Вопросы, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Тәуелді оқиғаның тәуелсіз оқиғадан айырмашылығы

Ықтималдықтар теориясында оқиғалар арасындағы байланысқа қарай олар тәуелді және тәуелсіз болып бөлінеді.

Тәуелсіз оқиғалар – бұл бір оқиғаның орындалуы немесе орындалмауы екінші оқиғаның пайда болу ықтималдығына әсер етпейтін оқиғалар. Мысалы, ойын сүйегін екі рет лақтыру. Бірінші лақтыруда 6 ұпайының түсуі, екінші лақтыруда 6 ұпайының түсу ықтималдығын өзгертпейді, ол әрқашан $1/6$ болып қалады. Егер A және B оқиғалары тәуелсіз болса, онда екі оқиғаның да бірге орындалу ықтималдығы олардың жеке ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең: $P(A \text{ және } B) = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Тәуелді оқиғалар – бұл бір оқиғаның орындалуы немесе орындалмауы екінші оқиғаның пайда болу ықтималдығын өзгертетін оқиғалар. Мысалы, бір қораптан карталарды қайтармай алу. Қорапта 52 карта бар делік. Бірінші тұзды (A) алу ықтималдығы $4/52$. Егер бірінші алынған карта тұз болса және ол қайтарылмаса, онда екінші тұзды алу ықтималдығы $3/51$ болады. Көріп отырғанымыздай, бірінші оқиғаның нәтижесі екінші оқиғаның ықтималдығына әсер етті. Тәуелді оқиғалар үшін шартты ықтималдық ұғымы қолданылады. A оқиғасы орындалған жағдайдағы B оқиғасының ықтималдығы $P(B|A)$ деп белгіленеді. Екі тәуелді оқиғаның бірге орындалу ықтималдығы келесі формуламен есептеледі: $P(A \text{ және } B) = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

Негізгі айырмашылық мынада: тәуелсіз оқиғалар үшін $P(B|A) = P(B)$, яғни A оқиғасының орындалуы B оқиғасының ықтималдығына әсер етпейді. Ал тәуелді оқиғалар үшін $P(B|A) \neq P(B)$, яғни A оқиғасының нәтижесі B оқиғасының ықтималдығын өзгертеді.

Ответ: Тәуелді оқиғада бір оқиғаның нәтижесі екінші оқиғаның ықтималдығына тікелей әсер етеді, ал тәуелсіз оқиғада оқиғалардың ықтималдықтары бір-бірінің нәтижесіне байланысты емес.

2. Үйлесімсіз оқиғалар ықтималдықтарының қосындысы мен тәуелсіз оқиғалар ықтималдықтарының көбейтіндісін есептеу арасындағы ұқсастық

Бұл екі есептеу әдісі ықтималдықтар теориясының негізгі ережелері болып табылады және олардың арасында маңызды ұқсастық бар.

Үйлесімсіз оқиғалар ықтималдықтарының қосындысы (қосу ережесі): Егер A және B оқиғалары үйлесімсіз болса, яғни олар бір уақытта орындала алмайтын болса (мысалы, тиынды бір рет лақтырғанда "елтаңба" мен "санның" бірге түсуі мүмкін емес), онда олардың біреуінің орындалу ықтималдығы ("A немесе B") олардың ықтималдықтарының қосындысына тең: $P(A \text{ немесе } B) = P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Тәуелсіз оқиғалар ықтималдықтарының көбейтіндісі (көбейту ережесі): Егер A және B оқиғалары тәуелсіз болса, онда олардың екеуінің де бірге орындалу ықтималдығы ("A және B") олардың ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең: $P(A \text{ және } B) = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Ұқсастығы:

Екі ереже де күрделі оқиғаның (оқиғалардың бірігуі немесе қиылысуы) ықтималдығын оны құрайтын жеке, қарапайым оқиғалардың ықтималдықтары арқылы өрнектеуге мүмкіндік береді. Яғни, күрделі есепті қарапайым компоненттерге бөліп, олардың ықтималдықтарымен қарапайым арифметикалық амалдар (қосу немесе көбейту) арқылы шешуге болады.

Екі ереже де жалпы ықтималдық формулаларының дербес, жеңілдетілген жағдайлары болып табылады.

• Кез келген екі оқиға үшін қосу ережесі: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Егер оқиғалар үйлесімсіз болса, $P(A \cap B) = 0$ болады да, формула жеңілдейді.
• Кез келген екі оқиға үшін көбейту ережесі: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$. Егер оқиғалар тәуелсіз болса, $P(B|A) = P(B)$ болады да, формула жеңілдейді.

Ответ: Екі ереже де күрделі оқиғаның ықтималдығын оны құрайтын қарапайым оқиғалардың ықтималдықтары арқылы, қарапайым арифметикалық амалдарды (қосу немесе көбейту) қолданып есептеуге мүмкіндік береді. Екеуі де жалпы ережелердің оқиғалар арасында арнайы қатынас (үйлесімсіздік немесе тәуелсіздік) болғанда қолданылатын жеңілдетілген нұсқалары болып табылады.