Страница 193 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Есептің шарты бойынша жәшікте 4 ақ және 7 қара шар бар. Жәшіктегі шарлардың жалпы саны:
$4 \text{ (ақ)} + 7 \text{ (қара)} = 11 \text{ шар}$

Бізден бірінші алынған шардың ақ, ал екіншісінің қара болу ықтималдығын табу сұралады. Шарлар жәшікке кері қайтарылмайтындықтан, бұл оқиғалар тәуелді болып табылады. Есепті шығару үшін ықтималдықтарды көбейту ережесін қолданамыз.

1-қадам: Бірінші шардың ақ болу ықтималдығы.
A оқиғасы – бірінші алынған шардың ақ болуы. Жәшікте 4 ақ шар және барлығы 11 шар бар. Сондықтан, A оқиғасының ықтималдығы:
$P(A) = \frac{\text{ақ шарлар саны}}{\text{жалпы шарлар саны}} = \frac{4}{11}$

2-қадам: Екінші шардың қара болу ықтималдығы.
Бірінші ақ шарды алғаннан кейін жәшікте $11 - 1 = 10$ шар қалады. Оның ішінде ақ шарлар саны 3-ке азайды, ал қара шарлар саны өзгеріссіз қалды (7).
B оқиғасы – бірінші ақ шардан кейін екінші алынған шардың қара болуы. Бұл шартты ықтималдық $P(B|A)$ деп белгіленеді:
$P(B|A) = \frac{\text{қара шарлар саны}}{\text{қалған шарлар саны}} = \frac{7}{10}$

3-қадам: Жалпы ықтималдықты есептеу.
Бірінші шардың ақ және екінші шардың қара болу ықтималдығы осы екі оқиғаның ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең:
$P(A \text{ және } B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{4}{11} \times \frac{7}{10} = \frac{28}{110}$

Алынған бөлшекті 2-ге қысқартамыз:
$\frac{28 \div 2}{110 \div 2} = \frac{14}{55}$

Ответ: $\frac{14}{55}$

Есептің шарты бойынша жәшікте $a$ ақ және $b$ қара шар бар. Жәшіктегі шарлардың жалпы саны $n = a + b$.

Біз осы $a+b$ шардан кездейсоқ екі шарды аламыз. Мүмкін болатын барлық тәсілдердің санын (жалпы оқиғалар санын) табу үшін терулер санын есептейміз. Бұл $a+b$ элементтен $2$ элементті таңдау болып табылады, оны $C_{n}^{k}$ комбинациялар формуласы арқылы табамыз:

$N = C_{a+b}^{2} = \frac{(a+b)!}{2!(a+b-2)!} = \frac{(a+b-1)(a+b)}{2 \cdot 1} = \frac{(a+b)(a+b-1)}{2}$

Енді бізге қажетті оқиғаның, яғни бір ақ және бір қара шарды алудың, тәсілдерінің санын (қолайлы оқиғалар санын) анықтаймыз.

$a$ ақ шардың ішінен біреуін алу тәсілдерінің саны: $C_{a}^{1} = a$.

$b$ қара шардың ішінен біреуін алу тәсілдерінің саны: $C_{b}^{1} = b$.

Комбинаториканың көбейту ережесі бойынша, бір ақ және бір қара шарды алудың жалпы тәсілдерінің саны осы екі санның көбейтіндісіне тең:

$M = C_{a}^{1} \cdot C_{b}^{1} = a \cdot b = ab$

Оқиғаның ықтималдығы қолайлы оқиғалар санының ($M$) жалпы оқиғалар санына ($N$) қатынасымен анықталады:

$P = \frac{M}{N} = \frac{ab}{\frac{(a+b)(a+b-1)}{2}}$

Өрнекті ықшамдаймыз:

$P = \frac{2ab}{(a+b)(a+b-1)}$

Ответ: $P = \frac{2ab}{(a+b)(a+b-1)}$

Бұл есепті шешу үшін ықтималдықтың классикалық анықтамасын пайдаланамыз: $P(A) = \frac{m}{N}$, мұндағы $N$ – барлық мүмкін оқиғалардың жалпы саны, ал $m$ – қолайлы оқиғалар саны.

Есептің шарты бойынша, бес карточка бір-бірден алынып, алыну ретімен қатар қойылады. Бұл 5 элементтің орнын ауыстыруға сәйкес келеді. Барлық мүмкін оқиғалардың жалпы саны ($N$) 5 элементтен жасалған алмастырулар санына тең. Ол 5 факториалмен ($5!$) есептеледі.

$N = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

Демек, берілген 5 әріптен 120 түрлі реттілік құрастыруға болады.

Қолайлы оқиға ($m$) – бұл "кітап" сөзінің шығуы. Бұл сөзді құрайтын әріптердің реті біреу ғана. 120 мүмкін реттіліктің ішінде тек біреуі ғана осы сөзді құрайтындықтан, қолайлы оқиғалар саны 1-ге тең.

$m = 1$.

Енді "кітап" сөзінің шығу ықтималдығын есептейміз:

$P(\text{«кітап»}) = \frac{m}{N} = \frac{1}{120}$.

Ответ: $\frac{1}{120}$

Для решения этой задачи по теории вероятностей необходимо найти отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

1. Определение общего числа исходов.

У нас есть 9 карточек с буквами: д, а, т, р, қ, н, а, с, а. Общее число возможных исходов — это количество всех перестановок этих 9 букв. Важно учесть, что некоторые буквы повторяются. В данном наборе буква 'а' встречается 3 раза, а все остальные буквы (д, т, р, қ, н, с) — по одному разу.

Количество перестановок с повторениями вычисляется по формуле:

$N_{общ} = \frac{n!}{n_1! n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!}$

где $n$ — общее количество элементов, а $n_1, n_2, \ldots, n_k$ — количество повторений каждого из повторяющихся элементов.

В нашем случае $n=9$ (всего карточек), а из повторяющихся элементов у нас только буква 'а', которая повторяется $n_1=3$ раза. Остальные буквы не повторяются, поэтому их факториалы равны $1! = 1$.

Подставим значения в формулу:

$N_{общ} = \frac{9!}{3!} = \frac{362880}{6} = 60480$

Таким образом, существует 60480 уникальных способов расположить данные карточки в ряд.

2. Определение числа благоприятных исходов.

Благоприятный исход — это когда при выкладывании карточек получается слово "Дастарқан". Набор букв на карточках полностью соответствует набору букв в этом слове. Так как карточки выкладываются в определенном порядке для составления слова, существует только одна такая последовательность, которая является для нас благоприятной.

Следовательно, число благоприятных исходов $N_{бл} = 1$.

3. Вычисление вероятности.

Вероятность события (P) находится по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{N_{бл}}{N_{общ}}$

Подставляя найденные значения, получаем:

$P = \frac{1}{60480}$

Ответ: Вероятность того, что из карточек будет составлено слово "Дастарқан", равна $\frac{1}{60480}$.