Номер 14, страница 185 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14. Дана система уравнений:

$$\begin{cases}|y - |x+2|| = 1 \\x^2 + (y-5)^2 = 4\end{cases}$$

Для решения системы можно проанализировать каждое уравнение и найти точки их пересечения.

Первое уравнение $|y - |x+2|| = 1$ раскрывается как совокупность двух уравнений:

1) $y - |x+2| = 1 \implies y = |x+2| + 1$

2) $y - |x+2| = -1 \implies y = |x+2| - 1$

Второе уравнение $x^2 + (y-5)^2 = 4$ — это уравнение окружности с центром в точке $(0; 5)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.

Решим систему, подставляя поочередно выражения для $y$ в уравнение окружности.

Случай 1: $y = |x+2| + 1$

Подставляем в уравнение окружности:

$x^2 + (|x+2| + 1 - 5)^2 = 4$

$x^2 + (|x+2| - 4)^2 = 4$

Теперь раскроем модуль $|x+2|$ для двух интервалов.

а) При $x \ge -2$, $|x+2| = x+2$.

$x^2 + (x+2 - 4)^2 = 4$

$x^2 + (x-2)^2 = 4$

$x^2 + x^2 - 4x + 4 = 4$

$2x^2 - 4x = 0$

$2x(x-2) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Оба удовлетворяют условию $x \ge -2$.

Находим соответствующие значения $y$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = |0+2| + 1 = 3$. Получаем решение (0; 3).

При $x_2 = 2$, $y_2 = |2+2| + 1 = 5$. Получаем решение (2; 5).

б) При $x < -2$, $|x+2| = -(x+2) = -x-2$.

$x^2 + (-x-2 - 4)^2 = 4$

$x^2 + (-x-6)^2 = 4$

$x^2 + x^2 + 12x + 36 = 4$

$2x^2 + 12x + 32 = 0$

$x^2 + 6x + 16 = 0$

Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 36 - 64 = -28$. Так как $D < 0$, в этом случае действительных решений нет.

Случай 2: $y = |x+2| - 1$

Подставляем в уравнение окружности:

$x^2 + (|x+2| - 1 - 5)^2 = 4$

$x^2 + (|x+2| - 6)^2 = 4$

а) При $x \ge -2$, $|x+2| = x+2$.

$x^2 + (x+2 - 6)^2 = 4$

$x^2 + (x-4)^2 = 4$

$x^2 + x^2 - 8x + 16 = 4$

$2x^2 - 8x + 12 = 0$

$x^2 - 4x + 6 = 0$

Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$. Так как $D < 0$, решений нет.

б) При $x < -2$, $|x+2| = -x-2$.

$x^2 + (-x-2 - 6)^2 = 4$

$x^2 + (-x-8)^2 = 4$

$x^2 + x^2 + 16x + 64 = 4$

$2x^2 + 16x + 60 = 0$

$x^2 + 8x + 30 = 0$

Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 64 - 120 = -56$. Так как $D < 0$, решений нет.

Итак, система имеет два решения: $(0; 3)$ и $(2; 5)$.

Графическое решение:

Построим графики уравнений. График $x^2 + (y-5)^2 = 4$ — это окружность (синяя) с центром в (0; 5) и радиусом 2. График $|y - |x+2|| = 1$ — это объединение двух V-образных графиков: $y=|x+2|+1$ (красный) и $y=|x+2|-1$ (зеленый). Точки пересечения являются решениями системы.

Из графика видно, что окружность пересекается с графиком $y=|x+2|+1$ в двух точках: $(0; 3)$ и $(2; 5)$. Пересечений с графиком $y=|x+2|-1$ нет. Это соответствует результатам аналитического решения. Сравнивая с предложенными вариантами, выбираем D.

Ответ: D. (0; 3), (2; 5).