Страница 182 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Параметрі бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің параметрі жоқ теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуден қандай айырмашылығы бар?

Параметрі жоқ теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу мен параметрі бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің арасында түбегейлі айырмашылықтар бар.

Параметрі жоқ теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудегі мақсат – айнымалының (әдетте $x$) нақты сандық мәнін немесе оның мүмкін мәндер жиынын (аралықты) табу. Бұл жағдайда теңдеудегі немесе теңсіздіктегі барлық коэффициенттер мен бос мүшелер – нақты сандар. Шешім де нақты сан, сандар жиыны немесе аралық түрінде болады. Мысалы, $3x - 6 = 0$ теңдеуінің шешімі $x=2$ болады, ал $x^2 > 9$ теңсіздігінің шешімі $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$ аралықтары болады.

Параметрі бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудегі мақсат – тек айнымалыны табу емес, параметрдің (мысалы, $a$) әрбір мүмкін мәні үшін айнымалының мәнін немесе мәндер жиынын анықтау. Мұнда параметр де айнымалы сияқты қарастырылады, бірақ оның мәніне байланысты теңдеудің немесе теңсіздіктің түрі, құрылымы, тіпті шешімдерінің саны да өзгеруі мүмкін. Сондықтан шешу процесі зерттеу жұмысына ұқсайды. Теңдеу немесе теңсіздік параметрдің әртүрлі мәндеріне сәйкес бірнеше жағдайға бөлініп қарастырылады. Жауап әдетте параметрдің мәніне тәуелді болады және "егер параметр осындай мәндер қабылдаса, онда шешім мынадай болады" деген сияқты шартты түрде жазылады.

Мысалы, $ax = 5$ теңдеуін қарастырайық.
• Егер $a \neq 0$ болса, онда теңдеудің жалғыз шешімі бар: $x = \frac{5}{a}$.
• Егер $a = 0$ болса, теңдеу $0 \cdot x = 5$ түріне келеді, бұл мүмкін емес, яғни шешімі жоқ.

Негізгі айырмашылықтар:
1. Мақсаты: Параметрсіз есепте – нақты сан немесе аралық табу. Параметрлі есепте – параметрдің барлық мәндеріне сәйкес шешімдерді табу (зерттеу).
2. Жауабының түрі: Параметрсіз есепте – сан немесе сандық аралық. Параметрлі есепте – параметрге тәуелді аналитикалық өрнек немесе шартты жауап.
3. Шешу әдісі: Параметрсіз есептер стандартты алгоритмдермен шешілсе, параметрлі есептер параметрдің "бақылау" (критикалық) нүктелеріне байланысты жағдайларға бөліп талдауды қажет етеді.

Ответ: Негізгі айырмашылық – шешудің мақсаты мен жауаптың түрінде. Параметрі жоқ теңдеуде нақты сан немесе аралық ізделінсе, параметрі бар теңдеуде жауап параметрдің мәніне байланысты болады және оны шешу зерттеу жүргізуді қажет етеді, яғни параметрдің әртүрлі мәндеріне сәйкес келетін барлық жағдайлар қарастырылады.

2. Параметрі бар теңдеулер және теңсіздіктерді шешу мен айнымалысы модуль таңбасының ішінде болатын теңдеулер және теңсіздіктерді шешу жолының қандай ұқсастығы бар?

Параметрі бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдісі мен айнымалысы модуль таңбасының ішінде болатын теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдісінің арасында маңызды бір ұқсастық бар. Бұл ұқсастық екі түрдегі есепті де шешуде қолданылатын негізгі логикалық тәсіл – жағдайларға бөлу (немесе аралықтар) әдісі болып табылады.

Айнымалысы модуль таңбасының ішінде болатын есептерді шешкенде, біз модульден құтылу үшін модуль ішіндегі өрнектің таңбасына байланысты бірнеше жағдайды қарастырамыз. Яғни, модуль ішіндегі өрнектің оң, теріс немесе нөлге тең болатын мәндеріне қарай есепті бірнеше бөлікке бөлеміз.
Мысалы, $|f(x)| = g(x)$ теңдеуін шешу үшін:
1. $f(x) \ge 0$ жағдайында $f(x) = g(x)$ теңдеуін шешеміз.
2. $f(x) < 0$ жағдайында $-f(x) = g(x)$ теңдеуін шешеміз.
Содан кейін әр жағдайдан алынған шешімдерді бастапқы шартпен (мысалы, $f(x) \ge 0$) сәйкестігін тексеріп, соңында барлық жарамды шешімдерді біріктіреміз.

Параметрі бар есептерді шешкенде де, біз дәл осылай параметрдің мәніне байланысты бірнеше жағдайды қарастырамыз. Бұл жағдайлар параметрдің "бақылау" (критикалық) нүктелерімен анықталады. Бұл нүктелерде теңдеудің немесе теңсіздіктің құрылымы өзгереді (мысалы, квадраттық теңдеу сызықтық теңдеуге айналады, бөлшектің бөлімі нөлге тең болады, дискриминанттың таңбасы өзгереді және т.б.). Әр жағдай үшін есеп жеке шешіліп, соңында барлық жағдайларға сәйкес жауаптар біріктіріліп, толық жауап құрастырылады.

Ортақ ұқсастық:
Екі түрдегі есептің де негізгі шешу стратегиясы – күрделі есепті бірнеше қарапайым жағдайлар жиынтығына келтіру.
• Модульді есептерде жағдайлар модуль ішіндегі өрнектің таңбасына байланысты анықталады.
• Параметрлі есептерде жағдайлар параметрдің теңдеу/теңсіздік сипатын өзгертетін мәндеріне байланысты анықталады.
Екі жағдайда да шешу алгоритмі мынадай логикалық қадамдардан тұрады: 1) Есепті талдау; 2) Жағдайларға бөлуге себеп болатын "критикалық" нүктелерді немесе шарттарды анықтау; 3) Әр жағдайды жеке шешу; 4) Алынған нәтижелерді біріктіріп, толық жауапты қалыптастыру.

Ответ: Екі түрдегі есепті шешу жолдарының басты ұқсастығы – екеуінде де жағдайларға бөлу әдісінің қолданылуы. Есепті бірнеше қарапайым жағдайға бөліп, әрқайсысын жеке-жеке шешіп, соңында нәтижелерді біріктіру арқылы толық жауап алынады. Бұл – екі түрдегі есептің де шешу алгоритмінің логикалық негізі.

1) Дано уравнение $x - a = 1$.
Это линейное уравнение относительно переменной $x$. Чтобы найти $x$, необходимо изолировать его в левой части уравнения. Для этого перенесем слагаемое $-a$ из левой части в правую, изменив его знак на противоположный.
$x = 1 + a$
Уравнение имеет единственное решение для любого значения параметра $a$.
Ответ: $x = 1 + a$.

2) Дано уравнение $5x = a$.
Это линейное уравнение относительно $x$. Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 5.
$\frac{5x}{5} = \frac{a}{5}$
$x = \frac{a}{5}$
Поскольку коэффициент при $x$ (число 5) не равен нулю, уравнение имеет единственное решение при любом значении параметра $a$.
Ответ: $x = \frac{a}{5}$.

3) Дано уравнение $\frac{x}{2} = a$.
Чтобы найти неизвестное делимое $x$, нужно частное $a$ умножить на делитель 2. Другими словами, умножим обе части уравнения на 2.
$\frac{x}{2} \cdot 2 = a \cdot 2$
$x = 2a$
Уравнение имеет единственное решение для любого значения параметра $a$.
Ответ: $x = 2a$.

4) Дано уравнение $x^3 = a$.
Это кубическое уравнение. Чтобы найти $x$, необходимо извлечь кубический корень из обеих частей уравнения. В области действительных чисел кубический корень из любого числа $a$ существует и единственен.
$\sqrt[3]{x^3} = \sqrt[3]{a}$
$x = \sqrt[3]{a}$
Это действительное решение уравнения для любого значения параметра $a$.
Ответ: $x = \sqrt[3]{a}$.

1) Решение уравнения $ax = 10$ зависит от значения параметра $a$.

Если $a \neq 0$, то мы можем разделить обе части уравнения на $a$ и получить единственный корень: $x = \frac{10}{a}$.

Если $a = 0$, то уравнение принимает вид $0 \cdot x = 10$, что равносильно $0 = 10$. Это неверное равенство, поэтому при $a = 0$ уравнение не имеет решений (корней).

Ответ: если $a \neq 0$, то $x = \frac{10}{a}$; если $a = 0$, то корней нет.

2) Уравнение $x = \sqrt{a}$ содержит квадратный корень, который определен только для неотрицательных подкоренных выражений.

Если $a < 0$, то выражение $\sqrt{a}$ не определено в множестве действительных чисел, и, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Если $a \ge 0$, то уравнение имеет единственное решение, которое равно $x = \sqrt{a}$.

Ответ: если $a \ge 0$, то $x = \sqrt{a}$; если $a < 0$, то корней нет.

3) Решение уравнения с модулем $|x| = a$ зависит от значения параметра $a$, поскольку левая часть уравнения, $|x|$, по определению не может быть отрицательной.

Если $a < 0$, то уравнение не имеет решений, так как модуль числа не может быть отрицательным.

Если $a = 0$, то уравнение принимает вид $|x| = 0$. Единственное число, модуль которого равен нулю, это $0$. Таким образом, $x = 0$.

Если $a > 0$, то существуют два числа, модуль которых равен $a$: это $a$ и $-a$. Следовательно, уравнение имеет два корня: $x_1 = a$ и $x_2 = -a$.

Ответ: если $a < 0$, то корней нет; если $a = 0$, то $x = 0$; если $a > 0$, то $x = \pm a$.

4) Решение уравнения $|x + 3| = a$ также зависит от значения параметра $a$. Левая часть уравнения, $|x+3|$, не может быть отрицательной.

Если $a < 0$, то уравнение не имеет решений.

Если $a = 0$, то уравнение принимает вид $|x + 3| = 0$. Это равенство выполняется только тогда, когда выражение под модулем равно нулю: $x + 3 = 0$, откуда получаем единственный корень $x = -3$.

Если $a > 0$, то уравнение распадается на два случая:
1) $x + 3 = a$, откуда $x_1 = a - 3$.
2) $x + 3 = -a$, откуда $x_2 = -a - 3$.

Ответ: если $a < 0$, то корней нет; если $a = 0$, то $x = -3$; если $a > 0$, то $x_1 = a - 3, x_2 = -a - 3$.

Линейное уравнение имеет бесконечное множество решений, если оно приводится к виду $0 \cdot x = 0$. Это означает, что для уравнения вида $Ax = B$ должны одновременно выполняться условия $A=0$ и $B=0$.

1) $6(ax - 1) - a = 2(a + x) - 7$

Сначала раскроем скобки в уравнении:
$6ax - 6 - a = 2a + 2x - 7$

Теперь сгруппируем все члены, содержащие $x$, в левой части уравнения, а все остальные члены (константы) — в правой части:
$6ax - 2x = 2a + a + 6 - 7$

Упростим обе части уравнения, вынеся $x$ за скобки в левой части:
$(6a - 2)x = 3a - 1$

Чтобы уравнение имело бесконечное множество решений, необходимо, чтобы коэффициент при $x$ и свободный член были равны нулю. Составим систему уравнений:
$ \begin{cases} 6a - 2 = 0 \\ 3a - 1 = 0 \end{cases} $

Решим каждое уравнение относительно $a$:
Из первого уравнения: $6a = 2 \implies a = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Из второго уравнения: $3a = 1 \implies a = \frac{1}{3}$.

Так как оба уравнения дают одинаковое значение $a = \frac{1}{3}$, то при этом значении исходное уравнение примет вид $0 \cdot x = 0$ и будет иметь бесконечное множество решений.
Ответ: $a = \frac{1}{3}$.

2) $0,5(5x - 1) = 4,5 - 2a(x - 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$2,5x - 0,5 = 4,5 - 2ax + 4a$

Сгруппируем члены с $x$ в левой части, а константы — в правой:
$2,5x + 2ax = 4,5 + 0,5 + 4a$

Упростим обе части:
$(2,5 + 2a)x = 5 + 4a$

Для бесконечного множества решений составим и решим систему уравнений:
$ \begin{cases} 2,5 + 2a = 0 \\ 5 + 4a = 0 \end{cases} $

Решим каждое уравнение:
Из первого уравнения: $2a = -2,5 \implies a = -\frac{2,5}{2} = -1,25$.
Из второго уравнения: $4a = -5 \implies a = -\frac{5}{4} = -1,25$.

Оба уравнения дают одинаковый результат $a = -1,25$. Следовательно, при этом значении $a$ уравнение имеет бесконечное множество решений.
Ответ: $a = -1,25$.

1) Чтобы найти значение $a$, при котором уравнение $2(a - 2x) = ax + 3$ не имеет решений, приведем его к стандартному виду линейного уравнения $Kx = M$.
Сначала раскроем скобки в левой части:
$2a - 4x = ax + 3$
Теперь сгруппируем все члены с переменной $x$ в одной части уравнения, а остальные — в другой:
$2a - 3 = ax + 4x$
Вынесем $x$ за скобки в правой части:
$2a - 3 = x(a + 4)$
Уравнение имеет вид $Kx = M$, где коэффициент $K = a + 4$ и свободный член $M = 2a - 3$.
Уравнение не имеет решений тогда и только тогда, когда коэффициент при $x$ равен нулю, а свободный член не равен нулю. То есть, должны выполняться условия:
$K = 0$ и $M \neq 0$.
Найдем значение $a$, при котором $K = 0$:
$a + 4 = 0$
$a = -4$
Проверим, выполняется ли при этом значении $a$ условие $M \neq 0$:
$M = 2a - 3 = 2(-4) - 3 = -8 - 3 = -11$
Поскольку $M = -11 \neq 0$, условие выполняется. Таким образом, при $a = -4$ уравнение не имеет решений.
Ответ: $a = -4$

2) Рассмотрим уравнение $a^2 x = a(x + 2) - 2$. Приведем его к виду $Kx = M$.
Раскроем скобки в правой части:
$a^2 x = ax + 2a - 2$
Перенесем члены с $x$ в левую часть:
$a^2 x - ax = 2a - 2$
Вынесем $x$ за скобки в левой части и общий множитель в правой:
$x(a^2 - a) = 2(a - 1)$
$x \cdot a(a - 1) = 2(a - 1)$
Здесь коэффициент $K = a(a - 1)$ и свободный член $M = 2(a - 1)$.
Уравнение не имеет решений при $K = 0$ и $M \neq 0$.
Найдем значения $a$, при которых $K = 0$:
$a(a - 1) = 0$
Это равенство выполняется при $a = 0$ или $a = 1$.
Теперь проверим для каждого из этих значений условие $M \neq 0$.
Случай 1: $a = 0$.
Подставим это значение в выражение для $M$:
$M = 2(0 - 1) = -2$
Так как $K=0$ и $M = -2 \neq 0$, при $a=0$ уравнение не имеет решений.
Случай 2: $a = 1$.
Подставим это значение в выражение для $M$:
$M = 2(1 - 1) = 2 \cdot 0 = 0$
В этом случае $K = 0$ и $M = 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что верно для любого $x$. Следовательно, при $a=1$ уравнение имеет бесконечное множество решений.
Таким образом, единственное значение $a$, при котором уравнение не имеет решений, это $a = 0$.
Ответ: $a = 0$

По условию задачи, нам нужно найти такое значение параметра $a$, при котором корень уравнения $ax - 4 = 3x$ равен 8.

Корень уравнения — это значение переменной (в данном случае $x$), которое обращает уравнение в верное числовое равенство. Следовательно, мы можем подставить значение $x=8$ в исходное уравнение.

Выполним подстановку $x=8$:
$a \cdot 8 - 4 = 3 \cdot 8$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$. Сначала выполним умножение:
$8a - 4 = 24$

Перенесем число -4 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:
$8a = 24 + 4$
$8a = 28$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 8:
$a = \frac{28}{8}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4:
$a = \frac{28 \div 4}{8 \div 4} = \frac{7}{2}$

Результат можно представить в виде десятичной дроби:
$a = 3.5$

Ответ: $3.5$

1) Рассмотрим неравенство $ax^2 < 9$ в зависимости от параметра $a$.

I. Если $a > 0$, разделим обе части неравенства на $a$. Знак неравенства сохранится: $x^2 < \frac{9}{a}$. Так как $\frac{9}{a} > 0$, решение этого неравенства: $-\sqrt{\frac{9}{a}} < x < \sqrt{\frac{9}{a}}$, что равносильно $x \in (-\frac{3}{\sqrt{a}}, \frac{3}{\sqrt{a}})$.

II. Если $a = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 < 9$, то есть $0 < 9$. Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

III. Если $a < 0$, разделим обе части на $a$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $x^2 > \frac{9}{a}$. Поскольку $a < 0$, правая часть $\frac{9}{a}$ является отрицательным числом. Левая часть $x^2$ всегда неотрицательна ($x^2 \ge 0$), поэтому она всегда будет больше любого отрицательного числа. Следовательно, неравенство верно для любого $x$. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Объединяя случаи, получаем:
При $a > 0$, решение $x \in (-\frac{3}{\sqrt{a}}, \frac{3}{\sqrt{a}})$.
При $a \le 0$, решение $x \in (-\infty, +\infty)$.
Ответ: при $a > 0$, $x \in (-\frac{3}{\sqrt{a}}, \frac{3}{\sqrt{a}})$; при $a \le 0$, $x \in (-\infty, +\infty)$.

2) Рассмотрим неравенство $ax^2 > -1$ в зависимости от параметра $a$.

I. Если $a > 0$, то левая часть $ax^2$ неотрицательна ($ax^2 \ge 0$). Любое неотрицательное число всегда больше $-1$. Следовательно, неравенство выполняется для любого действительного $x$. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

II. Если $a = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 > -1$, то есть $0 > -1$. Это верное числовое неравенство, выполняющееся для любого $x$. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

III. Если $a < 0$, разделим обе части на $a$, изменив знак неравенства: $x^2 < \frac{-1}{a}$. Поскольку $a < 0$, правая часть $\frac{-1}{a}$ положительна. Решение этого неравенства: $-\sqrt{-\frac{1}{a}} < x < \sqrt{-\frac{1}{a}}$, что равносильно $x \in (-\frac{1}{\sqrt{-a}}, \frac{1}{\sqrt{-a}})$.

Объединяя случаи, получаем:
При $a \ge 0$, решение $x \in (-\infty, +\infty)$.
При $a < 0$, решение $x \in (-\frac{1}{\sqrt{-a}}, \frac{1}{\sqrt{-a}})$.
Ответ: при $a \ge 0$, $x \in (-\infty, +\infty)$; при $a < 0$, $x \in (-\frac{1}{\sqrt{-a}}, \frac{1}{\sqrt{-a}})$.

3) Для решения неравенства $x^2 + kx + 1 \ge 0$ рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = x^2 + kx + 1$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$. Решение зависит от дискриминанта $D = k^2 - 4(1)(1) = k^2 - 4$.

I. Если $D > 0$, то есть $k^2 - 4 > 0$, что равносильно $k^2 > 4$ или $|k| > 2$. В этом случае уравнение $x^2 + kx + 1 = 0$ имеет два различных действительных корня: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2-4}}{2}$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция $f(x)$ принимает неотрицательные значения ($f(x) \ge 0$) вне отрезка между корнями. Решение: $x \in (-\infty, \frac{-k - \sqrt{k^2-4}}{2}] \cup [\frac{-k + \sqrt{k^2-4}}{2}, +\infty)$.

II. Если $D = 0$, то есть $k^2 - 4 = 0$, что равносильно $k = \pm 2$ или $|k| = 2$. В этом случае уравнение имеет один действительный корень (кратный), и парабола касается оси Ox в своей вершине. Выражение $x^2 + kx + 1$ является полным квадратом и всегда неотрицательно. Например, при $k=2$ имеем $(x+1)^2 \ge 0$. Неравенство выполняется для всех действительных $x$. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

III. Если $D < 0$, то есть $k^2 - 4 < 0$, что равносильно $k^2 < 4$ или $|k| < 2$. В этом случае уравнение не имеет действительных корней, и парабола целиком лежит выше оси Ox. Следовательно, $x^2 + kx + 1 > 0$ для всех $x$, а значит и $x^2 + kx + 1 \ge 0$ тоже верно для всех $x$. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Объединяя случаи II и III ($D \le 0$, т.е. $|k| \le 2$), получаем:
При $|k| > 2$, решение $x \in (-\infty, \frac{-k - \sqrt{k^2-4}}{2}] \cup [\frac{-k + \sqrt{k^2-4}}{2}, +\infty)$.
При $|k| \le 2$, решение $x \in (-\infty, +\infty)$.
Ответ: при $|k| > 2$, $x \in (-\infty, \frac{-k - \sqrt{k^2-4}}{2}] \cup [\frac{-k + \sqrt{k^2-4}}{2}, +\infty)$; при $|k| \le 2$, $x \in (-\infty, +\infty)$.

4) Решим линейное неравенство $(n+5)x \le n^2 - 25$. Разложим правую часть на множители: $n^2 - 25 = (n-5)(n+5)$. Неравенство примет вид: $(n+5)x \le (n-5)(n+5)$. Решение зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от выражения $(n+5)$.

I. Если $n+5 > 0$, то есть $n > -5$. Разделим обе части на положительное число $(n+5)$, знак неравенства сохранится: $x \le \frac{(n-5)(n+5)}{n+5}$, $x \le n-5$. Решение: $x \in (-\infty, n-5]$.

II. Если $n+5 < 0$, то есть $n < -5$. Разделим обе части на отрицательное число $(n+5)$, знак неравенства изменится на противоположный: $x \ge \frac{(n-5)(n+5)}{n+5}$, $x \ge n-5$. Решение: $x \in [n-5, +\infty)$.

III. Если $n+5 = 0$, то есть $n = -5$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x \le (-5)^2 - 25$, то есть $0 \le 0$. Это верное неравенство, которое выполняется при любом значении $x$. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Объединяя случаи, получаем:
При $n > -5$, решение $x \le n-5$.
При $n < -5$, решение $x \ge n-5$.
При $n = -5$, решение $x$ — любое действительное число.
Ответ: при $n > -5$, $x \le n-5$; при $n < -5$, $x \ge n-5$; при $n = -5$, $x$ — любое действительное число.

Для решения задачи найдем, при каких значениях параметра $a$ число корней уравнения $|x^2 - 6x - 5| = a$ будет не менее трех. Эту задачу удобно решать графически.

Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков двух функций: $y = |x^2 - 6x - 5|$ и $y = a$. График функции $y=a$ — это прямая, параллельная оси абсцисс.

Рассмотрим построение графика функции $y = |x^2 - 6x - 5|$.

1. Сначала построим параболу $f(x) = x^2 - 6x - 5$. Это парабола с ветвями, направленными вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$

$y_в = f(3) = 3^2 - 6(3) - 5 = 9 - 18 - 5 = -14$

Вершина параболы находится в точке $(3, -14)$.

3. График функции $y = |x^2 - 6x - 5|$ получается из графика параболы $y = x^2 - 6x - 5$ следующим образом: часть графика, которая находится ниже оси Ох (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ох, а часть графика, которая находится выше или на оси Ох (где $y \ge 0$), остается без изменений. Вершина $(3, -14)$ после отражения превратится в точку локального максимума $(3, 14)$.

Проанализируем количество точек пересечения графика $y = |x^2 - 6x - 5|$ с прямой $y = a$ в зависимости от значения $a$.

• Если $a < 0$, прямая $y=a$ проходит ниже оси Ох. Точек пересечения нет, уравнение не имеет корней.
• Если $a = 0$, прямая совпадает с осью Ох. Есть две точки пересечения, уравнение имеет 2 корня.
• Если $0 < a < 14$, прямая пересекает график в четырех точках. Уравнение имеет 4 корня.
• Если $a = 14$, прямая касается графика в его локальном максимуме и пересекает две ветви параболы. Есть три точки пересечения, уравнение имеет 3 корня.
• Если $a > 14$, прямая пересекает график в двух точках. Уравнение имеет 2 корня.

По условию задачи, уравнение должно иметь не менее трех корней, то есть 3 или 4 корня. Из нашего анализа следует, что это условие выполняется, когда $0 < a < 14$ (4 корня) и когда $a = 14$ (3 корня).

Объединяя эти случаи, получаем, что $a$ должно принадлежать промежутку $(0, 14]$.

Проверка аналитическим методом:

Уравнение $|x^2 - 6x - 5| = a$ при $a \ge 0$ равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x^2 - 6x - 5 = a \implies x^2 - 6x - (5+a) = 0$

2) $x^2 - 6x - 5 = -a \implies x^2 - 6x - (5-a) = 0$

Найдем количество корней для каждого уравнения с помощью дискриминанта.

Для первого уравнения: $D_1 = (-6)^2 - 4(1)(-(5+a)) = 36 + 20 + 4a = 56 + 4a$.

Так как по условию $a \ge 0$, то $D_1 = 56 + 4a > 0$ всегда. Следовательно, первое уравнение всегда имеет 2 различных действительных корня.

Для второго уравнения: $D_2 = (-6)^2 - 4(1)(-(5-a)) = 36 + 20 - 4a = 56 - 4a$.

• Если $D_2 > 0 \implies 56 - 4a > 0 \implies 4a < 56 \implies a < 14$. При $0 \le a < 14$ второе уравнение имеет 2 различных корня.
• Если $D_2 = 0 \implies 56 - 4a = 0 \implies a = 14$. Второе уравнение имеет 1 корень.
• Если $D_2 < 0 \implies 56 - 4a < 0 \implies a > 14$. Второе уравнение не имеет действительных корней.

Теперь посчитаем общее количество корней (корни уравнений (1) и (2) не совпадают при $a>0$):

• При $a=0$, оба уравнения становятся $x^2-6x-5=0$, которое имеет 2 корня.
• При $0 < a < 14$: первое уравнение дает 2 корня, второе — 2 корня. Всего $2+2=4$ корня.
• При $a = 14$: первое уравнение дает 2 корня, второе — 1 корень. Всего $2+1=3$ корня.
• При $a > 14$: первое уравнение дает 2 корня, второе — 0 корней. Всего $2+0=2$ корня.

Условию "не менее трех корней" удовлетворяют случаи, когда корней 3 или 4. Это соответствует значениям $a=14$ и $0 < a < 14$.

Таким образом, $a \in (0, 14]$.

Ответ: $a \in (0, 14]$.

Для определения количества корней уравнения $\sqrt{x-1} = x+a$ в зависимости от параметра $a$, воспользуемся графическим методом. Преобразуем уравнение, выразив параметр $a$ через $x$:

$a = \sqrt{x-1} - x$

Теперь задача сводится к нахождению количества точек пересечения графика функции $y(x) = \sqrt{x-1} - x$ с горизонтальной прямой $y=a$.

Исследуем функцию $y(x) = \sqrt{x-1} - x$:

1.Область определения: Выражение под корнем должно быть неотрицательным, поэтому $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.

2.Производная и экстремумы: Найдем производную функции для определения точек экстремума.

$y'(x) = (\sqrt{x-1} - x)' = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} - 1$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$\frac{1}{2\sqrt{x-1}} - 1 = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = 1 \implies \sqrt{x-1} = \frac{1}{2}$

Возведя обе части в квадрат, получаем $x-1 = \frac{1}{4}$, откуда $x = \frac{5}{4}$.

3.Значение в экстремуме и на границе: Найдем значение функции в точке $x = 5/4$ и на границе области определения $x=1$.

Максимальное значение функции (в точке $x=5/4$):

$y(\frac{5}{4}) = \sqrt{\frac{5}{4}-1} - \frac{5}{4} = \sqrt{\frac{1}{4}} - \frac{5}{4} = \frac{1}{2} - \frac{5}{4} = -\frac{3}{4}$

Значение на границе (в точке $x=1$):

$y(1) = \sqrt{1-1} - 1 = -1$

Таким образом, функция определена на луче $[1, +\infty)$, начинается в точке $(1, -1)$, достигает максимума в точке $(\frac{5}{4}, -\frac{3}{4})$ и затем убывает до $-\infty$.

Ниже представлен график функции $y(x) = \sqrt{x-1} - x$ и несколько прямых $y=a$, иллюстрирующих различные случаи.

Анализируя график, мы можем определить количество решений (точек пересечения) для различных значений $a$.

Случай 1: Уравнение не имеет корней.

Если прямая $y=a$ проходит выше максимального значения функции, то есть $a > -3/4$, то пересечений с графиком нет, и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: при $a > -3/4$ уравнение не имеет корней.

Случай 2: Уравнение имеет два корня.

Если прямая $y=a$ проходит между значением в начальной точке и максимальным значением, то есть $-1 \le a < -3/4$, она пересекает график в двух точках. Случай $a=-1$ включен, так как прямая $y=-1$ проходит через точку $(1, -1)$ и также пересекает убывающую ветвь графика в другой точке.

Ответ: при $-1 \le a < -3/4$ уравнение имеет два корня.

Случай 3: Уравнение имеет один корень.

Если прямая $y=a$ касается графика в его точке максимума ($a = -3/4$) или проходит ниже начальной точки графика ($a < -1$), то она пересекает график ровно в одной точке.

Ответ: при $a = -3/4$ и при $a < -1$ уравнение имеет один корень.

1) Берілген теңдеу: $4x^2 - 15x + 4a^3 = 0$.

Шарт бойынша, теңдеудің бір түбірі $x_1$ екінші түбірінің $x_2$ квадратына тең, яғни $x_1 = x_2^2$.

Виет теоремасын қолданамыз:

$x_1 + x_2 = -(\frac{-15}{4}) = \frac{15}{4}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{4a^3}{4} = a^3$

$x_1 = x_2^2$ шартын бірінші теңдеуге қоямыз:

$x_2^2 + x_2 = \frac{15}{4}$

Бұл теңдеуді шешу үшін барлық мүшелерін 4-ке көбейтеміз:

$4x_2^2 + 4x_2 = 15$

$4x_2^2 + 4x_2 - 15 = 0$

Бұл $x_2$-ге қатысты квадрат теңдеу. Оны квадрат теңдеудің түбірлерін табу формуласымен шешеміз:

$x_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(4)(-15)}}{2(4)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 240}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{8} = \frac{-4 \pm 16}{8}$

Осыдан $x_2$ үшін екі мүмкін мән шығады:

$x_{2,1} = \frac{-4 + 16}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

$x_{2,2} = \frac{-4 - 16}{8} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2}$

Енді әрбір жағдай үшін $a$-ның сәйкес мәнін табамыз.

1-жағдай: $x_2 = \frac{3}{2}$

Онда $x_1 = x_2^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

Виеттің екінші теоремасын қолданамыз: $x_1 \cdot x_2 = a^3$

$a^3 = \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{8}$

$a = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}$

2-жағдай: $x_2 = -\frac{5}{2}$

Онда $x_1 = x_2^2 = (-\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$.

Виеттің екінші теоремасын қолданамыз: $x_1 \cdot x_2 = a^3$

$a^3 = \frac{25}{4} \cdot (-\frac{5}{2}) = -\frac{125}{8}$

$a = \sqrt[3]{-\frac{125}{8}} = -\frac{5}{2}$

Сонымен, $a$-ның екі мәні бар.

Ответ: $a = \frac{3}{2}$ немесе $a = -\frac{5}{2}$.

2) Берілген теңдеу: $x^2 - ax + a - 1 = 0$.

Шарт бойынша, теңдеу түбірлерінің квадраттарының қосындысы 17-ге тең: $x_1^2 + x_2^2 = 17$.

Виет теоремасын қолданамыз:

$x_1 + x_2 = -(-a) = a$

$x_1 \cdot x_2 = a - 1$

Түбірлердің квадраттарының қосындысын олардың қосындысы мен көбейтіндісі арқылы өрнектейік:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Виет теоремасынан алынған өрнектерді осы теңдікке қоямыз:

$x_1^2 + x_2^2 = a^2 - 2(a - 1) = a^2 - 2a + 2$

Шарт бойынша бұл өрнек 17-ге тең:

$a^2 - 2a + 2 = 17$

$a^2 - 2a - 15 = 0$

Бұл $a$-ға қатысты келтірілген квадрат теңдеу. Оны көбейткіштерге жіктеу арқылы шешеміз:

$(a - 5)(a + 3) = 0$

Бұдан $a$-ның екі мәнін аламыз:

$a - 5 = 0 \implies a = 5$

$a + 3 = 0 \implies a = -3$

Берілген теңдеудің нақты түбірлері болуы үшін оның дискриминанты теріс емес болуы керек: $D = (-a)^2 - 4(1)(a-1) = a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$. $D = (a-2)^2 \ge 0$ шарты кез келген $a$ үшін орындалады, сондықтан табылған екі мән де есептің шешімі болады.

Ответ: $a=5$ немесе $a=-3$.

Чтобы найти значения параметра a, при которых система линейных уравнений не имеет решений, воспользуемся условием для системы вида $ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $. Система не имеет решений, если коэффициенты при переменных пропорциональны, но не равны отношению свободных членов:

$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $

1) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + ay = 1 \\ x - 3ay = 2a + 3 \end{cases} $

Коэффициенты данной системы: $A_1 = 1$, $B_1 = a$, $C_1 = 1$ и $A_2 = 1$, $B_2 = -3a$, $C_2 = 2a + 3$.

Применим условие отсутствия решений. Составим пропорцию для коэффициентов при $x$ и $y$:

$ \frac{1}{1} = \frac{a}{-3a} $

Это равенство может выполняться только в том случае, если мы можем сократить $a$. Это возможно при $a \neq 0$. После сокращения получаем:

$ 1 = -\frac{1}{3} $

Данное равенство является ложным. Это означает, что при $a \neq 0$ отношение коэффициентов при $x$ не равно отношению коэффициентов при $y$ ($ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} $), и, следовательно, система всегда имеет единственное решение.

Теперь рассмотрим случай, когда $a = 0$, который мы исключили ранее. Подставим $a=0$ в исходную систему:

$ \begin{cases} x + 0 \cdot y = 1 \\ x - 3 \cdot 0 \cdot y = 2 \cdot 0 + 3 \end{cases} $

Упростив, получаем:

$ \begin{cases} x = 1 \\ x = 3 \end{cases} $

Эта система уравнений несовместна, так как переменная $x$ не может одновременно принимать два разных значения. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: $a=0$.

2) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + ay = 1 \\ ax + y = 2a \end{cases} $

Коэффициенты данной системы: $A_1 = 1$, $B_1 = a$, $C_1 = 1$ и $A_2 = a$, $B_2 = 1$, $C_2 = 2a$.

Применим условие отсутствия решений: $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $.

$ \frac{1}{a} = \frac{a}{1} \neq \frac{1}{2a} $

Сначала решим первую часть, уравнение $ \frac{1}{a} = \frac{a}{1} $. Заметим, что $a \neq 0$.

$ 1 = a^2 $

Отсюда получаем два возможных значения для $a$: $a = 1$ и $a = -1$.

Теперь для каждого из найденных значений $a$ необходимо проверить выполнение второй части условия (неравенства).

Случай 1: $a = 1$.

Проверяем неравенство $ \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $:

$ \frac{1}{1} \neq \frac{1}{2 \cdot 1} \implies 1 \neq \frac{1}{2} $

Неравенство истинно. Значит, при $a = 1$ система не имеет решений.

Случай 2: $a = -1$.

Проверяем неравенство $ \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $:

$ \frac{-1}{1} \neq \frac{1}{2 \cdot (-1)} \implies -1 \neq -\frac{1}{2} $

Неравенство также истинно. Значит, при $a = -1$ система не имеет решений.

Случай $a=0$ был исключен, так как знаменатель в пропорции обращается в ноль. Проверим его отдельно, подставив в систему:

$ \begin{cases} x + 0 \cdot y = 1 \\ 0 \cdot x + y = 2 \cdot 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 1 \\ y = 0 \end{cases} $

При $a=0$ система имеет единственное решение.

Ответ: $a=1, a=-1$.

Для того чтобы система двух линейных уравнений с двумя переменными имела бесконечное множество решений, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при соответствующих переменных и свободные члены были пропорциональны. Для системы вида:

$\begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases}$

условие имеет вид:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$

Применим это правило к каждой из предложенных систем.

1)$\begin{cases} 3x + ay = 3, \\ ax + 3y = 3; \end{cases}$

Составим пропорцию из коэффициентов:

$\frac{3}{a} = \frac{a}{3} = \frac{3}{3}$

Из этой пропорции можно взять любое из равенств. Например, из равенства $\frac{a}{3} = \frac{3}{3}$ следует:

$\frac{a}{3} = 1$

$a = 3$

Проверим, выполняется ли вся пропорция при $a=3$:

$\frac{3}{3} = \frac{3}{3} = \frac{3}{3}$

$1 = 1 = 1$

Равенство верное, значит, при $a=3$ система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: $a = 3$

2)$\begin{cases} ax - (a + 1)y = 6, \\ 7ax - 28y = 6(a + 4)? \end{cases}$

Составим пропорцию из коэффициентов:

$\frac{a}{7a} = \frac{-(a+1)}{-28} = \frac{6}{6(a+4)}$

Упростим выражение, приняв во внимание, что $a \neq 0$ и $a \neq -4$ (иначе знаменатели обращаются в ноль):

$\frac{1}{7} = \frac{a+1}{28} = \frac{1}{a+4}$

Рассмотрим первую часть равенства:

$\frac{1}{7} = \frac{a+1}{28}$

Умножим обе части на 28:

$4 = a+1$

$a = 3$

Теперь подставим найденное значение $a=3$ во вторую часть равенства для проверки:

$\frac{1}{7} = \frac{1}{a+4} \implies \frac{1}{7} = \frac{1}{3+4} \implies \frac{1}{7} = \frac{1}{7}$

Равенство верное. Значение $a=3$ удовлетворяет ограничениям ($a \neq 0$ и $a \neq -4$).

Проверим исключенные случаи.
Если $a=0$, система примет вид $\begin{cases} -y = 6 \\ -28y = 24 \end{cases}$. Из первого уравнения $y=-6$, из второго $y = -24/28 = -6/7$. Решений нет.
Если $a=-4$, система примет вид $\begin{cases} -4x + 3y = 6 \\ -28x - 28y = 0 \end{cases}$. Эта система имеет единственное решение ($x=-6/7, y=6/7$).
Следовательно, единственное значение параметра, при котором система имеет бесконечное множество решений, это $a=3$.

Ответ: $a = 3$