Номер 389, страница 182 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Берілген теңдеу: $4x^2 - 15x + 4a^3 = 0$.

Шарт бойынша, теңдеудің бір түбірі $x_1$ екінші түбірінің $x_2$ квадратына тең, яғни $x_1 = x_2^2$.

Виет теоремасын қолданамыз:

$x_1 + x_2 = -(\frac{-15}{4}) = \frac{15}{4}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{4a^3}{4} = a^3$

$x_1 = x_2^2$ шартын бірінші теңдеуге қоямыз:

$x_2^2 + x_2 = \frac{15}{4}$

Бұл теңдеуді шешу үшін барлық мүшелерін 4-ке көбейтеміз:

$4x_2^2 + 4x_2 = 15$

$4x_2^2 + 4x_2 - 15 = 0$

Бұл $x_2$-ге қатысты квадрат теңдеу. Оны квадрат теңдеудің түбірлерін табу формуласымен шешеміз:

$x_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(4)(-15)}}{2(4)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 240}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{8} = \frac{-4 \pm 16}{8}$

Осыдан $x_2$ үшін екі мүмкін мән шығады:

$x_{2,1} = \frac{-4 + 16}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

$x_{2,2} = \frac{-4 - 16}{8} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2}$

Енді әрбір жағдай үшін $a$-ның сәйкес мәнін табамыз.

1-жағдай: $x_2 = \frac{3}{2}$

Онда $x_1 = x_2^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

Виеттің екінші теоремасын қолданамыз: $x_1 \cdot x_2 = a^3$

$a^3 = \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{8}$

$a = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}$

2-жағдай: $x_2 = -\frac{5}{2}$

Онда $x_1 = x_2^2 = (-\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$.

Виеттің екінші теоремасын қолданамыз: $x_1 \cdot x_2 = a^3$

$a^3 = \frac{25}{4} \cdot (-\frac{5}{2}) = -\frac{125}{8}$

$a = \sqrt[3]{-\frac{125}{8}} = -\frac{5}{2}$

Сонымен, $a$-ның екі мәні бар.

Ответ: $a = \frac{3}{2}$ немесе $a = -\frac{5}{2}$.

2) Берілген теңдеу: $x^2 - ax + a - 1 = 0$.

Шарт бойынша, теңдеу түбірлерінің квадраттарының қосындысы 17-ге тең: $x_1^2 + x_2^2 = 17$.

Виет теоремасын қолданамыз:

$x_1 + x_2 = -(-a) = a$

$x_1 \cdot x_2 = a - 1$

Түбірлердің квадраттарының қосындысын олардың қосындысы мен көбейтіндісі арқылы өрнектейік:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Виет теоремасынан алынған өрнектерді осы теңдікке қоямыз:

$x_1^2 + x_2^2 = a^2 - 2(a - 1) = a^2 - 2a + 2$

Шарт бойынша бұл өрнек 17-ге тең:

$a^2 - 2a + 2 = 17$

$a^2 - 2a - 15 = 0$

Бұл $a$-ға қатысты келтірілген квадрат теңдеу. Оны көбейткіштерге жіктеу арқылы шешеміз:

$(a - 5)(a + 3) = 0$

Бұдан $a$-ның екі мәнін аламыз:

$a - 5 = 0 \implies a = 5$

$a + 3 = 0 \implies a = -3$

Берілген теңдеудің нақты түбірлері болуы үшін оның дискриминанты теріс емес болуы керек: $D = (-a)^2 - 4(1)(a-1) = a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$. $D = (a-2)^2 \ge 0$ шарты кез келген $a$ үшін орындалады, сондықтан табылған екі мән де есептің шешімі болады.

Ответ: $a=5$ немесе $a=-3$.