Страница 185 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14. Дана система уравнений:

$$\begin{cases}|y - |x+2|| = 1 \\x^2 + (y-5)^2 = 4\end{cases}$$

Для решения системы можно проанализировать каждое уравнение и найти точки их пересечения.

Первое уравнение $|y - |x+2|| = 1$ раскрывается как совокупность двух уравнений:

1) $y - |x+2| = 1 \implies y = |x+2| + 1$

2) $y - |x+2| = -1 \implies y = |x+2| - 1$

Второе уравнение $x^2 + (y-5)^2 = 4$ — это уравнение окружности с центром в точке $(0; 5)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.

Решим систему, подставляя поочередно выражения для $y$ в уравнение окружности.

Случай 1: $y = |x+2| + 1$

Подставляем в уравнение окружности:

$x^2 + (|x+2| + 1 - 5)^2 = 4$

$x^2 + (|x+2| - 4)^2 = 4$

Теперь раскроем модуль $|x+2|$ для двух интервалов.

а) При $x \ge -2$, $|x+2| = x+2$.

$x^2 + (x+2 - 4)^2 = 4$

$x^2 + (x-2)^2 = 4$

$x^2 + x^2 - 4x + 4 = 4$

$2x^2 - 4x = 0$

$2x(x-2) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Оба удовлетворяют условию $x \ge -2$.

Находим соответствующие значения $y$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = |0+2| + 1 = 3$. Получаем решение (0; 3).

При $x_2 = 2$, $y_2 = |2+2| + 1 = 5$. Получаем решение (2; 5).

б) При $x < -2$, $|x+2| = -(x+2) = -x-2$.

$x^2 + (-x-2 - 4)^2 = 4$

$x^2 + (-x-6)^2 = 4$

$x^2 + x^2 + 12x + 36 = 4$

$2x^2 + 12x + 32 = 0$

$x^2 + 6x + 16 = 0$

Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 36 - 64 = -28$. Так как $D < 0$, в этом случае действительных решений нет.

Случай 2: $y = |x+2| - 1$

Подставляем в уравнение окружности:

$x^2 + (|x+2| - 1 - 5)^2 = 4$

$x^2 + (|x+2| - 6)^2 = 4$

а) При $x \ge -2$, $|x+2| = x+2$.

$x^2 + (x+2 - 6)^2 = 4$

$x^2 + (x-4)^2 = 4$

$x^2 + x^2 - 8x + 16 = 4$

$2x^2 - 8x + 12 = 0$

$x^2 - 4x + 6 = 0$

Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$. Так как $D < 0$, решений нет.

б) При $x < -2$, $|x+2| = -x-2$.

$x^2 + (-x-2 - 6)^2 = 4$

$x^2 + (-x-8)^2 = 4$

$x^2 + x^2 + 16x + 64 = 4$

$2x^2 + 16x + 60 = 0$

$x^2 + 8x + 30 = 0$

Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 64 - 120 = -56$. Так как $D < 0$, решений нет.

Итак, система имеет два решения: $(0; 3)$ и $(2; 5)$.

Графическое решение:

Построим графики уравнений. График $x^2 + (y-5)^2 = 4$ — это окружность (синяя) с центром в (0; 5) и радиусом 2. График $|y - |x+2|| = 1$ — это объединение двух V-образных графиков: $y=|x+2|+1$ (красный) и $y=|x+2|-1$ (зеленый). Точки пересечения являются решениями системы.

Из графика видно, что окружность пересекается с графиком $y=|x+2|+1$ в двух точках: $(0; 3)$ и $(2; 5)$. Пересечений с графиком $y=|x+2|-1$ нет. Это соответствует результатам аналитического решения. Сравнивая с предложенными вариантами, выбираем D.

Ответ: D. (0; 3), (2; 5).

Решение:

Дано неравенство с модулем: $|3^x - 3| < 6$.

Неравенство вида $|f(x)| < a$, где $a > 0$, равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

Применяя это правило к заданному неравенству, получаем:

$-6 < 3^x - 3 < 6$

Чтобы выделить показательное выражение $3^x$, прибавим 3 ко всем частям двойного неравенства:

$-6 + 3 < 3^x - 3 + 3 < 6 + 3$

$-3 < 3^x < 9$

Это двойное неравенство можно представить в виде системы двух неравенств:

$ \begin{cases} 3^x > -3 \\ 3^x < 9 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $3^x > -3$.

Поскольку показательная функция $y = a^x$ (где $a > 0, a \neq 1$) всегда принимает только положительные значения, то есть $3^x > 0$ для любого действительного значения $x$. Следовательно, неравенство $3^x > -3$ верно для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $3^x < 9$.

Представим число 9 как степень с основанием 3: $9 = 3^2$.

Неравенство примет вид: $3^x < 3^2$.

Так как основание степени $3$ больше 1 ($3 > 1$), показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Поэтому при сравнении показателей знак неравенства сохраняется:

$x < 2$

Решением этого неравенства является промежуток $(-\infty; 2)$.

Решением всей системы является пересечение решений обоих неравенств:

$(-\infty; +\infty) \cap (-\infty; 2) = (-\infty; 2)$

Ответ: $(-\infty; 2)$.

Решение:

Исходное неравенство: $|\log_2 x| \ge 1$.

1.Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x > 0$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.

2.Раскроем модуль. Неравенство вида $|A| \ge B$ (где $B \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств:
$A \ge B$ или $A \le -B$.
В нашем случае это означает:
$\log_2 x \ge 1$ или $\log_2 x \le -1$.

3.Решим первое неравенство: $\log_2 x \ge 1$.
Представим 1 в виде логарифма по основанию 2: $1 = \log_2 2$.
Неравенство принимает вид: $\log_2 x \ge \log_2 2$.
Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:
$x \ge 2$.

4.Решим второе неравенство: $\log_2 x \le -1$.
Представим -1 в виде логарифма по основанию 2: $-1 = \log_2 2^{-1} = \log_2 \frac{1}{2}$.
Неравенство принимает вид: $\log_2 x \le \log_2 \frac{1}{2}$.
Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$x \le \frac{1}{2}$.

5.Объединим решения с учётом ОДЗ.
Мы получили совокупность решений: $x \ge 2$ и $x \le \frac{1}{2}$.
Теперь нужно учесть ОДЗ ($x > 0$).
- Первое решение $x \ge 2$ полностью удовлетворяет ОДЗ. Получаем интервал $[2; +\infty)$.
- Второе решение $x \le \frac{1}{2}$ с учётом ОДЗ $x > 0$ даёт нам интервал $(0; \frac{1}{2}]$.

Итоговое решение — это объединение этих двух интервалов: $x \in (0; \frac{1}{2}] \cup [2; +\infty)$.
Этот результат соответствует варианту A.

Ответ: A. $(0; \frac{1}{2}] \cup [2; +\infty)$;

Рассмотрим неравенство $|\operatorname{ctg} x| < 0$.

По определению, модуль (абсолютное значение) любого действительного числа является неотрицательной величиной. Это означает, что для любого действительного числа $a$ всегда выполняется условие $|a| \ge 0$.

В данном случае, левая часть неравенства представляет собой модуль функции $\operatorname{ctg} x$. Следовательно, для всех значений $x$, при которых $\operatorname{ctg} x$ определен, будет выполняться неравенство $|\operatorname{ctg} x| \ge 0$.

Исходное неравенство требует, чтобы значение $|\operatorname{ctg} x|$ было строго меньше нуля. Однако, как было показано, модуль любого числа не может быть отрицательным. Таким образом, не существует такого значения $x$, при котором неравенство $|\operatorname{ctg} x| < 0$ было бы верным.

Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: А. Шешімі жоқ

Дано квадратное уравнение $2x^2 + 2ax + 5a - 6 = 0$.

По условию задачи, сумма квадратов корней этого уравнения, которые мы обозначим как $x_1$ и $x_2$, равна нулю: $x_1^2 + x_2^2 = 0$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для нашего уравнения с коэффициентами $A=2$, $B=2a$ и $C=5a-6$, теорема Виета дает следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} = -\frac{2a}{2} = -a$.

Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{C}{A} = \frac{5a - 6}{2}$.

Сумму квадратов корней можно выразить через их сумму и произведение с помощью известного тождества:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим в это тождество выражения из теоремы Виета и используем условие задачи ($x_1^2 + x_2^2 = 0$):

$(-a)^2 - 2 \cdot \left(\frac{5a - 6}{2}\right) = 0$

Упростим полученное уравнение относительно $a$:

$a^2 - (5a - 6) = 0$

$a^2 - 5a + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его можно легко разложить на множители, так как корни очевидны (по обратной теореме Виета их сумма равна 5, а произведение равно 6):

$(a - 2)(a - 3) = 0$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для $a$:

$a_1 = 2$ и $a_2 = 3$.

В условии задачи не указано, что корни должны быть действительными числами. Теорема Виета и следствия из нее верны и для комплексных корней. Поэтому мы не обязаны проверять, является ли дискриминант исходного уравнения неотрицательным. Оба найденных значения $a$ являются решениями, так как они удовлетворяют основному условию, наложенному на корни.

Таким образом, все значения $a$, удовлетворяющие условию задачи, это 2 и 3.

Ответ: D. 2; 3.

Для того чтобы уравнение $2x^2 = a + 4$ имело решение, необходимо найти все возможные значения параметра $a$.

Сначала выразим $x^2$ из данного уравнения. Для этого разделим обе части уравнения на 2:
$x^2 = \frac{a + 4}{2}$

По определению, квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$.

Следовательно, для того чтобы уравнение имело действительные корни, выражение в правой части также должно быть неотрицательным:
$\frac{a + 4}{2} \ge 0$

Теперь решим это неравенство относительно $a$. Умножим обе части на 2. Знак неравенства при этом не изменится, так как 2 — положительное число:
$a + 4 \ge 0$

Перенесем 4 в правую часть, изменив знак:
$a \ge -4$

Это неравенство означает, что уравнение имеет решение при всех значениях $a$, которые больше или равны -4. В виде числового промежутка это записывается как $[-4; +\infty)$. Этот интервал соответствует варианту ответа C.
Ответ: $[-4; +\infty)$

Для решения логарифмического неравенства $\log_2(x^2 - 9) > 0$ необходимо выполнить два основных шага: найти область допустимых значений (ОДЗ) и решить само неравенство, после чего найти пересечение полученных множеств.

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^2 - 9 > 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 3)(x + 3) > 0$

Решением этого квадратичного неравенства является объединение интервалов, где выражение положительно. Это происходит за пределами корней $x = -3$ и $x = 3$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

2. Решение основного неравенства

Рассмотрим исходное неравенство:

$\log_2(x^2 - 9) > 0$

Представим число 0 в виде логарифма с основанием 2, зная, что $\log_a(1) = 0$:

$\log_2(x^2 - 9) > \log_2(1)$

Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 9 > 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 10 > 0$

Разложим на множители:

$(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) > 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов за пределами корней $x = -\sqrt{10}$ и $x = \sqrt{10}$:

$x \in (-\infty; -\sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}; +\infty)$.

3. Нахождение пересечения решений

Теперь необходимо найти пересечение ОДЗ и множества решений основного неравенства. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty) \\ x \in (-\infty; -\sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}; +\infty) \end{cases}$

Чтобы найти пересечение, сравним граничные точки. Поскольку $10 > 9$, то $\sqrt{10} > \sqrt{9}$, что означает $\sqrt{10} > 3$. Аналогично, $-\sqrt{10} < -3$.

Рассмотрим пересечение на числовой оси:

• Пересечение интервалов $(-\infty; -3)$ и $(-\infty; -\sqrt{10})$ дает интервал $(-\infty; -\sqrt{10})$, так как $-\sqrt{10} < -3$.
• Пересечение интервалов $(3; +\infty)$ и $(\sqrt{10}; +\infty)$ дает интервал $(\sqrt{10}; +\infty)$, так как $\sqrt{10} > 3$.

Объединяя полученные результаты, получаем итоговое решение:

$x \in (-\infty; -\sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}; +\infty)$

Этот результат соответствует варианту D.

Ответ: $(-\infty; -\sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}; +\infty)$