Номер 392, страница 183 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)Дано квадратное неравенство $x^2 + (m + 1)x + m \le 0$.
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + (m + 1)x + m = 0$.Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = -(m+1)$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = m$.Подбором находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -m$.Проверка: $(-1) + (-m) = -(m+1)$ и $(-1) \cdot (-m) = m$. Корни найдены верно.
Неравенство можно переписать в виде $(x - x_1)(x - x_2) \le 0$, то есть $(x + 1)(x + m) \le 0$.Графиком функции $y = x^2 + (m + 1)x + m$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный).Следовательно, неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.
Решение зависит от взаимного расположения корней $-1$ и $-m$, которое определяется значением параметра $m$.
1. Если $-m < -1$, что эквивалентно $m > 1$. Корни в порядке возрастания: $-m$, $-1$. Решением является отрезок $x \in [-m, -1]$.
2. Если $-m = -1$, что эквивалентно $m = 1$. Корни совпадают: $x_1 = x_2 = -1$. Неравенство принимает вид $(x+1)^2 \le 0$. Так как квадрат любого числа неотрицателен, единственное решение — это $x+1=0$, то есть $x = -1$.
3. Если $-m > -1$, что эквивалентно $m < 1$. Корни в порядке возрастания: $-1$, $-m$. Решением является отрезок $x \in [-1, -m]$.
Ответ: при $m < 1$ решение $x \in [-1, -m]$; при $m = 1$ решение $x = -1$; при $m > 1$ решение $x \in [-m, -1]$.

2)Дано рациональное неравенство $\frac{x^2 - n^2}{x - 3} > 0$.
Разложим числитель на множители: $\frac{(x-n)(x+n)}{x-3} > 0$.Для решения используем метод интервалов. Критические точки (нули числителя и знаменателя): $x=n$, $x=-n$, $x=3$. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы, в каждом из которых выражение сохраняет знак. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.
Рассмотрим различные случаи в зависимости от значения параметра $n$.
1. Если $n=0$: неравенство принимает вид $\frac{x^2}{x-3} > 0$. Так как $x^2 \ge 0$, для выполнения неравенства требуется $x-3 > 0$ и $x \ne 0$. Отсюда $x > 3$.
2. Если $|n|=3$ (то есть $n=3$ или $n=-3$): неравенство становится $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} > 0$. При $x \ne 3$ оно сводится к $x+3 > 0$, то есть $x > -3$. С учетом условия $x \ne 3$, получаем $x \in (-3, 3) \cup (3, +\infty)$.
3. Если $0 < |n| < 3$: критические точки в порядке возрастания: $-|n|$, $|n|$, $3$. Расставляя знаки на интервалах $(-\infty, -|n|), (-|n|, |n|), (|n|, 3), (3, +\infty)$, получаем: $-, +, -, +$. Решением являются интервалы со знаком "+": $x \in (-|n|, |n|) \cup (3, +\infty)$.
4. Если $|n| > 3$: критические точки в порядке возрастания: $-|n|$, $3$, $|n|$. Расставляя знаки на интервалах $(-\infty, -|n|), (-|n|, 3), (3, |n|), (|n|, +\infty)$, получаем: $-, +, -, +$. Решением являются интервалы со знаком "+": $x \in (-|n|, 3) \cup (|n|, +\infty)$.
Ответ: при $n=0$ решение $x \in (3, +\infty)$; при $|n|=3$ решение $x \in (-3, 3) \cup (3, +\infty)$; при $0 < |n| < 3$ решение $x \in (-|n|, |n|) \cup (3, +\infty)$; при $|n| > 3$ решение $x \in (-|n|, 3) \cup (|n|, +\infty)$.

3)Дано неравенство $(x-b)\sqrt{x-3} < 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется подкоренным выражением: $x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$.
Множитель $\sqrt{x-3}$ неотрицателен на всей ОДЗ.Если $x=3$, то $\sqrt{x-3}=0$, и неравенство принимает вид $(3-b) \cdot 0 < 0$, то есть $0 < 0$, что неверно. Значит, $x=3$ не является решением.
Следовательно, мы должны рассматривать случай $x > 3$. При $x>3$ множитель $\sqrt{x-3}$ строго положителен. Мы можем разделить обе части неравенства на $\sqrt{x-3}$, сохранив знак неравенства:
$x-b < 0 \implies x < b$.
Итак, решение должно удовлетворять системе из двух условий: $x > 3$ и $x < b$.Эта система имеет решение тогда и только тогда, когда правая граница больше левой, то есть $b > 3$.
1. Если $b \le 3$, система $\begin{cases} x > 3 \\ x < b \end{cases}$ не имеет решений.
2. Если $b > 3$, решением системы является интервал $(3, b)$.
Ответ: при $b \le 3$ решений нет; при $b > 3$ решение $x \in (3, b)$.

4)Дано логарифмическое неравенство $\log_7(x-5) \le \log_7(a-x)$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ), потребовав, чтобы аргументы логарифмов были положительны:
$\begin{cases} x - 5 > 0 \\ a - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5 \\ x < a \end{cases}$
ОДЗ представляет собой интервал $(5, a)$. Этот интервал непуст только при условии $a > 5$. Если $a \le 5$, ОДЗ пусто, и неравенство не имеет решений.
Рассмотрим случай $a > 5$. Основание логарифма $7 > 1$, поэтому логарифмическая функция $y=\log_7(t)$ является возрастающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:
$x - 5 \le a - x$
Решим это линейное неравенство относительно $x$:
$2x \le a + 5$
$x \le \frac{a+5}{2}$
Чтобы найти окончательное решение, нужно пересечь полученное условие с ОДЗ:
$\begin{cases} x > 5 \\ x \le \frac{a+5}{2} \end{cases}$
(Условие $x < a$ уже учтено, так как при $a > 5$ выполняется $\frac{a+5}{2} < a$).
Для существования этого интервала нужно, чтобы $\frac{a+5}{2} > 5$, что равносильно $a+5 > 10$, или $a > 5$, что совпадает с нашим начальным условием.
Таким образом, при $a > 5$ решением является полуинтервал $\left(5, \frac{a+5}{2}\right]$.
Ответ: при $a \le 5$ решений нет; при $a > 5$ решение $x \in \left(5, \frac{a+5}{2}\right]$.