Номер 387, страница 182 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для решения задачи найдем, при каких значениях параметра $a$ число корней уравнения $|x^2 - 6x - 5| = a$ будет не менее трех. Эту задачу удобно решать графически.

Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков двух функций: $y = |x^2 - 6x - 5|$ и $y = a$. График функции $y=a$ — это прямая, параллельная оси абсцисс.

Рассмотрим построение графика функции $y = |x^2 - 6x - 5|$.

1. Сначала построим параболу $f(x) = x^2 - 6x - 5$. Это парабола с ветвями, направленными вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$

$y_в = f(3) = 3^2 - 6(3) - 5 = 9 - 18 - 5 = -14$

Вершина параболы находится в точке $(3, -14)$.

3. График функции $y = |x^2 - 6x - 5|$ получается из графика параболы $y = x^2 - 6x - 5$ следующим образом: часть графика, которая находится ниже оси Ох (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ох, а часть графика, которая находится выше или на оси Ох (где $y \ge 0$), остается без изменений. Вершина $(3, -14)$ после отражения превратится в точку локального максимума $(3, 14)$.

Проанализируем количество точек пересечения графика $y = |x^2 - 6x - 5|$ с прямой $y = a$ в зависимости от значения $a$.

• Если $a < 0$, прямая $y=a$ проходит ниже оси Ох. Точек пересечения нет, уравнение не имеет корней.
• Если $a = 0$, прямая совпадает с осью Ох. Есть две точки пересечения, уравнение имеет 2 корня.
• Если $0 < a < 14$, прямая пересекает график в четырех точках. Уравнение имеет 4 корня.
• Если $a = 14$, прямая касается графика в его локальном максимуме и пересекает две ветви параболы. Есть три точки пересечения, уравнение имеет 3 корня.
• Если $a > 14$, прямая пересекает график в двух точках. Уравнение имеет 2 корня.

По условию задачи, уравнение должно иметь не менее трех корней, то есть 3 или 4 корня. Из нашего анализа следует, что это условие выполняется, когда $0 < a < 14$ (4 корня) и когда $a = 14$ (3 корня).

Объединяя эти случаи, получаем, что $a$ должно принадлежать промежутку $(0, 14]$.

Проверка аналитическим методом:

Уравнение $|x^2 - 6x - 5| = a$ при $a \ge 0$ равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x^2 - 6x - 5 = a \implies x^2 - 6x - (5+a) = 0$

2) $x^2 - 6x - 5 = -a \implies x^2 - 6x - (5-a) = 0$

Найдем количество корней для каждого уравнения с помощью дискриминанта.

Для первого уравнения: $D_1 = (-6)^2 - 4(1)(-(5+a)) = 36 + 20 + 4a = 56 + 4a$.

Так как по условию $a \ge 0$, то $D_1 = 56 + 4a > 0$ всегда. Следовательно, первое уравнение всегда имеет 2 различных действительных корня.

Для второго уравнения: $D_2 = (-6)^2 - 4(1)(-(5-a)) = 36 + 20 - 4a = 56 - 4a$.

• Если $D_2 > 0 \implies 56 - 4a > 0 \implies 4a < 56 \implies a < 14$. При $0 \le a < 14$ второе уравнение имеет 2 различных корня.
• Если $D_2 = 0 \implies 56 - 4a = 0 \implies a = 14$. Второе уравнение имеет 1 корень.
• Если $D_2 < 0 \implies 56 - 4a < 0 \implies a > 14$. Второе уравнение не имеет действительных корней.

Теперь посчитаем общее количество корней (корни уравнений (1) и (2) не совпадают при $a>0$):

• При $a=0$, оба уравнения становятся $x^2-6x-5=0$, которое имеет 2 корня.
• При $0 < a < 14$: первое уравнение дает 2 корня, второе — 2 корня. Всего $2+2=4$ корня.
• При $a = 14$: первое уравнение дает 2 корня, второе — 1 корень. Всего $2+1=3$ корня.
• При $a > 14$: первое уравнение дает 2 корня, второе — 0 корней. Всего $2+0=2$ корня.

Условию "не менее трех корней" удовлетворяют случаи, когда корней 3 или 4. Это соответствует значениям $a=14$ и $0 < a < 14$.

Таким образом, $a \in (0, 14]$.

Ответ: $a \in (0, 14]$.