Номер 390, страница 182 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Чтобы найти значения параметра a, при которых система линейных уравнений не имеет решений, воспользуемся условием для системы вида $ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $. Система не имеет решений, если коэффициенты при переменных пропорциональны, но не равны отношению свободных членов:

$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $

1) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + ay = 1 \\ x - 3ay = 2a + 3 \end{cases} $

Коэффициенты данной системы: $A_1 = 1$, $B_1 = a$, $C_1 = 1$ и $A_2 = 1$, $B_2 = -3a$, $C_2 = 2a + 3$.

Применим условие отсутствия решений. Составим пропорцию для коэффициентов при $x$ и $y$:

$ \frac{1}{1} = \frac{a}{-3a} $

Это равенство может выполняться только в том случае, если мы можем сократить $a$. Это возможно при $a \neq 0$. После сокращения получаем:

$ 1 = -\frac{1}{3} $

Данное равенство является ложным. Это означает, что при $a \neq 0$ отношение коэффициентов при $x$ не равно отношению коэффициентов при $y$ ($ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} $), и, следовательно, система всегда имеет единственное решение.

Теперь рассмотрим случай, когда $a = 0$, который мы исключили ранее. Подставим $a=0$ в исходную систему:

$ \begin{cases} x + 0 \cdot y = 1 \\ x - 3 \cdot 0 \cdot y = 2 \cdot 0 + 3 \end{cases} $

Упростив, получаем:

$ \begin{cases} x = 1 \\ x = 3 \end{cases} $

Эта система уравнений несовместна, так как переменная $x$ не может одновременно принимать два разных значения. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: $a=0$.

2) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + ay = 1 \\ ax + y = 2a \end{cases} $

Коэффициенты данной системы: $A_1 = 1$, $B_1 = a$, $C_1 = 1$ и $A_2 = a$, $B_2 = 1$, $C_2 = 2a$.

Применим условие отсутствия решений: $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $.

$ \frac{1}{a} = \frac{a}{1} \neq \frac{1}{2a} $

Сначала решим первую часть, уравнение $ \frac{1}{a} = \frac{a}{1} $. Заметим, что $a \neq 0$.

$ 1 = a^2 $

Отсюда получаем два возможных значения для $a$: $a = 1$ и $a = -1$.

Теперь для каждого из найденных значений $a$ необходимо проверить выполнение второй части условия (неравенства).

Случай 1: $a = 1$.

Проверяем неравенство $ \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $:

$ \frac{1}{1} \neq \frac{1}{2 \cdot 1} \implies 1 \neq \frac{1}{2} $

Неравенство истинно. Значит, при $a = 1$ система не имеет решений.

Случай 2: $a = -1$.

Проверяем неравенство $ \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $:

$ \frac{-1}{1} \neq \frac{1}{2 \cdot (-1)} \implies -1 \neq -\frac{1}{2} $

Неравенство также истинно. Значит, при $a = -1$ система не имеет решений.

Случай $a=0$ был исключен, так как знаменатель в пропорции обращается в ноль. Проверим его отдельно, подставив в систему:

$ \begin{cases} x + 0 \cdot y = 1 \\ 0 \cdot x + y = 2 \cdot 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 1 \\ y = 0 \end{cases} $

При $a=0$ система имеет единственное решение.

Ответ: $a=1, a=-1$.