Номер 393, страница 183 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Пусть дано квадратное уравнение $(k-2)x^2 - 2(k+3)x + 4k = 0$. Обозначим левую часть этого уравнения как функцию от $x$: $f(x) = (k-2)x^2 - 2(k+3)x + 4k$.

По условию задачи, один корень уравнения, пусть это будет $x_1$, должен быть меньше 2, а другой корень, $x_2$, должен быть больше 3. Таким образом, мы имеем $x_1 < 2$ и $x_2 > 3$. Это означает, что числа 2 и 3 лежат между корнями уравнения.

Графически это означает, что парабола $y=f(x)$ пересекает ось абсцисс в двух точках $x_1$ и $x_2$, и интервал $(2, 3)$ находится между этими точками. Это возможно только если уравнение имеет два различных действительных корня, и значения функции в точках $x=2$ и $x=3$ удовлетворяют определенным условиям в зависимости от направления ветвей параболы.

Найдем значения функции $f(x)$ в точках $x=2$ и $x=3$: $f(2) = (k-2) \cdot 2^2 - 2(k+3) \cdot 2 + 4k = 4(k-2) - 4(k+3) + 4k = 4k - 8 - 4k - 12 + 4k = 4k - 20 = 4(k-5)$. $f(3) = (k-2) \cdot 3^2 - 2(k+3) \cdot 3 + 4k = 9(k-2) - 6(k+3) + 4k = 9k - 18 - 6k - 18 + 4k = 7k - 36$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака старшего коэффициента $a = k-2$.

Случай 1: Ветви параболы направлены вверх

Это происходит, когда старший коэффициент $a > 0$, то есть $k-2 > 0 \implies k > 2$. В этом случае, чтобы интервал $(2, 3)$ находился между корнями, значения функции в точках $x=2$ и $x=3$ должны быть отрицательными: $f(2) < 0$ и $f(3) < 0$.

Составим систему неравенств: $ \begin{cases} k-2 > 0 \\ f(2) < 0 \\ f(3) < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} k > 2 \\ 4(k-5) < 0 \\ 7k - 36 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} k > 2 \\ k < 5 \\ k < \frac{36}{7} \end{cases} $

Нам нужно найти пересечение этих трех интервалов. Сравним $5$ и $\frac{36}{7}$. Так как $5 = \frac{35}{7}$, то $5 < \frac{36}{7}$. Система требует, чтобы $k$ было больше 2, меньше 5 и меньше $\frac{36}{7}$. Условие $k < 5$ является менее строгим, чем $k < \frac{36}{7}$, поэтому нам нужно, чтобы $k$ было меньше 5. Таким образом, решением системы является интервал $2 < k < 5$.

Случай 2: Ветви параболы направлены вниз

Это происходит, когда старший коэффициент $a < 0$, то есть $k-2 < 0 \implies k < 2$. В этом случае, чтобы интервал $(2, 3)$ находился между корнями, значения функции в точках $x=2$ и $x=3$ должны быть положительными: $f(2) > 0$ и $f(3) > 0$.

Составим систему неравенств: $ \begin{cases} k-2 < 0 \\ f(2) > 0 \\ f(3) > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} k < 2 \\ 4(k-5) > 0 \\ 7k - 36 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} k < 2 \\ k > 5 \\ k > \frac{36}{7} \end{cases} $

Эта система не имеет решений, так как не существует такого значения $k$, которое было бы одновременно меньше 2 и больше 5.

Объединяя результаты обоих случаев, мы видим, что решение существует только для первого случая.

Ответ: $k \in (2; 5)$.