Номер 5, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

5. Дано иррациональное уравнение:

$$ \frac{\sqrt{21 + x} + \sqrt{21 - x}}{\sqrt{21 + x} - \sqrt{21 - x}} = \frac{21}{x} $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

1. Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:

$21 + x \ge 0 \implies x \ge -21$

$21 - x \ge 0 \implies x \le 21$

2. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

$\sqrt{21 + x} - \sqrt{21 - x} \ne 0 \implies \sqrt{21 + x} \ne \sqrt{21 - x}$. Возведя обе части в квадрат, получаем $21 + x \ne 21 - x$, откуда $2x \ne 0$, и следовательно $x \ne 0$.

Знаменатель в правой части уравнения также накладывает условие $x \ne 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-21, 0) \cup (0, 21]$.

Теперь приступим к решению. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе левой части, умножим ее числитель и знаменатель на сопряженное выражение, то есть на $(\sqrt{21 + x} + \sqrt{21 - x})$:

$$ \frac{(\sqrt{21 + x} + \sqrt{21 - x})^2}{(\sqrt{21 + x} - \sqrt{21 - x})(\sqrt{21 + x} + \sqrt{21 - x})} = \frac{21}{x} $$

Преобразуем числитель и знаменатель левой части.

Числитель: $(\sqrt{21 + x})^2 + 2\sqrt{(21+x)(21-x)} + (\sqrt{21 - x})^2 = (21+x) + 2\sqrt{441-x^2} + (21-x) = 42 + 2\sqrt{441-x^2}$.

Знаменатель: $(\sqrt{21 + x})^2 - (\sqrt{21 - x})^2 = (21+x) - (21-x) = 2x$.

Подставим преобразованные части обратно в уравнение:

$$ \frac{42 + 2\sqrt{441 - x^2}}{2x} = \frac{21}{x} $$

Разделим числитель и знаменатель левой дроби на 2:

$$ \frac{21 + \sqrt{441 - x^2}}{x} = \frac{21}{x} $$

Так как согласно ОДЗ $x \ne 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $x$:

$21 + \sqrt{441 - x^2} = 21$

$\sqrt{441 - x^2} = 0$

Возведем обе части в квадрат:

$441 - x^2 = 0$

$x^2 = 441$

Из этого уравнения получаем два корня: $x_1 = 21$ и $x_2 = -21$.

Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ. Оба значения, $21$ и $-21$, входят в область допустимых значений $x \in [-21, 0) \cup (0, 21]$. Следовательно, оба являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $x = \pm 21$