Номер 7, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для решения данного неравенства преобразуем его, перенеся все члены в одну сторону и приведя к общему знаменателю.

Исходное неравенство:

$ \frac{3y + 7}{2y - 7} \ge 5 $

Перенесем 5 в левую часть:

$ \frac{3y + 7}{2y - 7} - 5 \ge 0 $

Приведем к общему знаменателю $ 2y - 7 $:

$ \frac{3y + 7 - 5(2y - 7)}{2y - 7} \ge 0 $

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$ \frac{3y + 7 - 10y + 35}{2y - 7} \ge 0 $

$ \frac{-7y + 42}{2y - 7} \ge 0 $

Теперь применим метод интервалов. Для этого найдем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль.

1. Найдем нуль числителя:

$ -7y + 42 = 0 $

$ 7y = 42 $

$ y = 6 $

Поскольку неравенство нестрогое ($ \ge $), эта точка является решением и на числовой прямой будет закрашенной.

2. Найдем нуль знаменателя:

$ 2y - 7 = 0 $

$ 2y = 7 $

$ y = 3,5 $

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому эта точка всегда исключается из решения. На числовой прямой она будет выколотой.

Отметим точки $ y = 3,5 $ и $ y = 6 $ на числовой оси и определим знаки выражения $ \frac{-7y + 42}{2y - 7} $ на получившихся интервалах.

Проверим знаки на интервалах:

• При $ y < 3,5 $ (например, $ y = 0 $): $ \frac{-7(0) + 42}{2(0) - 7} = \frac{42}{-7} = -6 $. Знак "минус".
• При $ 3,5 < y < 6 $ (например, $ y = 5 $): $ \frac{-7(5) + 42}{2(5) - 7} = \frac{-35 + 42}{10 - 7} = \frac{7}{3} $. Знак "плюс".
• При $ y > 6 $ (например, $ y = 7 $): $ \frac{-7(7) + 42}{2(7) - 7} = \frac{-49 + 42}{14 - 7} = \frac{-7}{7} = -1 $. Знак "минус".

Нас интересует, где выражение больше или равно нулю ($ \ge 0 $). Это соответствует интервалу со знаком "плюс", включая точку, где числитель равен нулю.

Таким образом, решение неравенства есть промежуток $ (3,5; 6] $.

Ответ: (3,5; 6].