Номер 1, страница 183 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Дано уравнение: $ \frac{2x-3}{x-2} = \frac{3x+1}{x+2} $.

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, следовательно:

$ x-2 \neq 0 \implies x \neq 2 $

$ x+2 \neq 0 \implies x \neq -2 $

ОДЗ: $x$ может быть любым числом, кроме $2$ и $-2$.

Теперь решим уравнение. Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), выполним перекрестное умножение:

$ (2x-3)(x+2) = (3x+1)(x-2) $

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ 2x \cdot x + 2x \cdot 2 - 3 \cdot x - 3 \cdot 2 = 3x \cdot x + 3x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2) $

$ 2x^2 + 4x - 3x - 6 = 3x^2 - 6x + x - 2 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 2x^2 + x - 6 = 3x^2 - 5x - 2 $

Перенесем все члены в правую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному квадратному виду $ ax^2+bx+c=0 $:

$ 0 = (3x^2 - 2x^2) + (-5x - x) + (-2 + 6) $

$ 0 = x^2 - 6x + 4 $

Или $ x^2 - 6x + 4 = 0 $.

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся формулой корней через дискриминант. Сначала вычислим дискриминант $ D = b^2 - 4ac $, где $a=1$, $b=-6$, $c=4$.

$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20 $

Поскольку $ D > 0 $, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $.

$ x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 5}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} $

Разделим числитель и знаменатель на 2:

$ x = 3 \pm \sqrt{5} $

Полученные корни $ x_1 = 3 + \sqrt{5} $ и $ x_2 = 3 - \sqrt{5} $. Проверим, удовлетворяют ли они ОДЗ.

$ 3 + \sqrt{5} \neq \pm 2 $ и $ 3 - \sqrt{5} \neq \pm 2 $. Оба корня входят в область допустимых значений.

Таким образом, решением уравнения являются два числа: $ 3 + \sqrt{5} $ и $ 3 - \sqrt{5} $, что соответствует варианту D.

Ответ: D. $3 \pm \sqrt{5}$.