Номер 20, страница 185 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для решения логарифмического неравенства $\log_2(x^2 - 9) > 0$ необходимо выполнить два основных шага: найти область допустимых значений (ОДЗ) и решить само неравенство, после чего найти пересечение полученных множеств.

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^2 - 9 > 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 3)(x + 3) > 0$

Решением этого квадратичного неравенства является объединение интервалов, где выражение положительно. Это происходит за пределами корней $x = -3$ и $x = 3$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

2. Решение основного неравенства

Рассмотрим исходное неравенство:

$\log_2(x^2 - 9) > 0$

Представим число 0 в виде логарифма с основанием 2, зная, что $\log_a(1) = 0$:

$\log_2(x^2 - 9) > \log_2(1)$

Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 9 > 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 10 > 0$

Разложим на множители:

$(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) > 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов за пределами корней $x = -\sqrt{10}$ и $x = \sqrt{10}$:

$x \in (-\infty; -\sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}; +\infty)$.

3. Нахождение пересечения решений

Теперь необходимо найти пересечение ОДЗ и множества решений основного неравенства. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty) \\ x \in (-\infty; -\sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}; +\infty) \end{cases}$

Чтобы найти пересечение, сравним граничные точки. Поскольку $10 > 9$, то $\sqrt{10} > \sqrt{9}$, что означает $\sqrt{10} > 3$. Аналогично, $-\sqrt{10} < -3$.

Рассмотрим пересечение на числовой оси:

• Пересечение интервалов $(-\infty; -3)$ и $(-\infty; -\sqrt{10})$ дает интервал $(-\infty; -\sqrt{10})$, так как $-\sqrt{10} < -3$.
• Пересечение интервалов $(3; +\infty)$ и $(\sqrt{10}; +\infty)$ дает интервал $(\sqrt{10}; +\infty)$, так как $\sqrt{10} > 3$.

Объединяя полученные результаты, получаем итоговое решение:

$x \in (-\infty; -\sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}; +\infty)$

Этот результат соответствует варианту D.

Ответ: $(-\infty; -\sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}; +\infty)$