Номер 396, страница 183 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $2^{2x} - (2a+1) \cdot 2^x + a^2 + a = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $2^x$. Сделаем замену переменной.
Пусть $y = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $y > 0$.
Уравнение принимает вид:
$y^2 - (2a+1)y + (a^2+a) = 0$
Это квадратное уравнение относительно $y$. Для его решения найдем дискриминант $D$:
$D = (-(2a+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2+a) = (4a^2 + 4a + 1) - (4a^2 + 4a) = 1$
Дискриминант положителен, значит уравнение всегда имеет два действительных корня. Найдем их:
$y_{1,2} = \frac{-(-(2a+1)) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{2a+1 \pm 1}{2}$
Отсюда получаем два корня для $y$:
$y_1 = \frac{2a+1+1}{2} = \frac{2a+2}{2} = a+1$
$y_2 = \frac{2a+1-1}{2} = \frac{2a}{2} = a$
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, учитывая, что $y > 0$.
1. $2^x = a+1$
2. $2^x = a$
Для существования решения $x = \log_2 y$ необходимо, чтобы $y$ было положительным. Проанализируем решения в зависимости от значений параметра $a$.

Случай 1: $a > 0$.
В этом случае $a > 0$ и $a+1 > 0$. Оба корня для $y$ положительны.
Из $2^x = a$ следует $x_1 = \log_2 a$.
Из $2^x = a+1$ следует $x_2 = \log_2(a+1)$.
Уравнение имеет два различных корня.

Случай 2: $-1 < a \le 0$.
В этом случае $a \le 0$, поэтому уравнение $2^x = a$ не имеет решений (или имеет решение $x=0$ при $a=0$, но $2^0=1$, что неверно). Если $a=0$, $y_2=0$, что не удовлетворяет условию $y>0$.
Однако $a+1 > 0$, поэтому уравнение $2^x = a+1$ имеет решение $x = \log_2(a+1)$.
Уравнение имеет один корень.

Случай 3: $a = -1$.
$y_1 = a+1 = 0$, $y_2 = a = -1$. Оба значения не являются положительными, поэтому решений нет.

Случай 4: $a < -1$.
$y_1 = a+1 < 0$ и $y_2 = a < 0$. Оба значения отрицательны, поэтому решений нет.

Объединяя случаи 3 и 4, получаем, что при $a \le -1$ решений нет.

Ответ:
При $a > 0$ решениями являются $x_1 = \log_2 a$ и $x_2 = \log_2(a+1)$.
При $a \in (-1, 0]$ решением является $x = \log_2(a+1)$.
При $a \le -1$ решений нет.

2) $\log_a x + \log_a (x+1) = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице: $a > 0, a \neq 1$.
2. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$x > 0$
$x+1 > 0 \implies x > -1$
Объединяя условия для $x$, получаем $x > 0$.
Таким образом, ОДЗ: $x > 0$, $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Используя свойство суммы логарифмов $\log_b M + \log_b N = \log_b(MN)$, преобразуем уравнение:
$\log_a (x(x+1)) = 1$
По определению логарифма ($ \log_b c = d \iff c = b^d $):
$x(x+1) = a^1$
$x^2 + x = a$
$x^2 + x - a = 0$
Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 1 + 4a$.
Для существования действительных корней $x$ необходимо, чтобы $D \ge 0$, то есть $1+4a \ge 0$, что означает $a \ge -1/4$.
Однако из ОДЗ мы знаем, что $a > 0$, что автоматически удовлетворяет условию $a \ge -1/4$. При $a>0$ дискриминант $D=1+4a > 1$, поэтому уравнение всегда имеет два различных действительных корня.
Корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4a}}{2}$
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{1+4a}}{2}$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{1+4a}}{2}$
Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли эти корни условию ОДЗ $x > 0$.

Проверка корня $x_2$:
Так как $a > 0$, то $1+4a > 1$ и $\sqrt{1+4a} > 1$.
Тогда $-1 - \sqrt{1+4a} < -2$, и, следовательно, $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{1+4a}}{2} < -1$.
Этот корень не удовлетворяет условию $x > 0$, значит, он является посторонним.

Проверка корня $x_1$:
Мы должны проверить, когда $x_1 > 0$.
$\frac{-1 + \sqrt{1+4a}}{2} > 0$
$-1 + \sqrt{1+4a} > 0$
$\sqrt{1+4a} > 1$
Так как обе части неравенства положительны, можно возвести их в квадрат:
$1+4a > 1$
$4a > 0$
$a > 0$
Это условие совпадает с условием на параметр $a$ из ОДЗ. Следовательно, корень $x_1$ является решением уравнения при всех допустимых значениях $a$.

Ответ:
При $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ решением является $x = \frac{-1 + \sqrt{1+4a}}{2}$.
При $a \le 0$ или $a=1$ решений нет.