Номер 388, страница 182 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для определения количества корней уравнения $\sqrt{x-1} = x+a$ в зависимости от параметра $a$, воспользуемся графическим методом. Преобразуем уравнение, выразив параметр $a$ через $x$:

$a = \sqrt{x-1} - x$

Теперь задача сводится к нахождению количества точек пересечения графика функции $y(x) = \sqrt{x-1} - x$ с горизонтальной прямой $y=a$.

Исследуем функцию $y(x) = \sqrt{x-1} - x$:

1.Область определения: Выражение под корнем должно быть неотрицательным, поэтому $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.

2.Производная и экстремумы: Найдем производную функции для определения точек экстремума.

$y'(x) = (\sqrt{x-1} - x)' = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} - 1$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$\frac{1}{2\sqrt{x-1}} - 1 = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = 1 \implies \sqrt{x-1} = \frac{1}{2}$

Возведя обе части в квадрат, получаем $x-1 = \frac{1}{4}$, откуда $x = \frac{5}{4}$.

3.Значение в экстремуме и на границе: Найдем значение функции в точке $x = 5/4$ и на границе области определения $x=1$.

Максимальное значение функции (в точке $x=5/4$):

$y(\frac{5}{4}) = \sqrt{\frac{5}{4}-1} - \frac{5}{4} = \sqrt{\frac{1}{4}} - \frac{5}{4} = \frac{1}{2} - \frac{5}{4} = -\frac{3}{4}$

Значение на границе (в точке $x=1$):

$y(1) = \sqrt{1-1} - 1 = -1$

Таким образом, функция определена на луче $[1, +\infty)$, начинается в точке $(1, -1)$, достигает максимума в точке $(\frac{5}{4}, -\frac{3}{4})$ и затем убывает до $-\infty$.

Ниже представлен график функции $y(x) = \sqrt{x-1} - x$ и несколько прямых $y=a$, иллюстрирующих различные случаи.

Анализируя график, мы можем определить количество решений (точек пересечения) для различных значений $a$.

Случай 1: Уравнение не имеет корней.

Если прямая $y=a$ проходит выше максимального значения функции, то есть $a > -3/4$, то пересечений с графиком нет, и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: при $a > -3/4$ уравнение не имеет корней.

Случай 2: Уравнение имеет два корня.

Если прямая $y=a$ проходит между значением в начальной точке и максимальным значением, то есть $-1 \le a < -3/4$, она пересекает график в двух точках. Случай $a=-1$ включен, так как прямая $y=-1$ проходит через точку $(1, -1)$ и также пересекает убывающую ветвь графика в другой точке.

Ответ: при $-1 \le a < -3/4$ уравнение имеет два корня.

Случай 3: Уравнение имеет один корень.

Если прямая $y=a$ касается графика в его точке максимума ($a = -3/4$) или проходит ниже начальной точки графика ($a < -1$), то она пересекает график ровно в одной точке.

Ответ: при $a = -3/4$ и при $a < -1$ уравнение имеет один корень.