффициенттер мен бос мүшелер – нақты сандар. Шешім де нақты сан, сандар жиыны немесе аралық түрінде болады. Мысалы, $3x - 6 = 0$ теңдеуінің шешімі $x=2$ болады, ал $x^2 > 9$ теңсіздігінің шешімі $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$ аралықтары болады.

Параметрі бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудегі мақсат – тек айнымалыны табу емес, параметрдің (мысалы, $a$) әрбір мүмкін мәні үшін айнымалының мәнін немесе мәндер жиынын анықтау. Мұнда параметр де айнымалы сияқты қарастырылады, бірақ оның мәніне байланысты теңдеудің немесе теңсіздіктің түрі, құрылымы, тіпті шешімдерінің саны да өзгеруі мүмкін. Сондықтан шешу процесі зерттеу жұмысына ұқсайды. Теңдеу немесе теңсіздік параметрдің әртүрлі мәндеріне сәйкес бірнеше жағдайға бөлініп қарастырылады. Жауап әдетте параметрдің мәніне тәуелді болады және "егер параметр осындай мәндер қабылдаса, онда шешім мынадай болады" деген сияқты шартты түрде жазылады.

Мысалы, $ax = 5$ теңдеуін қарастырайық.
• Егер $a \neq 0$ болса, онда теңдеудің жалғыз шешімі бар: $x = \frac{5}{a}$.
• Егер $a = 0$ болса, теңдеу $0 \cdot x = 5$ түріне келеді, бұл мүмкін емес, яғни шешімі жоқ.

Негізгі айырмашылықтар:
1. Мақсаты: Параметрсіз есепте – нақты сан немесе аралық табу. Параметрлі есепте – параметрдің барлық мәндеріне сәйкес шешімдерді табу (зерттеу).
2. Жауабының түрі: Параметрсіз есепте – сан немесе сандық аралық. Параметрлі есепте – параметрге тәуелді аналитикалық өрнек немесе шартты жауап.
3. Шешу әдісі: Параметрсіз есептер стандартты алгоритмдермен шешілсе, параметрлі есептер параметрдің "бақылау" (критикалық) нүктелеріне байланысты жағдайларға бөліп талдауды қажет етеді.

Ответ: Негізгі айырмашылық – шешудің мақсаты мен жауаптың түрінде. Параметрі жоқ теңдеуде нақты сан немесе аралық ізделінсе, параметрі бар теңдеуде жауап параметрдің мәніне байланысты болады және оны шешу зерттеу жүргізуді қажет етеді, яғни параметрдің әртүрлі мәндеріне сәйкес келетін барлық жағдайлар қарастырылады.

2. Параметрі бар теңдеулер және теңсіздіктерді шешу мен айнымалысы модуль таңбасының ішінде болатын теңдеулер және теңсіздіктерді шешу жолының қандай ұқсастығы бар?

Параметрі бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдісі мен айнымалысы модуль таңбасының ішінде болатын теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдісінің арасында маңызды бір ұқсастық бар. Бұл ұқсастық екі түрдегі есепті де шешуде қолданылатын негізгі логикалық тәсіл – жағдайларға бөлу (немесе аралықтар) әдісі болып табылады.

Айнымалысы модуль таңбасының ішінде болатын есептерді шешкенде, біз модульден құтылу үшін модуль ішіндегі өрнектің таңбасына байланысты бірнеше жағдайды қарастырамыз. Яғни, модуль ішіндегі өрнектің оң, теріс немесе нөлге тең болатын мәндеріне қарай есепті бірнеше бөлікке бөлеміз.
Мысалы, $|f(x)| = g(x)$ теңдеуін шешу үшін:
1. $f(x) \ge 0$ жағдайында $f(x) = g(x)$ теңдеуін шешеміз.
2. $f(x) < 0$ жағдайында $-f(x) = g(x)$ теңдеуін шешеміз.
Содан кейін әр жағдайдан алынған шешімдерді бастапқы шартпен (мысалы, $f(x) \ge 0$) сәйкестігін тексеріп, соңында барлық жарамды шешімдерді біріктіреміз.

Параметрі бар есептерді шешкенде де, біз дәл осылай параметрдің мәніне байланысты бірнеше жағдайды қарастырамыз. Бұл жағдайлар параметрдің "бақылау" (критикалық) нүктелерімен анықталады. Бұл нүктелерде теңдеудің немесе теңсіздіктің құрылымы өзгереді (мысалы, квадраттық теңдеу сызықтық теңдеуге айналады, бөлшектің бөлімі нөлге тең болады, дискриминанттың таңбасы өзгереді және т.б.). Әр жағдай үшін есеп жеке шешіліп, соңында барлық жағдайларға сәйкес жауаптар біріктіріліп, толық жауап құрастырылады.

Ортақ ұқсастық:
Екі түрдегі есептің де негізгі шешу стратегиясы – күрделі есепті бірнеше қарапайым жағдайлар жиынтығына келтіру.
• Модульді есептерде жағдайлар модуль ішіндегі өрнектің таңбасына байланысты анықталады.
• Параметрлі есептерде жағдайлар параметрдің теңдеу/теңсіздік сипатын өзгертетін мәндеріне байланысты анықталады.
Екі жағдайда да шешу алгоритмі мынадай логикалық қадамдардан тұрады: 1) Есепті талдау; 2) Жағдайларға бөлуге себеп болатын "критикалық" нүктелерді немесе шарттарды анықтау; 3) Әр жағдайды жеке шешу; 4) Алынған нәтижелерді біріктіріп, толық жауапты қалыптастыру.

Ответ: Екі түрдегі есепті шешу жолдарының басты ұқсастығы – екеуінде де жағдайларға бөлу әдісінің қолданылуы. Есепті бірнеше қарапайым жағдайға бөліп, әрқайсысын жеке-жеке шешіп, соңында нәтижелерді біріктіру арқылы толық жауап алынады. Бұл – екі түрдегі есептің де шешу алгоритмінің логикалық негізі.