Номер 386, страница 182 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Рассмотрим неравенство $ax^2 < 9$ в зависимости от параметра $a$.

I. Если $a > 0$, разделим обе части неравенства на $a$. Знак неравенства сохранится: $x^2 < \frac{9}{a}$. Так как $\frac{9}{a} > 0$, решение этого неравенства: $-\sqrt{\frac{9}{a}} < x < \sqrt{\frac{9}{a}}$, что равносильно $x \in (-\frac{3}{\sqrt{a}}, \frac{3}{\sqrt{a}})$.

II. Если $a = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 < 9$, то есть $0 < 9$. Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

III. Если $a < 0$, разделим обе части на $a$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $x^2 > \frac{9}{a}$. Поскольку $a < 0$, правая часть $\frac{9}{a}$ является отрицательным числом. Левая часть $x^2$ всегда неотрицательна ($x^2 \ge 0$), поэтому она всегда будет больше любого отрицательного числа. Следовательно, неравенство верно для любого $x$. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Объединяя случаи, получаем:
При $a > 0$, решение $x \in (-\frac{3}{\sqrt{a}}, \frac{3}{\sqrt{a}})$.
При $a \le 0$, решение $x \in (-\infty, +\infty)$.
Ответ: при $a > 0$, $x \in (-\frac{3}{\sqrt{a}}, \frac{3}{\sqrt{a}})$; при $a \le 0$, $x \in (-\infty, +\infty)$.

2) Рассмотрим неравенство $ax^2 > -1$ в зависимости от параметра $a$.

I. Если $a > 0$, то левая часть $ax^2$ неотрицательна ($ax^2 \ge 0$). Любое неотрицательное число всегда больше $-1$. Следовательно, неравенство выполняется для любого действительного $x$. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

II. Если $a = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 > -1$, то есть $0 > -1$. Это верное числовое неравенство, выполняющееся для любого $x$. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

III. Если $a < 0$, разделим обе части на $a$, изменив знак неравенства: $x^2 < \frac{-1}{a}$. Поскольку $a < 0$, правая часть $\frac{-1}{a}$ положительна. Решение этого неравенства: $-\sqrt{-\frac{1}{a}} < x < \sqrt{-\frac{1}{a}}$, что равносильно $x \in (-\frac{1}{\sqrt{-a}}, \frac{1}{\sqrt{-a}})$.

Объединяя случаи, получаем:
При $a \ge 0$, решение $x \in (-\infty, +\infty)$.
При $a < 0$, решение $x \in (-\frac{1}{\sqrt{-a}}, \frac{1}{\sqrt{-a}})$.
Ответ: при $a \ge 0$, $x \in (-\infty, +\infty)$; при $a < 0$, $x \in (-\frac{1}{\sqrt{-a}}, \frac{1}{\sqrt{-a}})$.

3) Для решения неравенства $x^2 + kx + 1 \ge 0$ рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = x^2 + kx + 1$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$. Решение зависит от дискриминанта $D = k^2 - 4(1)(1) = k^2 - 4$.

I. Если $D > 0$, то есть $k^2 - 4 > 0$, что равносильно $k^2 > 4$ или $|k| > 2$. В этом случае уравнение $x^2 + kx + 1 = 0$ имеет два различных действительных корня: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2-4}}{2}$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция $f(x)$ принимает неотрицательные значения ($f(x) \ge 0$) вне отрезка между корнями. Решение: $x \in (-\infty, \frac{-k - \sqrt{k^2-4}}{2}] \cup [\frac{-k + \sqrt{k^2-4}}{2}, +\infty)$.

II. Если $D = 0$, то есть $k^2 - 4 = 0$, что равносильно $k = \pm 2$ или $|k| = 2$. В этом случае уравнение имеет один действительный корень (кратный), и парабола касается оси Ox в своей вершине. Выражение $x^2 + kx + 1$ является полным квадратом и всегда неотрицательно. Например, при $k=2$ имеем $(x+1)^2 \ge 0$. Неравенство выполняется для всех действительных $x$. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

III. Если $D < 0$, то есть $k^2 - 4 < 0$, что равносильно $k^2 < 4$ или $|k| < 2$. В этом случае уравнение не имеет действительных корней, и парабола целиком лежит выше оси Ox. Следовательно, $x^2 + kx + 1 > 0$ для всех $x$, а значит и $x^2 + kx + 1 \ge 0$ тоже верно для всех $x$. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Объединяя случаи II и III ($D \le 0$, т.е. $|k| \le 2$), получаем:
При $|k| > 2$, решение $x \in (-\infty, \frac{-k - \sqrt{k^2-4}}{2}] \cup [\frac{-k + \sqrt{k^2-4}}{2}, +\infty)$.
При $|k| \le 2$, решение $x \in (-\infty, +\infty)$.
Ответ: при $|k| > 2$, $x \in (-\infty, \frac{-k - \sqrt{k^2-4}}{2}] \cup [\frac{-k + \sqrt{k^2-4}}{2}, +\infty)$; при $|k| \le 2$, $x \in (-\infty, +\infty)$.

4) Решим линейное неравенство $(n+5)x \le n^2 - 25$. Разложим правую часть на множители: $n^2 - 25 = (n-5)(n+5)$. Неравенство примет вид: $(n+5)x \le (n-5)(n+5)$. Решение зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от выражения $(n+5)$.

I. Если $n+5 > 0$, то есть $n > -5$. Разделим обе части на положительное число $(n+5)$, знак неравенства сохранится: $x \le \frac{(n-5)(n+5)}{n+5}$, $x \le n-5$. Решение: $x \in (-\infty, n-5]$.

II. Если $n+5 < 0$, то есть $n < -5$. Разделим обе части на отрицательное число $(n+5)$, знак неравенства изменится на противоположный: $x \ge \frac{(n-5)(n+5)}{n+5}$, $x \ge n-5$. Решение: $x \in [n-5, +\infty)$.

III. Если $n+5 = 0$, то есть $n = -5$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x \le (-5)^2 - 25$, то есть $0 \le 0$. Это верное неравенство, которое выполняется при любом значении $x$. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Объединяя случаи, получаем:
При $n > -5$, решение $x \le n-5$.
При $n < -5$, решение $x \ge n-5$.
При $n = -5$, решение $x$ — любое действительное число.
Ответ: при $n > -5$, $x \le n-5$; при $n < -5$, $x \ge n-5$; при $n = -5$, $x$ — любое действительное число.