Страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Тәуелді оқиғаның тәуелсіз оқиғадан айырмашылығы

Ықтималдықтар теориясында оқиғалар арасындағы байланысқа қарай олар тәуелді және тәуелсіз болып бөлінеді.

Тәуелсіз оқиғалар – бұл бір оқиғаның орындалуы немесе орындалмауы екінші оқиғаның пайда болу ықтималдығына әсер етпейтін оқиғалар. Мысалы, ойын сүйегін екі рет лақтыру. Бірінші лақтыруда 6 ұпайының түсуі, екінші лақтыруда 6 ұпайының түсу ықтималдығын өзгертпейді, ол әрқашан $1/6$ болып қалады. Егер A және B оқиғалары тәуелсіз болса, онда екі оқиғаның да бірге орындалу ықтималдығы олардың жеке ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең: $P(A \text{ және } B) = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Тәуелді оқиғалар – бұл бір оқиғаның орындалуы немесе орындалмауы екінші оқиғаның пайда болу ықтималдығын өзгертетін оқиғалар. Мысалы, бір қораптан карталарды қайтармай алу. Қорапта 52 карта бар делік. Бірінші тұзды (A) алу ықтималдығы $4/52$. Егер бірінші алынған карта тұз болса және ол қайтарылмаса, онда екінші тұзды алу ықтималдығы $3/51$ болады. Көріп отырғанымыздай, бірінші оқиғаның нәтижесі екінші оқиғаның ықтималдығына әсер етті. Тәуелді оқиғалар үшін шартты ықтималдық ұғымы қолданылады. A оқиғасы орындалған жағдайдағы B оқиғасының ықтималдығы $P(B|A)$ деп белгіленеді. Екі тәуелді оқиғаның бірге орындалу ықтималдығы келесі формуламен есептеледі: $P(A \text{ және } B) = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

Негізгі айырмашылық мынада: тәуелсіз оқиғалар үшін $P(B|A) = P(B)$, яғни A оқиғасының орындалуы B оқиғасының ықтималдығына әсер етпейді. Ал тәуелді оқиғалар үшін $P(B|A) \neq P(B)$, яғни A оқиғасының нәтижесі B оқиғасының ықтималдығын өзгертеді.

Ответ: Тәуелді оқиғада бір оқиғаның нәтижесі екінші оқиғаның ықтималдығына тікелей әсер етеді, ал тәуелсіз оқиғада оқиғалардың ықтималдықтары бір-бірінің нәтижесіне байланысты емес.

2. Үйлесімсіз оқиғалар ықтималдықтарының қосындысы мен тәуелсіз оқиғалар ықтималдықтарының көбейтіндісін есептеу арасындағы ұқсастық

Бұл екі есептеу әдісі ықтималдықтар теориясының негізгі ережелері болып табылады және олардың арасында маңызды ұқсастық бар.

Үйлесімсіз оқиғалар ықтималдықтарының қосындысы (қосу ережесі): Егер A және B оқиғалары үйлесімсіз болса, яғни олар бір уақытта орындала алмайтын болса (мысалы, тиынды бір рет лақтырғанда "елтаңба" мен "санның" бірге түсуі мүмкін емес), онда олардың біреуінің орындалу ықтималдығы ("A немесе B") олардың ықтималдықтарының қосындысына тең: $P(A \text{ немесе } B) = P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Тәуелсіз оқиғалар ықтималдықтарының көбейтіндісі (көбейту ережесі): Егер A және B оқиғалары тәуелсіз болса, онда олардың екеуінің де бірге орындалу ықтималдығы ("A және B") олардың ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең: $P(A \text{ және } B) = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Ұқсастығы:

Екі ереже де күрделі оқиғаның (оқиғалардың бірігуі немесе қиылысуы) ықтималдығын оны құрайтын жеке, қарапайым оқиғалардың ықтималдықтары арқылы өрнектеуге мүмкіндік береді. Яғни, күрделі есепті қарапайым компоненттерге бөліп, олардың ықтималдықтарымен қарапайым арифметикалық амалдар (қосу немесе көбейту) арқылы шешуге болады.

Екі ереже де жалпы ықтималдық формулаларының дербес, жеңілдетілген жағдайлары болып табылады.

• Кез келген екі оқиға үшін қосу ережесі: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Егер оқиғалар үйлесімсіз болса, $P(A \cap B) = 0$ болады да, формула жеңілдейді.
• Кез келген екі оқиға үшін көбейту ережесі: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$. Егер оқиғалар тәуелсіз болса, $P(B|A) = P(B)$ болады да, формула жеңілдейді.

Ответ: Екі ереже де күрделі оқиғаның ықтималдығын оны құрайтын қарапайым оқиғалардың ықтималдықтары арқылы, қарапайым арифметикалық амалдарды (қосу немесе көбейту) қолданып есептеуге мүмкіндік береді. Екеуі де жалпы ережелердің оқиғалар арасында арнайы қатынас (үйлесімсіздік немесе тәуелсіздік) болғанда қолданылатын жеңілдетілген нұсқалары болып табылады.

Нысана (мишень) состоит из трех концентрических областей: центрального круга (I) и двух колец (II и III). Попадание в любую из этих областей считается попаданием в нысану.

Визуально нысану можно представить следующим образом:

Обозначим события:

• $A_1$ – попадание в область I (центральный круг).
• $A_2$ – попадание в область II (первое кольцо).
• $A_3$ – попадание в область III (второе кольцо).

Из условия задачи известны вероятности этих событий:

$P(A_1) = 0.45$

$P(A_2) = 0.30$

$P(A_3) = 0.15$

Событие "попадание в нысану" (обозначим его как $H$) произойдет, если произойдет любое из событий $A_1$, $A_2$ или $A_3$. Поскольку области I, II и III не пересекаются, события $A_1$, $A_2$ и $A_3$ являются несовместными (одно исключает другое).

Для несовместных событий вероятность их объединения (то есть наступления хотя бы одного из них) равна сумме их вероятностей. Таким образом, вероятность попадания в нысану вычисляется по формуле:

$P(H) = P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3)$

Подставляем данные значения в формулу:

$P(H) = 0.45 + 0.30 + 0.15$

Выполняем сложение:

$P(H) = 0.90$

Ответ: Вероятность попадания в нысану равна $0.90$.

По условию задачи, день может быть либо ясным, либо облачным. Эти два события являются противоположными (взаимоисключающими и исчерпывающими все возможные исходы). Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1.
Обозначим вероятность того, что день будет ясным, как $p$. По условию, $p = 0,75$.
Обозначим вероятность того, что день будет облачным, как $q$.
Поскольку события являются противоположными, для их вероятностей справедливо следующее соотношение:
$p + q = 1$
Чтобы найти вероятность облачного дня $q$, нужно из 1 вычесть вероятность ясного дня $p$:
$q = 1 - p$
Подставим известное значение $p$:
$q = 1 - 0,75 = 0,25$
Таким образом, вероятность того, что день будет облачным, составляет 0,25.
Ответ: 0,25

Бұл есепті шешу үшін оқиғалардың толық тобының қасиетін қолданамыз. Егер бір сынақ нәтижесінде бірнеше оқиғаның біреуі міндетті түрде орындалса, бұл оқиғалар толық топ құрайды. Толық топты құрайтын оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысы әрқашан 1-ге тең.

Есептің шарты бойынша, бақылау жұмысы A, B немесе C қалаларының бірінен келуі мүмкін. Басқа нұсқалар жоқ. Демек, "жұмыс A қаласынан келді", "жұмыс B қаласынан келді" және "жұмыс C қаласынан келді" деген оқиғалар толық топ құрайды.

Осы оқиғалардың ықтималдықтарын сәйкесінше $P(A)$, $P(B)$ және $P(C)$ деп белгілейік.

Бізге берілгені:

Жұмыстың А қаласынан келу ықтималдығы: $P(A) = 0,6$

Жұмыстың В қаласынан келу ықтималдығы: $P(B) = 0,1$

Жұмыстың C қаласынан келу ықтималдығы $P(C)$ белгісіз.

Оқиғалар толық топ құрайтындықтан, олардың ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең болуы керек:

$P(A) + P(B) + P(C) = 1$

Осы теңдеуге белгілі мәндерді қойып, $P(C)$ мәнін есептейміз:

$0,6 + 0,1 + P(C) = 1$

$0,7 + P(C) = 1$

$P(C) = 1 - 0,7$

$P(C) = 0,3$

Ответ: Кезекті жұмыстың C қаласынан келіп түсу ықтималдығы 0,3-ке тең.

Екі ойын сүйегін лақтырғандағы барлық мүмкін нәтижелер санын анықтайық. Әрбір ойын сүйегінің 6 жағы бар (1, 2, 3, 4, 5, 6), сондықтан бір сүйекті лақтырғанда 6 түрлі нәтиже болуы мүмкін. Екі сүйек бір уақытта лақтырылғанда, жалпы нәтижелер саны әр сүйектің мүмкін нәтижелерінің көбейтіндісіне тең болады.

Жалпы элементар оқиғалар саны $n$:
$n = 6 \times 6 = 36$

Енді бізге қажетті, яғни қолайлы оқиғалар санын (m) табайық. Қолайлы оқиға – бұл екі сүйекте түскен сандардың қосындысы 5-тен артық болуы. Бұл есептеуді жеңілдету үшін, қарама-қарсы оқиғаны қарастырайық: түскен сандардың қосындысы 5-ке тең немесе одан аз ($ \le 5 $) болуы.

Қосындысы 5-ке тең немесе одан аз болатын жұптарды (бірінші сүйек, екінші сүйек) табайық:
• Қосындысы 2: (1, 1) – 1 жағдай
• Қосындысы 3: (1, 2), (2, 1) – 2 жағдай
• Қосындысы 4: (1, 3), (2, 2), (3, 1) – 3 жағдай
• Қосындысы 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) – 4 жағдай

Қосындысы 5-ке тең немесе одан аз болатын қолайсыз жағдайлардың жалпы саны: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$.

Енді қолайлы оқиғалар санын (m) табамыз. Ол үшін барлық мүмкін оқиғалар санынан қолайсыз оқиғалар санын азайтамыз:
$m = 36 - 10 = 26$

Оқиғаның ықтималдығы (P) қолайлы оқиғалар санының (m) барлық мүмкін оқиғалар санына (n) қатынасымен анықталады:
$P = \frac{m}{n} = \frac{26}{36}$

Бұл бөлшекті қысқартуға болады:
$P = \frac{26 \div 2}{36 \div 2} = \frac{13}{18}$

Ответ: $\frac{13}{18}$

Бұл есепті шешу үшін ықтималдықтар теориясының негізгі формулаларын қолданамыз. Екі мергеннің атуы бір-біріне тәуелсіз оқиғалар болып саналады, яғни біреуінің нәтижесі екіншісіне әсер етпейді.

Белгілеулер енгізейік:

$A$ — бірінші мергеннің нысанаға тигізу оқиғасы. Оның ықтималдығы $P(A) = 0,9$.

$B$ — екінші мергеннің нысанаға тигізу оқиғасы. Оның ықтималдығы $P(B) = 0,8$.

1) Екі мергеннің де

Екі мергеннің де нысанаға тигізуі үшін $A$ және $B$ оқиғалары бір уақытта орындалуы керек. Оқиғалар тәуелсіз болғандықтан, бұл оқиғаның ықтималдығы олардың ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең болады:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

$P(A \cap B) = 0,9 \times 0,8 = 0,72$

Ответ: 0,72

2) ең болмағанда бір мергеннің нысанаға дәл тигізу

Бұл оқиға келесі жағдайларды қамтиды: тек біріншісі тигізеді, тек екіншісі тигізеді, немесе екеуі де тигізеді. Бұл есепті шешудің ең оңай жолы – қарама-қарсы оқиғаның ықтималдығын табу, яғни "екі мерген де нысанаға тигізе алмады" оқиғасы.

Алдымен әр мергеннің нысанаға тигізе алмау (мүлт кету) ықтималдығын есептейік:

Бірінші мергеннің тигізе алмау ықтималдығы: $P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0,9 = 0,1$

Екінші мергеннің тигізе алмау ықтималдығы: $P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$

Екі мергеннің де нысанаға тигізе алмау ықтималдығы (оқиғалар тәуелсіз болғандықтан):

$P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') = 0,1 \times 0,2 = 0,02$

Ендеше, ең болмағанда бір мергеннің нысанаға тигізу ықтималдығы 1-ден екеуінің де тигізе алмау ықтималдығын азайтқанға тең:

$P(\text{ең болмағанда біреуі тигізеді}) = 1 - P(A' \cap B') = 1 - 0,02 = 0,98$

Ответ: 0,98

Бұл есепті шешу үшін ықтималдылықтың классикалық анықтамасын қолданамыз. Оқиғаның ықтималдығы, $P(A)$, қолайлы нәтижелер санының ($m$) барлық мүмкін нәтижелер санына ($N$) қатынасымен анықталады: $P(A) = \frac{m}{N}$.

1.Барлық мүмкін нәтижелер санын ($N$) анықтау.
Бір ойын сүйегін (кубик) лақтырғанда 6 түрлі жақ түсуі мүмкін (1, 2, 3, 4, 5, 6). Екі кубик бір мезгілде лақтырылғандықтан, комбинаториканың көбейту ережесі бойынша барлық мүмкін нәтижелердің жалпы саны әр кубик үшін мүмкін нәтижелер санының көбейтіндісіне тең болады.
$N = 6 \text{ (бірінші кубик)} \times 6 \text{ (екінші кубик)} = 36$
Демек, барлығы 36 түрлі нәтиже болуы мүмкін (мысалы, (1,1), (1,2), ..., (6,6)).

2.Қолайлы нәтижелер санын ($m$) анықтау.
Бізді қызықтыратын оқиға – екі кубикте де '4' санының түсуі. Бұл шартты қанағаттандыратын тек бір ғана нәтиже бар: бірінші кубикте '4' және екінші кубикте '4' түскен жағдай, яғни (4, 4) комбинациясы.
$m = 1$

3.Ықтималдылықты ($P$) есептеу.
Енді екі төрт санының бір мезгілде түсу ықтималдығын есептейміз:
$P(\text{екі төрт}) = \frac{m}{N} = \frac{1}{36}$

Ответ: $\frac{1}{36}$

Бұл есеп шартты ықтималдықты табуға арналған. Есептің шартынан келесі оқиғаларды анықтайық:
A оқиғасы: Кездейсоқ алынған өнімнің жарамды болуы.
B оқиғасы: Кездейсоқ алынған өнімнің бірінші сортты болуы.

Берілген ықтималдықтар:
Жарамды өнімнің ықтималдығы: $P(A) = \frac{92}{100}$
Бірінші сортты өнімнің ықтималдығы: $P(B) = \frac{72}{100}$

Есептің сұрағы: "Алынған фабрика өнімінің бірінші сортты болу ықтималдығы қандай?". Бұл сұрақты "Егер алынған өнімнің жарамды екені белгілі болса, оның бірінші сортты болу ықтималдығы қандай?" деп түсінуге болады. Бұл $P(B|A)$ шартты ықтималдығын табуды білдіреді.

Логикалық тұрғыдан, егер өнім бірінші сортты болса (В оқиғасы), онда ол міндетті түрде жарамды болады (А оқиғасы). Демек, В оқиғасы А оқиғасының ішкі оқиғасы болып табылады ($B \subset A$). Осыдан, екі оқиғаның бір мезгілде орындалуының (яғни, өнімнің әрі жарамды, әрі бірінші сортты болуының) ықтималдығы В оқиғасының ықтималдығына тең:
$P(A \cap B) = P(B) = \frac{72}{100}$

Шартты ықтималдықтың формуласын қолданамыз:
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Берілген мәндерді формулаға қоямыз:
$P(B|A) = \frac{\frac{72}{100}}{\frac{92}{100}} = \frac{72}{92}$

Бөлшектің алымы мен бөлімін олардың ең үлкен ортақ бөлгішіне, яғни 4-ке қысқартамыз:
$\frac{72 \div 4}{92 \div 4} = \frac{18}{23}$

Демек, кездейсоқ алынған жарамды өнімнің бірінші сортты болу ықтималдығы $\frac{18}{23}$-ке тең.

Ответ: $\frac{18}{23}$

1)

Есептің шарты бойынша жәшікте 2 ақ, 3 қызыл және 5 көк шар бар. Барлық шарлардың жалпы санын табайық:

$n = 2 + 3 + 5 = 10$

Кездейсоқ алынған шардың боялған (яғни, ақ емес) болуы үшін, ол қызыл немесе көк болуы керек. Бұл оқиғаға қолайлы нәтижелердің санын есептейік:

$m = 3 (\text{қызыл}) + 5 (\text{көк}) = 8$

Оқиғаның ықтималдығын классикалық анықтама бойынша табамыз, ол қолайлы нәтижелер санының ($m$) жалпы нәтижелер санына ($n$) қатынасына тең:

$P(\text{ақ емес}) = \frac{m}{n} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$

2)

Бұл есепті толық ықтималдық формуласын қолданып шығарамыз. A оқиғасы – екінші рет алынған шардың ақ болуы.

Бастапқыда жәшікте 7 ақ және 3 қара шар бар, барлығы $7 + 3 = 10$ шар.

Екі жағдайды қарастырамыз:

1. Бірінші алынған шардың ақ болуы (В оқиғасы). Бұл оқиғаның ықтималдығы:

$P(B) = \frac{7}{10}$

Егер бірінші шар ақ болса, жәшікте 9 шар қалады, оның 6-ы ақ. Сонда екінші шардың ақ болуының шартты ықтималдығы:

$P(A|B) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

2. Бірінші алынған шардың қара болуы (С оқиғасы). Бұл оқиғаның ықтималдығы:

$P(C) = \frac{3}{10}$

Егер бірінші шар қара болса, жәшікте 9 шар қалады, оның 7-еуі ақ. Сонда екінші шардың ақ болуының шартты ықтималдығы:

$P(A|C) = \frac{7}{9}$

Толық ықтималдық формуласы бойынша екінші шардың ақ болу ықтималдығын есептейміз:

$P(A) = P(B) \cdot P(A|B) + P(C) \cdot P(A|C)$

Мәндерді орнына қоямыз:

$P(A) = \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{9} + \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{42}{90} + \frac{21}{90} = \frac{42 + 21}{90} = \frac{63}{90}$

Бөлшекті қысқартамыз:

$P(A) = \frac{63 \div 9}{90 \div 9} = \frac{7}{10}$

Ответ: $\frac{7}{10}$