Страница 183 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)Дано квадратное неравенство $x^2 + (m + 1)x + m \le 0$.
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + (m + 1)x + m = 0$.Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = -(m+1)$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = m$.Подбором находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -m$.Проверка: $(-1) + (-m) = -(m+1)$ и $(-1) \cdot (-m) = m$. Корни найдены верно.
Неравенство можно переписать в виде $(x - x_1)(x - x_2) \le 0$, то есть $(x + 1)(x + m) \le 0$.Графиком функции $y = x^2 + (m + 1)x + m$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный).Следовательно, неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.
Решение зависит от взаимного расположения корней $-1$ и $-m$, которое определяется значением параметра $m$.
1. Если $-m < -1$, что эквивалентно $m > 1$. Корни в порядке возрастания: $-m$, $-1$. Решением является отрезок $x \in [-m, -1]$.
2. Если $-m = -1$, что эквивалентно $m = 1$. Корни совпадают: $x_1 = x_2 = -1$. Неравенство принимает вид $(x+1)^2 \le 0$. Так как квадрат любого числа неотрицателен, единственное решение — это $x+1=0$, то есть $x = -1$.
3. Если $-m > -1$, что эквивалентно $m < 1$. Корни в порядке возрастания: $-1$, $-m$. Решением является отрезок $x \in [-1, -m]$.
Ответ: при $m < 1$ решение $x \in [-1, -m]$; при $m = 1$ решение $x = -1$; при $m > 1$ решение $x \in [-m, -1]$.

2)Дано рациональное неравенство $\frac{x^2 - n^2}{x - 3} > 0$.
Разложим числитель на множители: $\frac{(x-n)(x+n)}{x-3} > 0$.Для решения используем метод интервалов. Критические точки (нули числителя и знаменателя): $x=n$, $x=-n$, $x=3$. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы, в каждом из которых выражение сохраняет знак. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.
Рассмотрим различные случаи в зависимости от значения параметра $n$.
1. Если $n=0$: неравенство принимает вид $\frac{x^2}{x-3} > 0$. Так как $x^2 \ge 0$, для выполнения неравенства требуется $x-3 > 0$ и $x \ne 0$. Отсюда $x > 3$.
2. Если $|n|=3$ (то есть $n=3$ или $n=-3$): неравенство становится $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} > 0$. При $x \ne 3$ оно сводится к $x+3 > 0$, то есть $x > -3$. С учетом условия $x \ne 3$, получаем $x \in (-3, 3) \cup (3, +\infty)$.
3. Если $0 < |n| < 3$: критические точки в порядке возрастания: $-|n|$, $|n|$, $3$. Расставляя знаки на интервалах $(-\infty, -|n|), (-|n|, |n|), (|n|, 3), (3, +\infty)$, получаем: $-, +, -, +$. Решением являются интервалы со знаком "+": $x \in (-|n|, |n|) \cup (3, +\infty)$.
4. Если $|n| > 3$: критические точки в порядке возрастания: $-|n|$, $3$, $|n|$. Расставляя знаки на интервалах $(-\infty, -|n|), (-|n|, 3), (3, |n|), (|n|, +\infty)$, получаем: $-, +, -, +$. Решением являются интервалы со знаком "+": $x \in (-|n|, 3) \cup (|n|, +\infty)$.
Ответ: при $n=0$ решение $x \in (3, +\infty)$; при $|n|=3$ решение $x \in (-3, 3) \cup (3, +\infty)$; при $0 < |n| < 3$ решение $x \in (-|n|, |n|) \cup (3, +\infty)$; при $|n| > 3$ решение $x \in (-|n|, 3) \cup (|n|, +\infty)$.

3)Дано неравенство $(x-b)\sqrt{x-3} < 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется подкоренным выражением: $x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$.
Множитель $\sqrt{x-3}$ неотрицателен на всей ОДЗ.Если $x=3$, то $\sqrt{x-3}=0$, и неравенство принимает вид $(3-b) \cdot 0 < 0$, то есть $0 < 0$, что неверно. Значит, $x=3$ не является решением.
Следовательно, мы должны рассматривать случай $x > 3$. При $x>3$ множитель $\sqrt{x-3}$ строго положителен. Мы можем разделить обе части неравенства на $\sqrt{x-3}$, сохранив знак неравенства:
$x-b < 0 \implies x < b$.
Итак, решение должно удовлетворять системе из двух условий: $x > 3$ и $x < b$.Эта система имеет решение тогда и только тогда, когда правая граница больше левой, то есть $b > 3$.
1. Если $b \le 3$, система $\begin{cases} x > 3 \\ x < b \end{cases}$ не имеет решений.
2. Если $b > 3$, решением системы является интервал $(3, b)$.
Ответ: при $b \le 3$ решений нет; при $b > 3$ решение $x \in (3, b)$.

4)Дано логарифмическое неравенство $\log_7(x-5) \le \log_7(a-x)$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ), потребовав, чтобы аргументы логарифмов были положительны:
$\begin{cases} x - 5 > 0 \\ a - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5 \\ x < a \end{cases}$
ОДЗ представляет собой интервал $(5, a)$. Этот интервал непуст только при условии $a > 5$. Если $a \le 5$, ОДЗ пусто, и неравенство не имеет решений.
Рассмотрим случай $a > 5$. Основание логарифма $7 > 1$, поэтому логарифмическая функция $y=\log_7(t)$ является возрастающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:
$x - 5 \le a - x$
Решим это линейное неравенство относительно $x$:
$2x \le a + 5$
$x \le \frac{a+5}{2}$
Чтобы найти окончательное решение, нужно пересечь полученное условие с ОДЗ:
$\begin{cases} x > 5 \\ x \le \frac{a+5}{2} \end{cases}$
(Условие $x < a$ уже учтено, так как при $a > 5$ выполняется $\frac{a+5}{2} < a$).
Для существования этого интервала нужно, чтобы $\frac{a+5}{2} > 5$, что равносильно $a+5 > 10$, или $a > 5$, что совпадает с нашим начальным условием.
Таким образом, при $a > 5$ решением является полуинтервал $\left(5, \frac{a+5}{2}\right]$.
Ответ: при $a \le 5$ решений нет; при $a > 5$ решение $x \in \left(5, \frac{a+5}{2}\right]$.

Пусть дано квадратное уравнение $(k-2)x^2 - 2(k+3)x + 4k = 0$. Обозначим левую часть этого уравнения как функцию от $x$: $f(x) = (k-2)x^2 - 2(k+3)x + 4k$.

По условию задачи, один корень уравнения, пусть это будет $x_1$, должен быть меньше 2, а другой корень, $x_2$, должен быть больше 3. Таким образом, мы имеем $x_1 < 2$ и $x_2 > 3$. Это означает, что числа 2 и 3 лежат между корнями уравнения.

Графически это означает, что парабола $y=f(x)$ пересекает ось абсцисс в двух точках $x_1$ и $x_2$, и интервал $(2, 3)$ находится между этими точками. Это возможно только если уравнение имеет два различных действительных корня, и значения функции в точках $x=2$ и $x=3$ удовлетворяют определенным условиям в зависимости от направления ветвей параболы.

Найдем значения функции $f(x)$ в точках $x=2$ и $x=3$: $f(2) = (k-2) \cdot 2^2 - 2(k+3) \cdot 2 + 4k = 4(k-2) - 4(k+3) + 4k = 4k - 8 - 4k - 12 + 4k = 4k - 20 = 4(k-5)$. $f(3) = (k-2) \cdot 3^2 - 2(k+3) \cdot 3 + 4k = 9(k-2) - 6(k+3) + 4k = 9k - 18 - 6k - 18 + 4k = 7k - 36$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака старшего коэффициента $a = k-2$.

Случай 1: Ветви параболы направлены вверх

Это происходит, когда старший коэффициент $a > 0$, то есть $k-2 > 0 \implies k > 2$. В этом случае, чтобы интервал $(2, 3)$ находился между корнями, значения функции в точках $x=2$ и $x=3$ должны быть отрицательными: $f(2) < 0$ и $f(3) < 0$.

Составим систему неравенств: $ \begin{cases} k-2 > 0 \\ f(2) < 0 \\ f(3) < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} k > 2 \\ 4(k-5) < 0 \\ 7k - 36 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} k > 2 \\ k < 5 \\ k < \frac{36}{7} \end{cases} $

Нам нужно найти пересечение этих трех интервалов. Сравним $5$ и $\frac{36}{7}$. Так как $5 = \frac{35}{7}$, то $5 < \frac{36}{7}$. Система требует, чтобы $k$ было больше 2, меньше 5 и меньше $\frac{36}{7}$. Условие $k < 5$ является менее строгим, чем $k < \frac{36}{7}$, поэтому нам нужно, чтобы $k$ было меньше 5. Таким образом, решением системы является интервал $2 < k < 5$.

Случай 2: Ветви параболы направлены вниз

Это происходит, когда старший коэффициент $a < 0$, то есть $k-2 < 0 \implies k < 2$. В этом случае, чтобы интервал $(2, 3)$ находился между корнями, значения функции в точках $x=2$ и $x=3$ должны быть положительными: $f(2) > 0$ и $f(3) > 0$.

Составим систему неравенств: $ \begin{cases} k-2 < 0 \\ f(2) > 0 \\ f(3) > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} k < 2 \\ 4(k-5) > 0 \\ 7k - 36 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} k < 2 \\ k > 5 \\ k > \frac{36}{7} \end{cases} $

Эта система не имеет решений, так как не существует такого значения $k$, которое было бы одновременно меньше 2 и больше 5.

Объединяя результаты обоих случаев, мы видим, что решение существует только для первого случая.

Ответ: $k \in (2; 5)$.

Дано квадратное уравнение $x^2 - (2k + 1)x + k^2 + 2 = 0$. По условию задачи один из его корней в два раза больше другого. Обозначим корни уравнения как $x_1$ и $x_2$. Пусть $x_2 = 2x_1$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$. Согласно этой теореме, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1 x_2 = q$.

В нашем уравнении коэффициенты равны $p = -(2k+1)$ и $q = k^2+2$. Применим теорему Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-(2k+1)) = 2k+1$.
Произведение корней: $x_1 x_2 = k^2+2$.

Теперь у нас есть система уравнений, связывающая корни и параметр $k$:
$x_1 + x_2 = 2k+1$
$x_1 x_2 = k^2+2$
$x_2 = 2x_1$

Подставим соотношение $x_2 = 2x_1$ в первое уравнение системы:
$x_1 + 2x_1 = 2k+1$
$3x_1 = 2k+1$
Отсюда выразим $x_1$ через $k$:
$x_1 = \frac{2k+1}{3}$

Теперь подставим $x_2 = 2x_1$ во второе уравнение системы:
$x_1 \cdot (2x_1) = k^2+2$
$2x_1^2 = k^2+2$

В полученное уравнение $2x_1^2 = k^2+2$ подставим выражение для $x_1$, которое мы нашли ранее:
$2\left(\frac{2k+1}{3}\right)^2 = k^2+2$

Решим это уравнение относительно $k$. Сначала раскроем скобки:
$2 \cdot \frac{(2k+1)^2}{9} = k^2+2$
$2 \cdot \frac{4k^2 + 4k + 1}{9} = k^2+2$
Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от знаменателя:
$2(4k^2 + 4k + 1) = 9(k^2+2)$
$8k^2 + 8k + 2 = 9k^2 + 18$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и приведем подобные слагаемые:
$9k^2 - 8k^2 - 8k + 18 - 2 = 0$
$k^2 - 8k + 16 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $k$. Заметим, что левая часть является полным квадратом разности:
$(k-4)^2 = 0$

Отсюда следует, что $k-4=0$, и единственным решением является $k=4$.

Ответ: $k=4$.

Берілген теңдеу: $3x^3 + ax^2 + bx + 18 = 0$. Теңдеудің коэффициенттері $3, a, b, 18$. Есептің шарты бойынша $a$ және $b$ бүтін сандар, демек, теңдеудің барлық коэффициенттері рационал сандар болып табылады.

Рационал коэффициентті көпмүшелік теңдеулер үшін иррационал түбірлер туралы теоремаға сәйкес (түйіндес түбірлер теоремасы), егер $p + \sqrt{q}$ (мұндағы $p, q$ - рационал сандар, $\sqrt{q}$ - иррационал сан) теңдеудің түбірі болса, онда оған түйіндес $p - \sqrt{q}$ саны да осы теңдеудің түбірі болады.

Біздің жағдайда, бір түбір $x_1 = 1 + \sqrt{3}$ берілген. Коэффициенттер рационал болғандықтан, екінші түбір оған түйіндес сан, яғни $x_2 = 1 - \sqrt{3}$ болады.

Кубтық теңдеудің үш түбірі болады. Үшінші түбірді $x_3$ деп белгілейік. $3x^3+ax^2+bx+18=0$ теңдеуі үшін Виет теоремасын қолданамыз:
Түбірлердің қосындысы: $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{a}{3}$
Түбірлердің қос-қостан көбейтінділерінің қосындысы: $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{b}{3}$
Түбірлердің көбейтіндісі: $x_1x_2x_3 = -\frac{18}{3} = -6$

Алдымен $x_1$ және $x_2$ түбірлерінің көбейтіндісін табайық: $x_1x_2 = (1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3}) = 1^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2$.

Енді түбірлердің көбейтіндісіне арналған Виет формуласын пайдаланып, $x_3$ түбірін табамыз:
$x_1x_2x_3 = -6$
$(-2) \cdot x_3 = -6$
$x_3 = \frac{-6}{-2} = 3$

Осылайша, теңдеудің барлық үш түбірі табылды: $1 + \sqrt{3}$, $1 - \sqrt{3}$ және $3$. Енді $a$ және $b$ коэффициенттерін табу үшін Виеттің қалған формулаларын қолданамыз.

$a$ коэффициентін табу үшін түбірлердің қосындысы формуласын қолданамыз:
$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{a}{3}$
$(1 + \sqrt{3}) + (1 - \sqrt{3}) + 3 = -\frac{a}{3}$
$2 + 3 = -\frac{a}{3}$
$5 = -\frac{a}{3}$
$a = -5 \cdot 3 = -15$

$b$ коэффициентін табу үшін түбірлердің қос-қостан көбейтінділерінің қосындысы формуласын қолданамыз:
$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{b}{3}$
Бұл өрнекті ыңғайлы түрде топтастыруға болады: $x_1x_2 + (x_1+x_2)x_3 = \frac{b}{3}$.
Бізде $x_1x_2 = -2$ және $x_1+x_2 = (1+\sqrt{3})+(1-\sqrt{3})=2$ екені белгілі.
Орнына қоямыз:
$-2 + (2)(3) = \frac{b}{3}$
$-2 + 6 = \frac{b}{3}$
$4 = \frac{b}{3}$
$b = 4 \cdot 3 = 12$

Сонымен, $a$ және $b$ бүтін сандарының мәндері: $a = -15$ және $b = 12$.
Ответ: $a = -15, b = 12$.

1) $2^{2x} - (2a+1) \cdot 2^x + a^2 + a = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $2^x$. Сделаем замену переменной.
Пусть $y = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $y > 0$.
Уравнение принимает вид:
$y^2 - (2a+1)y + (a^2+a) = 0$
Это квадратное уравнение относительно $y$. Для его решения найдем дискриминант $D$:
$D = (-(2a+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2+a) = (4a^2 + 4a + 1) - (4a^2 + 4a) = 1$
Дискриминант положителен, значит уравнение всегда имеет два действительных корня. Найдем их:
$y_{1,2} = \frac{-(-(2a+1)) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{2a+1 \pm 1}{2}$
Отсюда получаем два корня для $y$:
$y_1 = \frac{2a+1+1}{2} = \frac{2a+2}{2} = a+1$
$y_2 = \frac{2a+1-1}{2} = \frac{2a}{2} = a$
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, учитывая, что $y > 0$.
1. $2^x = a+1$
2. $2^x = a$
Для существования решения $x = \log_2 y$ необходимо, чтобы $y$ было положительным. Проанализируем решения в зависимости от значений параметра $a$.

Случай 1: $a > 0$.
В этом случае $a > 0$ и $a+1 > 0$. Оба корня для $y$ положительны.
Из $2^x = a$ следует $x_1 = \log_2 a$.
Из $2^x = a+1$ следует $x_2 = \log_2(a+1)$.
Уравнение имеет два различных корня.

Случай 2: $-1 < a \le 0$.
В этом случае $a \le 0$, поэтому уравнение $2^x = a$ не имеет решений (или имеет решение $x=0$ при $a=0$, но $2^0=1$, что неверно). Если $a=0$, $y_2=0$, что не удовлетворяет условию $y>0$.
Однако $a+1 > 0$, поэтому уравнение $2^x = a+1$ имеет решение $x = \log_2(a+1)$.
Уравнение имеет один корень.

Случай 3: $a = -1$.
$y_1 = a+1 = 0$, $y_2 = a = -1$. Оба значения не являются положительными, поэтому решений нет.

Случай 4: $a < -1$.
$y_1 = a+1 < 0$ и $y_2 = a < 0$. Оба значения отрицательны, поэтому решений нет.

Объединяя случаи 3 и 4, получаем, что при $a \le -1$ решений нет.

Ответ:
При $a > 0$ решениями являются $x_1 = \log_2 a$ и $x_2 = \log_2(a+1)$.
При $a \in (-1, 0]$ решением является $x = \log_2(a+1)$.
При $a \le -1$ решений нет.

2) $\log_a x + \log_a (x+1) = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице: $a > 0, a \neq 1$.
2. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$x > 0$
$x+1 > 0 \implies x > -1$
Объединяя условия для $x$, получаем $x > 0$.
Таким образом, ОДЗ: $x > 0$, $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Используя свойство суммы логарифмов $\log_b M + \log_b N = \log_b(MN)$, преобразуем уравнение:
$\log_a (x(x+1)) = 1$
По определению логарифма ($ \log_b c = d \iff c = b^d $):
$x(x+1) = a^1$
$x^2 + x = a$
$x^2 + x - a = 0$
Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 1 + 4a$.
Для существования действительных корней $x$ необходимо, чтобы $D \ge 0$, то есть $1+4a \ge 0$, что означает $a \ge -1/4$.
Однако из ОДЗ мы знаем, что $a > 0$, что автоматически удовлетворяет условию $a \ge -1/4$. При $a>0$ дискриминант $D=1+4a > 1$, поэтому уравнение всегда имеет два различных действительных корня.
Корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4a}}{2}$
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{1+4a}}{2}$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{1+4a}}{2}$
Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли эти корни условию ОДЗ $x > 0$.

Проверка корня $x_2$:
Так как $a > 0$, то $1+4a > 1$ и $\sqrt{1+4a} > 1$.
Тогда $-1 - \sqrt{1+4a} < -2$, и, следовательно, $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{1+4a}}{2} < -1$.
Этот корень не удовлетворяет условию $x > 0$, значит, он является посторонним.

Проверка корня $x_1$:
Мы должны проверить, когда $x_1 > 0$.
$\frac{-1 + \sqrt{1+4a}}{2} > 0$
$-1 + \sqrt{1+4a} > 0$
$\sqrt{1+4a} > 1$
Так как обе части неравенства положительны, можно возвести их в квадрат:
$1+4a > 1$
$4a > 0$
$a > 0$
Это условие совпадает с условием на параметр $a$ из ОДЗ. Следовательно, корень $x_1$ является решением уравнения при всех допустимых значениях $a$.

Ответ:
При $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ решением является $x = \frac{-1 + \sqrt{1+4a}}{2}$.
При $a \le 0$ или $a=1$ решений нет.

1)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases}\log_{2}(4y + 4a - 3) = 1 + \log_{2}(x - x), \\y = \sqrt{x};\end{cases}$

В первом уравнении системы содержится выражение $\log_{2}(x - x)$, что эквивалентно $\log_{2}(0)$. Функция логарифма определена только для положительных аргументов, поэтому выражение $\log_{2}(0)$ не определено. Это означает, что область определения первого уравнения является пустым множеством, и, следовательно, система уравнений не имеет решений ни при каких значениях параметра $a$.

Весьма вероятно, что в условии задачи допущена опечатка. Наиболее распространенный тип задач такого рода предполагает, что вместо $\log_{2}(x-x)$ должно быть $\log_{2}(x)$. Решим систему, исходя из этого предположения.

Исправленная система:

$\begin{cases}\log_{2}(4y + 4a - 3) = 1 + \log_{2}(x), \\y = \sqrt{x};\end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $x > 0$ и $4y + 4a - 3 > 0$.

Используя свойство логарифмов, преобразуем первое уравнение ($1 = \log_{2}2$):

$\log_{2}(4y + 4a - 3) = \log_{2}(2) + \log_{2}(x)$

$\log_{2}(4y + 4a - 3) = \log_{2}(2x)$

Приравнивая аргументы логарифмов, получаем: $4y + 4a - 3 = 2x$.

Подставим во второе уравнение системы $y = \sqrt{x}$:

$4\sqrt{x} + 4a - 3 = 2x$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\sqrt{x}$:

$2x - 4\sqrt{x} - 4a + 3 = 0$.

Сделаем замену переменной $t = \sqrt{x}$. Так как по ОДЗ $x > 0$, то и $t > 0$. Уравнение принимает вид:

$2t^2 - 4t + 3 - 4a = 0$.

Для того чтобы исходная система имела решение, это квадратное уравнение должно иметь хотя бы один положительный корень ($t > 0$).

Найдем дискриминант $D$ данного квадратного уравнения:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - 4a) = 16 - 8(3 - 4a) = 16 - 24 + 32a = 32a - 8$.

Для существования действительных корней необходимо, чтобы $D \geq 0$:

$32a - 8 \geq 0 \implies 32a \geq 8 \implies a \geq \frac{1}{4}$.

Корни уравнения для $t$ находятся по формуле: $t = \frac{4 \pm \sqrt{32a - 8}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{32a - 8}}{4}$.

Обозначим корни как $t_1 = 1 - \frac{\sqrt{32a - 8}}{4}$ и $t_2 = 1 + \frac{\sqrt{32a - 8}}{4}$.

Рассмотрим корень $t_2$. Поскольку при $a \geq \frac{1}{4}$ выражение $\sqrt{32a - 8} \geq 0$, то $t_2 \geq 1$. Следовательно, корень $t_2$ всегда является положительным при $a \geq \frac{1}{4}$.

Наличие хотя бы одного положительного корня $t$ гарантирует существование решения для $x=t^2 > 0$.

Проверим второе условие ОДЗ: $4y + 4a - 3 > 0$. Из нашего уравнения $4y + 4a - 3 = 2x$. Поскольку $x > 0$, то $2x > 0$, и это условие выполняется автоматически.

Таким образом, при условии, что в задаче была опечатка, система имеет решение для всех $a \geq \frac{1}{4}$.

Ответ: Если следовать записи в условии, решений нет. Если предположить, что в условии опечатка и уравнение имеет вид $\log_{2}(4y + 4a - 3) = 1 + \log_{2}(x)$, то $a \in [\frac{1}{4}; +\infty)$.

2)

Данная система уравнений:

$\begin{cases}1 + \log_{2}(b - 2 - y) = \log_{2}(b - x), \\y + 2\sqrt{x} = 1.\end{cases}$

ОДЗ системы определяется условиями: $x \geq 0$ (из-за наличия $\sqrt{x}$), $b - 2 - y > 0$ и $b - x > 0$.

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 1 - 2\sqrt{x}$.

Преобразуем первое уравнение: $\log_{2}(2) + \log_{2}(b - 2 - y) = \log_{2}(b - x)$, что равносильно $\log_{2}(2(b - 2 - y)) = \log_{2}(b - x)$.

Отсюда следует $2(b - 2 - y) = b - x$. Подставим выражение для $y$:

$2(b - 2 - (1 - 2\sqrt{x})) = b - x$

$2(b - 3 + 2\sqrt{x}) = b - x$

$2b - 6 + 4\sqrt{x} = b - x$

$x + 4\sqrt{x} + b - 6 = 0$.

Сделаем замену $t = \sqrt{x}$, где $t \geq 0$. Уравнение примет вид:

$t^2 + 4t + b - 6 = 0$.

Это квадратное уравнение должно иметь хотя бы один неотрицательный корень $t$, который удовлетворяет ОДЗ.

Дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (b - 6) = 16 - 4b + 24 = 40 - 4b = 4(10 - b)$.

Для существования действительных корней $D \geq 0$, т.е. $10 - b \geq 0$, откуда $b \leq 10$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4(10 - b)}}{2} = -2 \pm \sqrt{10 - b}$.

Корень $t_1 = -2 - \sqrt{10 - b}$ всегда отрицателен, так как $\sqrt{10-b} \geq 0$, и не является решением.

Рассмотрим корень $t_2 = -2 + \sqrt{10 - b}$. Требуется, чтобы $t_2 \geq 0$:

$\sqrt{10 - b} \geq 2$. Возведем обе части в квадрат: $10 - b \geq 4 \implies b \leq 6$.

Теперь необходимо проверить выполнение условий ОДЗ для $t = -2 + \sqrt{10 - b}$ при $b \leq 6$.

Условие $b - 2 - y > 0$ является достаточным, так как из $2(b-2-y) = b-x$ и $b-2-y > 0$ следует $b-x > 0$.

$b - 2 - (1-2t) > 0 \implies b - 3 + 2t > 0 \implies 2t > 3-b$.

$2(-2 + \sqrt{10-b}) > 3 - b$

$-4 + 2\sqrt{10-b} > 3 - b$

$2\sqrt{10-b} > 7 - b$.

Так как мы рассматриваем $b \leq 6$, правая часть $7-b$ всегда положительна ($7-b \geq 1$). Поэтому можно возвести обе части в квадрат:

$4(10-b) > (7-b)^2$

$40 - 4b > 49 - 14b + b^2$

$b^2 - 10b + 9 < 0$.

Корнями уравнения $b^2 - 10b + 9 = 0$ являются $b_1=1$ и $b_2=9$. Неравенство $(b-1)(b-9) < 0$ выполняется для $1 < b < 9$.

Соберем все условия для $b$:

1. $b \leq 10$ (для существования действительных корней $t$)
2. $b \leq 6$ (для того, чтобы корень $t_2$ был неотрицательным)
3. $1 < b < 9$ (для выполнения ОДЗ)

Пересечение этих трех множеств дает итоговый интервал для $b$: $1 < b \leq 6$.

Ответ: $b \in (1; 6]$.

Для того чтобы неравенство $x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 2a > 0$ было следствием неравенства $x^2 - 4x + 3 < 0$, необходимо, чтобы множество решений первого неравенства было подмножеством множества решений второго неравенства. Иными словами, каждый $x$, удовлетворяющий первому неравенству, должен удовлетворять и второму.

Найдем решение неравенства $x^2 - 4x + 3 < 0$

Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 4x + 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $x \in (1, 3)$.

Найдем решение неравенства $x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 2a > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 2a = 0$. Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-2(a+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + 2a) = 4(a^2 + 2a + 1) - 4a^2 - 8a = 4a^2 + 8a + 4 - 4a^2 - 8a = 4$.

Так как $D=4>0$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Найдем корни:

$x = \frac{2(a+1) \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{2(a+1) \pm 2}{2} = a+1 \pm 1$.

Отсюда корни: $x_1 = a+1 - 1 = a$ и $x_2 = a+1 + 1 = a+2$.

Графиком функции $y = x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 2a$ также является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решением этого неравенства является объединение интервалов $(-\infty, a) \cup (a+2, \infty)$.

Найдем значения $a$, при которых решение первого неравенства является подмножеством решения второго

Нам нужно, чтобы интервал $(1, 3)$ полностью содержался в множестве $(-\infty, a) \cup (a+2, \infty)$. Это означает, что интервал $(1, 3)$ не должен пересекаться с "запрещенным" отрезком $[a, a+2]$.

Это возможно в двух случаях:

1. Весь интервал $(1, 3)$ находится левее отрезка $[a, a+2]$. Это означает, что правая граница интервала $(1, 3)$ должна быть меньше или равна левой границе отрезка $[a, a+2]$.

Математически это записывается как $3 \le a$.

2. Весь интервал $(1, 3)$ находится правее отрезка $[a, a+2]$. Это означает, что левая граница интервала $(1, 3)$ должна быть больше или равна правой границе отрезка $[a, a+2]$.

Математически это записывается как $a+2 \le 1$, откуда получаем $a \le -1$.

Объединяя оба случая, мы получаем, что параметр $a$ должен удовлетворять условию $a \le -1$ или $a \ge 3$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1] \cup [3; \infty)$.

1) Для решения неравенства $\frac{x - 3}{\sqrt{x - a}} \le 0$ необходимо рассмотреть область допустимых значений (ОДЗ) и знаки числителя и знаменателя.

1.ОДЗ: Знаменатель дроби не может быть равен нулю, а подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Так как квадратный корень находится в знаменателе, подкоренное выражение должно быть строго положительным:
$x - a > 0$
$x > a$

2.Решение неравенства: В области допустимых значений знаменатель $\sqrt{x-a}$ всегда является положительным числом. Следовательно, знак всей дроби зависит только от знака числителя. Чтобы дробь была меньше или равна нулю, числитель должен быть меньше или равен нулю:
$x - 3 \le 0$
$x \le 3$

3.Объединение условий: Теперь необходимо найти пересечение решений, то есть решить систему неравенств:
$$ \begin{cases} x > a \\ x \le 3 \end{cases} $$Решение этой системы зависит от значения параметра $a$.

• Если $a < 3$, то система имеет решение. Пересечением интервалов $(a, +\infty)$ и $(-\infty, 3]$ является полуинтервал $(a, 3]$.
• Если $a \ge 3$, то система не имеет решений, так как не существует числа $x$, которое одновременно больше или равно 3 и меньше или равно 3 (в случае $a=3$, $x>3$ и $x\le3$ не пересекаются; в случае $a>3$, $x>a$ и $x\le3$ также не пересекаются).

Ответ: при $a < 3$ решением является $x \in (a, 3]$; при $a \ge 3$ решений нет.

2) Для решения неравенства $\log_a (x - 4) \ge \log_a (5 - 3x)$ найдем его область допустимых значений (ОДЗ).

1.ОДЗ: Аргументы логарифма должны быть строго положительными. Также основание логарифма $a$ должно быть положительным и не равным единице ($a > 0, a \ne 1$).
Составим систему неравенств для аргументов логарифмов:
$$ \begin{cases} x - 4 > 0 \\ 5 - 3x > 0 \end{cases} $$

2.Решение системы для ОДЗ:
Из первого неравенства получаем:
$x > 4$
Из второго неравенства получаем:
$5 > 3x$
$x < \frac{5}{3}$

Таким образом, ОДЗ определяется системой:
$$ \begin{cases} x > 4 \\ x < \frac{5}{3} \end{cases} $$

3.Анализ ОДЗ: Необходимо найти значения $x$, которые одновременно больше 4 и меньше $\frac{5}{3}$. Так как $4 = \frac{12}{3}$, а $\frac{12}{3} > \frac{5}{3}$, то таких значений $x$ не существует. Пересечение множеств $(4, +\infty)$ и $(-\infty, \frac{5}{3})$ пустое.

Поскольку область допустимых значений пуста, исходное неравенство не имеет решений ни при каких допустимых значениях параметра $a$.

Ответ: решений нет.

1. Дано уравнение: $ \frac{2x-3}{x-2} = \frac{3x+1}{x+2} $.

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, следовательно:

$ x-2 \neq 0 \implies x \neq 2 $

$ x+2 \neq 0 \implies x \neq -2 $

ОДЗ: $x$ может быть любым числом, кроме $2$ и $-2$.

Теперь решим уравнение. Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), выполним перекрестное умножение:

$ (2x-3)(x+2) = (3x+1)(x-2) $

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ 2x \cdot x + 2x \cdot 2 - 3 \cdot x - 3 \cdot 2 = 3x \cdot x + 3x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2) $

$ 2x^2 + 4x - 3x - 6 = 3x^2 - 6x + x - 2 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 2x^2 + x - 6 = 3x^2 - 5x - 2 $

Перенесем все члены в правую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному квадратному виду $ ax^2+bx+c=0 $:

$ 0 = (3x^2 - 2x^2) + (-5x - x) + (-2 + 6) $

$ 0 = x^2 - 6x + 4 $

Или $ x^2 - 6x + 4 = 0 $.

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся формулой корней через дискриминант. Сначала вычислим дискриминант $ D = b^2 - 4ac $, где $a=1$, $b=-6$, $c=4$.

$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20 $

Поскольку $ D > 0 $, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $.

$ x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 5}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} $

Разделим числитель и знаменатель на 2:

$ x = 3 \pm \sqrt{5} $

Полученные корни $ x_1 = 3 + \sqrt{5} $ и $ x_2 = 3 - \sqrt{5} $. Проверим, удовлетворяют ли они ОДЗ.

$ 3 + \sqrt{5} \neq \pm 2 $ и $ 3 - \sqrt{5} \neq \pm 2 $. Оба корня входят в область допустимых значений.

Таким образом, решением уравнения являются два числа: $ 3 + \sqrt{5} $ и $ 3 - \sqrt{5} $, что соответствует варианту D.

Ответ: D. $3 \pm \sqrt{5}$.

Дано иррациональное уравнение: $ \sqrt{x-1} = x-1 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:
$ x - 1 \ge 0 $
Отсюда следует, что $ x \ge 1 $.

Для решения уравнения возведем обе его части в квадрат:
$ (\sqrt{x-1})^2 = (x-1)^2 $
$ x - 1 = (x-1)^2 $

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$ (x-1)^2 - (x-1) = 0 $

Вынесем общий множитель $ (x-1) $ за скобки:
$ (x-1) \cdot ((x-1) - 1) = 0 $
$ (x-1)(x-2) = 0 $

Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $ x - 1 = 0 \implies x_1 = 1 $
2) $ x - 2 = 0 \implies x_2 = 2 $

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($ x \ge 1 $).
Корень $ x_1 = 1 $ удовлетворяет условию $ 1 \ge 1 $.
Корень $ x_2 = 2 $ удовлетворяет условию $ 2 \ge 1 $.
Оба корня принадлежат области допустимых значений.

Выполним проверку подстановкой найденных значений в исходное уравнение:
При $ x = 1 $: $ \sqrt{1-1} = 1-1 \implies \sqrt{0} = 0 \implies 0=0 $. (Верно)
При $ x = 2 $: $ \sqrt{2-1} = 2-1 \implies \sqrt{1} = 1 \implies 1=1 $. (Верно)

Следовательно, уравнение имеет два решения.

Ответ: 1; 2.

3. Для решения уравнения $3 \sin x + 4 \cos x = 5$ воспользуемся методом универсальной тригонометрической подстановки. Пусть $t = \tan \frac{x}{2}$. Тогда справедливы следующие формулы:

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

Данная подстановка определена для всех $x$, кроме $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Проверим, являются ли эти значения $x$ решениями исходного уравнения. Если $x = \pi$, то $\sin x = 0$ и $\cos x = -1$.

$3 \sin \pi + 4 \cos \pi = 3 \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = -4$.

Поскольку $-4 \neq 5$, то $x = \pi + 2\pi k$ не являются корнями уравнения.

Подставим выражения для $\sin x$ и $\cos x$ через $t$ в исходное уравнение:

$3 \left( \frac{2t}{1+t^2} \right) + 4 \left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right) = 5$

Умножим обе части уравнения на $1+t^2 \neq 0$:

$3(2t) + 4(1-t^2) = 5(1+t^2)$

$6t + 4 - 4t^2 = 5 + 5t^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $t$:

$5t^2 + 4t^2 - 6t + 5 - 4 = 0$

$9t^2 - 6t + 1 = 0$

Заметим, что левая часть является полным квадратом разности:

$(3t - 1)^2 = 0$

Отсюда находим значение $t$:

$3t - 1 = 0 \implies t = \frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную подстановку, чтобы найти $x$:

$\tan \frac{x}{2} = t = \frac{1}{3}$

Решая это простейшее тригонометрическое уравнение, получаем:

$\frac{x}{2} = \arctan \frac{1}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Умножим обе части на 2:

$x = 2 \arctan \frac{1}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Это и есть решение исходного уравнения. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту D.

Ответ: $x = 2\arctan\frac{1}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.