Номер 391, страница 182 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для того чтобы система двух линейных уравнений с двумя переменными имела бесконечное множество решений, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при соответствующих переменных и свободные члены были пропорциональны. Для системы вида:

$\begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases}$

условие имеет вид:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$

Применим это правило к каждой из предложенных систем.

1)$\begin{cases} 3x + ay = 3, \\ ax + 3y = 3; \end{cases}$

Составим пропорцию из коэффициентов:

$\frac{3}{a} = \frac{a}{3} = \frac{3}{3}$

Из этой пропорции можно взять любое из равенств. Например, из равенства $\frac{a}{3} = \frac{3}{3}$ следует:

$\frac{a}{3} = 1$

$a = 3$

Проверим, выполняется ли вся пропорция при $a=3$:

$\frac{3}{3} = \frac{3}{3} = \frac{3}{3}$

$1 = 1 = 1$

Равенство верное, значит, при $a=3$ система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: $a = 3$

2)$\begin{cases} ax - (a + 1)y = 6, \\ 7ax - 28y = 6(a + 4)? \end{cases}$

Составим пропорцию из коэффициентов:

$\frac{a}{7a} = \frac{-(a+1)}{-28} = \frac{6}{6(a+4)}$

Упростим выражение, приняв во внимание, что $a \neq 0$ и $a \neq -4$ (иначе знаменатели обращаются в ноль):

$\frac{1}{7} = \frac{a+1}{28} = \frac{1}{a+4}$

Рассмотрим первую часть равенства:

$\frac{1}{7} = \frac{a+1}{28}$

Умножим обе части на 28:

$4 = a+1$

$a = 3$

Теперь подставим найденное значение $a=3$ во вторую часть равенства для проверки:

$\frac{1}{7} = \frac{1}{a+4} \implies \frac{1}{7} = \frac{1}{3+4} \implies \frac{1}{7} = \frac{1}{7}$

Равенство верное. Значение $a=3$ удовлетворяет ограничениям ($a \neq 0$ и $a \neq -4$).

Проверим исключенные случаи.
Если $a=0$, система примет вид $\begin{cases} -y = 6 \\ -28y = 24 \end{cases}$. Из первого уравнения $y=-6$, из второго $y = -24/28 = -6/7$. Решений нет.
Если $a=-4$, система примет вид $\begin{cases} -4x + 3y = 6 \\ -28x - 28y = 0 \end{cases}$. Эта система имеет единственное решение ($x=-6/7, y=6/7$).
Следовательно, единственное значение параметра, при котором система имеет бесконечное множество решений, это $a=3$.

Ответ: $a = 3$