Страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)Дана система уравнений:
$$\begin{cases}2x + 3|y| = 13, \\3x - y = 3.\end{cases}$$
Для решения этой системы, содержащей модуль $|y|$, необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: $y \ge 0$
В этом случае $|y| = y$, и система уравнений принимает вид:
$$\begin{cases}2x + 3y = 13, \\3x - y = 3.\end{cases}$$
Из второго уравнения выразим $y$: $y = 3x - 3$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2x + 3(3x - 3) = 13$
$2x + 9x - 9 = 13$
$11x = 22$
$x = 2$

Теперь найдем значение $y$:
$y = 3(2) - 3 = 6 - 3 = 3$

Получили пару чисел $(2, 3)$. Проверим, удовлетворяет ли она условию $y \ge 0$. Так как $3 \ge 0$, данное решение является решением исходной системы.

Случай 2: $y < 0$
В этом случае $|y| = -y$, и система уравнений принимает вид:
$$\begin{cases}2x - 3y = 13, \\3x - y = 3.\end{cases}$$
Из второго уравнения выразим $y$: $y = 3x - 3$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2x - 3(3x - 3) = 13$
$2x - 9x + 9 = 13$
$-7x = 4$
$x = -\frac{4}{7}$

Теперь найдем значение $y$:
$y = 3(-\frac{4}{7}) - 3 = -\frac{12}{7} - \frac{21}{7} = -\frac{33}{7}$

Получили пару чисел $(-\frac{4}{7}, -\frac{33}{7})$. Проверим, удовлетворяет ли она условию $y < 0$. Так как $-\frac{33}{7} < 0$, данное решение также является решением исходной системы.

Ответ: $(2, 3)$, $(-\frac{4}{7}, -\frac{33}{7})$.

2)Дана система уравнений:
$$\begin{cases}3|x| + 5y + 9 = 0, \\2x - |y| - 7 = 0.\end{cases}$$
Для решения этой системы, содержащей модули $|x|$ и $|y|$, необходимо рассмотреть четыре случая, раскрывая модули в зависимости от знаков $x$ и $y$.

Случай 1: $x \ge 0, y \ge 0$
При этих условиях $|x| = x$ и $|y| = y$. Система принимает вид:
$$\begin{cases}3x + 5y + 9 = 0, \\2x - y - 7 = 0.\end{cases}$$
Из второго уравнения выразим $y$: $y = 2x - 7$.
Подставим в первое уравнение:
$3x + 5(2x - 7) + 9 = 0$
$3x + 10x - 35 + 9 = 0$
$13x - 26 = 0 \implies x = 2$.
Тогда $y = 2(2) - 7 = 4 - 7 = -3$.
Полученное решение $(2, -3)$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x < 0, y \ge 0$
При этих условиях $|x| = -x$ и $|y| = y$. Система принимает вид:
$$\begin{cases}-3x + 5y + 9 = 0, \\2x - y - 7 = 0.\end{cases}$$
Из второго уравнения $y = 2x - 7$.
Подставим в первое уравнение:
$-3x + 5(2x - 7) + 9 = 0$
$-3x + 10x - 35 + 9 = 0$
$7x - 26 = 0 \implies x = \frac{26}{7}$.
Полученное значение $x = \frac{26}{7}$ не удовлетворяет условию $x < 0$. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 3: $x \ge 0, y < 0$
При этих условиях $|x| = x$ и $|y| = -y$. Система принимает вид:
$$\begin{cases}3x + 5y + 9 = 0, \\2x - (-y) - 7 = 0.\end{cases}\implies\begin{cases}3x + 5y + 9 = 0, \\2x + y - 7 = 0.\end{cases}$$
Из второго уравнения выразим $y$: $y = 7 - 2x$.
Подставим в первое уравнение:
$3x + 5(7 - 2x) + 9 = 0$
$3x + 35 - 10x + 9 = 0$
$-7x + 44 = 0 \implies x = \frac{44}{7}$.
Тогда $y = 7 - 2(\frac{44}{7}) = \frac{49-88}{7} = -\frac{39}{7}$.
Получили решение $(\frac{44}{7}, -\frac{39}{7})$. Проверим условия: $x = \frac{44}{7} \ge 0$ (верно) и $y = -\frac{39}{7} < 0$ (верно). Значит, это решение подходит.

Случай 4: $x < 0, y < 0$
При этих условиях $|x| = -x$ и $|y| = -y$. Система принимает вид:
$$\begin{cases}-3x + 5y + 9 = 0, \\2x - (-y) - 7 = 0.\end{cases}\implies\begin{cases}-3x + 5y + 9 = 0, \\2x + y - 7 = 0.\end{cases}$$
Из второго уравнения $y = 7 - 2x$.
Подставим в первое уравнение:
$-3x + 5(7 - 2x) + 9 = 0$
$-3x + 35 - 10x + 9 = 0$
$-13x + 44 = 0 \implies x = \frac{44}{13}$.
Полученное значение $x = \frac{44}{13}$ не удовлетворяет условию $x < 0$. Следовательно, в этом случае решений нет.

Объединяя результаты по всем случаям, получаем единственное решение.

Ответ: $(\frac{44}{7}, -\frac{39}{7})$.

1) Решим неравенство $|x + 3| + |x - 1| + |x - 3| < 10$.
Для решения этого типа неравенств с несколькими модулями применяется метод интервалов. Сначала найдем точки, в которых выражения под знаком модуля равны нулю. Эти точки разделят числовую ось на интервалы.
$x + 3 = 0 \implies x = -3$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$x - 3 = 0 \implies x = 3$
Получаем четыре интервала для рассмотрения: $(-\infty; -3)$, $[-3; 1)$, $[1; 3)$ и $[3; +\infty)$.

1. При $x \in (-\infty; -3)$ (или $x < -3$):
Все выражения под модулями отрицательны: $x+3 < 0$, $x-1 < 0$, $x-3 < 0$.
Раскрываем модули, меняя знак:
$-(x + 3) - (x - 1) - (x - 3) < 10$
$-x - 3 - x + 1 - x + 3 < 10$
$-3x + 1 < 10$
$-3x < 9$
$x > -3$
Решение $x > -3$ не пересекается с интервалом $x < -3$, поэтому на этом интервале решений нет.

2. При $x \in [-3; 1)$:
$x+3 \ge 0$, $x-1 < 0$, $x-3 < 0$.
Раскрываем модули:
$(x + 3) - (x - 1) - (x - 3) < 10$
$x + 3 - x + 1 - x + 3 < 10$
$-x + 7 < 10$
$-x < 3$
$x > -3$
Пересечение решения $x > -3$ с интервалом $[-3; 1)$ дает нам интервал $(-3; 1)$.

3. При $x \in [1; 3)$:
$x+3 > 0$, $x-1 \ge 0$, $x-3 < 0$.
Раскрываем модули:
$(x + 3) + (x - 1) - (x - 3) < 10$
$x + 3 + x - 1 - x + 3 < 10$
$x + 5 < 10$
$x < 5$
Пересечение решения $x < 5$ с интервалом $[1; 3)$ дает нам интервал $[1; 3)$.

4. При $x \in [3; +\infty)$:
Все выражения под модулями неотрицательны: $x+3 > 0$, $x-1 > 0$, $x-3 \ge 0$.
Раскрываем модули:
$(x + 3) + (x - 1) + (x - 3) < 10$
$3x - 1 < 10$
$3x < 11$
$x < \frac{11}{3}$
Пересечение решения $x < \frac{11}{3}$ с интервалом $[3; +\infty)$ дает нам интервал $[3; \frac{11}{3})$.

Теперь объединим все найденные решения:
$(-3; 1) \cup [1; 3) \cup [3; \frac{11}{3}) = (-3; \frac{11}{3})$.
Ответ: $(-3; \frac{11}{3})$.

2) Решим неравенство $|\frac{3x + 1}{x - 3}| < 3$.
Данное неравенство имеет вид $|A| < B$, где $B > 0$. Оно равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.
$-3 < \frac{3x + 1}{x - 3} < 3$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $x - 3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.
Поскольку обе части исходного неравенства $|\frac{3x + 1}{x - 3}| < 3$ неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, чтобы избавиться от знака модуля:
$(\frac{3x + 1}{x - 3})^2 < 3^2$
$\frac{(3x + 1)^2}{(x - 3)^2} < 9$
Перенесем 9 в левую часть:
$\frac{(3x + 1)^2}{(x - 3)^2} - 9 < 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{(3x + 1)^2 - 9(x - 3)^2}{(x - 3)^2} < 0$
Знаменатель $(x - 3)^2$ всегда положителен при $x \neq 3$. Следовательно, знак всей дроби зависит только от знака числителя:
$(3x + 1)^2 - 9(x - 3)^2 < 0$
Представим $9(x-3)^2$ как $(3(x-3))^2$ и воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(3x + 1)^2 - (3x - 9)^2 < 0$
$((3x + 1) - (3x - 9)) \cdot ((3x + 1) + (3x - 9)) < 0$
$(3x + 1 - 3x + 9) \cdot (3x + 1 + 3x - 9) < 0$
$(10) \cdot (6x - 8) < 0$
$6x - 8 < 0$
$6x < 8$
$x < \frac{8}{6}$
$x < \frac{4}{3}$
Полученное решение удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 3$).
Ответ: $(-\infty; \frac{4}{3})$.

1) Решим логарифмическое неравенство $\log_{\frac{3}{10}} |2x + 1| > 1$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$|2x + 1| > 0$

Модуль числа всегда неотрицателен. Он равен нулю, только если выражение под модулем равно нулю. Поэтому мы должны исключить этот случай:

$2x + 1 \ne 0$

$2x \ne -1$

$x \ne -\frac{1}{2}$

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием:

$1 = \log_{\frac{3}{10}} \left(\frac{3}{10}\right)$

Неравенство принимает вид:

$\log_{\frac{3}{10}} |2x + 1| > \log_{\frac{3}{10}} \left(\frac{3}{10}\right)$

Основание логарифма $a = \frac{3}{10}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$|2x + 1| < \frac{3}{10}$

Это неравенство с модулем равносильно двойному неравенству:

$-\frac{3}{10} < 2x + 1 < \frac{3}{10}$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-\frac{3}{10} - 1 < 2x < \frac{3}{10} - 1$

$-\frac{3}{10} - \frac{10}{10} < 2x < \frac{3}{10} - \frac{10}{10}$

$-\frac{13}{10} < 2x < -\frac{7}{10}$

Разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{13}{20} < x < -\frac{7}{20}$

Полученное решение $x \in \left(-\frac{13}{20}, -\frac{7}{20}\right)$ нужно совместить с ОДЗ ($x \ne -\frac{1}{2}$).

Поскольку $-\frac{1}{2} = -\frac{10}{20}$, и это значение находится внутри интервала $\left(-\frac{13}{20}, -\frac{7}{20}\right)$, мы должны исключить эту точку из решения. Таким образом, окончательное решение является объединением двух интервалов.

Ответ: $x \in \left(-\frac{13}{20}, -\frac{1}{2}\right) \cup \left(-\frac{1}{2}, -\frac{7}{20}\right)$.

2) Решим показательное неравенство $|x - 3|^{2x^2 - 7x} > 1$.

Решение этого неравенства зависит от значения основания степени $|x - 3|$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1.

$|x - 3| > 1$

Это неравенство распадается на два:

$x - 3 > 1$ или $x - 3 < -1$

$x > 4$ или $x < 2$

В этом случае показательная функция является возрастающей, поэтому для выполнения исходного неравенства показатель степени должен быть больше нуля:

$2x^2 - 7x > 0$

$x(2x - 7) > 0$

Решением этого квадратного неравенства являются интервалы $x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{7}{2}, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученных решений: $(x < 2 \text{ или } x > 4)$ и $(x < 0 \text{ или } x > \frac{7}{2})$.

Пересекая $(-\infty, 2) \cup (4, +\infty)$ с $(-\infty, 0) \cup (\frac{7}{2}, +\infty)$, получаем $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1.

$0 < |x - 3| < 1$

Неравенство $|x - 3| < 1$ равносильно двойному неравенству:

$-1 < x - 3 < 1$

$2 < x < 4$

Условие $|x - 3| > 0$ означает, что $x \ne 3$. Объединяя эти условия, получаем $x \in (2, 3) \cup (3, 4)$.

В этом случае показательная функция является убывающей, поэтому для выполнения исходного неравенства показатель степени должен быть меньше нуля:

$2x^2 - 7x < 0$

$x(2x - 7) < 0$

Решением этого квадратного неравенства является интервал $x \in (0, \frac{7}{2})$.

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \in (2, 3) \cup (3, 4)$ и $x \in (0, \frac{7}{2})$.

Пересекая $(2, 3) \cup (3, 4)$ с $(0, \frac{7}{2})$, получаем $x \in (2, 3) \cup (3, \frac{7}{2})$.

Объединение решений.

Окончательным решением является объединение решений из обоих случаев:

$\left((-\infty, 0) \cup (4, +\infty)\right) \cup \left((2, 3) \cup (3, \frac{7}{2})\right)$

Заметим, что случай $|x - 3| = 1$ (т.е. $x=2$ или $x=4$) не является решением, так как неравенство $1 > 1$ ложно.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (2, 3) \cup \left(3, \frac{7}{2}\right) \cup (4, +\infty)$.

1)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} |x+4| < 9, \\ \frac{5x-2}{x+6} > 1; \end{cases} $

Решим первое неравенство: $|x+4| < 9$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству: $ -9 < x+4 < 9 $
Вычтем 4 из всех частей неравенства: $ -9 - 4 < x < 9 - 4 $
$ -13 < x < 5 $
Решение первого неравенства: $x \in (-13, 5)$.

Решим второе неравенство: $\frac{5x-2}{x+6} > 1$.
Перенесем 1 в левую часть: $ \frac{5x-2}{x+6} - 1 > 0 $
Приведем к общему знаменателю: $ \frac{5x-2 - (x+6)}{x+6} > 0 $
$ \frac{5x-2-x-6}{x+6} > 0 $
$ \frac{4x-8}{x+6} > 0 $
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $ 4x-8=0 \implies x=2 $
$ x+6=0 \implies x=-6 $
Отметим точки -6 и 2 на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty, -6)$, $(-6, 2)$ и $(2, \infty)$.

• При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{4(3)-8}{3+6} = \frac{4}{9} > 0$. Интервал $(2, \infty)$ является решением.
• При $-6 < x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{4(0)-8}{0+6} = -\frac{8}{6} < 0$. Интервал $(-6, 2)$ не является решением.
• При $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{4(-7)-8}{-7+6} = \frac{-36}{-1} = 36 > 0$. Интервал $(-\infty, -6)$ является решением.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -6) \cup (2, \infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-13, 5)$ и $x \in (-\infty, -6) \cup (2, \infty)$.

Пересечение множеств $(-13, 5)$ и $(-\infty, -6)$ дает интервал $(-13, -6)$.
Пересечение множеств $(-13, 5)$ и $(2, \infty)$ дает интервал $(2, 5)$.
Объединив эти результаты, получаем решение системы.

Изобразим решение на числовой оси:

Ответ: $x \in (-13, -6) \cup (2, 5)$

2)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \left|\frac{x^2-1}{x+2}\right| < 1, \\ \frac{4}{x-2} < 0. \end{cases} $

Сначала решим второе, более простое неравенство: $\frac{4}{x-2} < 0$.
Так как числитель $4$ положителен, дробь будет отрицательной, если знаменатель отрицателен: $ x-2 < 0 $
$ x < 2 $
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 2)$.

Теперь решим первое неравенство: $\left|\frac{x^2-1}{x+2}\right| < 1$.
Это неравенство равносильно системе (или двойному неравенству): $ -1 < \frac{x^2-1}{x+2} < 1 $
Область допустимых значений: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
Разобьем двойное неравенство на два:

а) $\frac{x^2-1}{x+2} < 1$
$ \frac{x^2-1}{x+2} - 1 < 0 $
$ \frac{x^2-1-(x+2)}{x+2} < 0 $
$ \frac{x^2-x-3}{x+2} < 0 $
Найдем корни числителя $x^2-x-3=0$ по формуле: $x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4(1)(-3)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Корни знаменателя: $x=-2$. Точки $-2, \frac{1-\sqrt{13}}{2} \approx -1.3, \frac{1+\sqrt{13}}{2} \approx 2.3$ разбивают числовую ось. Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2) \cup (\frac{1-\sqrt{13}}{2}, \frac{1+\sqrt{13}}{2})$.

б) $\frac{x^2-1}{x+2} > -1$
$ \frac{x^2-1}{x+2} + 1 > 0 $
$ \frac{x^2-1+x+2}{x+2} > 0 $
$ \frac{x^2+x+1}{x+2} > 0 $
Дискриминант числителя $x^2+x+1$ равен $D = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, числитель всегда положителен ($x^2+x+1 > 0$ для всех $x$).
Следовательно, знак дроби зависит только от знаменателя: $ x+2 > 0 \implies x > -2 $.
Решение неравенства б): $x \in (-2, \infty)$.

Решением первого неравенства системы является пересечение решений а) и б):
$( (-\infty, -2) \cup (\frac{1-\sqrt{13}}{2}, \frac{1+\sqrt{13}}{2}) ) \cap (-2, \infty) = (\frac{1-\sqrt{13}}{2}, \frac{1+\sqrt{13}}{2})$.

Наконец, найдем пересечение решений всей системы:
Решение 1: $x \in (\frac{1-\sqrt{13}}{2}, \frac{1+\sqrt{13}}{2})$
Решение 2: $x \in (-\infty, 2)$
Приближенные значения: $\frac{1-\sqrt{13}}{2} \approx -1.3$ и $\frac{1+\sqrt{13}}{2} \approx 2.3$.
Нам нужно найти пересечение интервалов $(\frac{1-\sqrt{13}}{2}, \frac{1+\sqrt{13}}{2})$ и $(-\infty, 2)$.

Изобразим на числовой оси:

Пересечение этих множеств - это интервал от $\frac{1-\sqrt{13}}{2}$ до $2$.

Ответ: $x \in (\frac{1-\sqrt{13}}{2}, 2)$

1) Решим уравнение $x^4 + x^2 + 4|x^2 - x| = 2x^3 + 12$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения $x^2 - x$.

Случай 1: $x^2 - x \ge 0$. Это неравенство выполняется при $x(x-1) \ge 0$, то есть для $x \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$.

В этом случае $|x^2 - x| = x^2 - x$. Уравнение принимает вид:

$x^4 + x^2 + 4(x^2 - x) = 2x^3 + 12$

$x^4 + x^2 + 4x^2 - 4x - 2x^3 - 12 = 0$

$x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x - 12 = 0$

Будем искать целые корни среди делителей свободного члена -12: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.

Проверим $x = -1$:
$(-1)^4 - 2(-1)^3 + 5(-1)^2 - 4(-1) - 12 = 1 - 2(-1) + 5(1) + 4 - 12 = 1 + 2 + 5 + 4 - 12 = 0$.
Корень $x = -1$ подходит, так как $-1 \in (-\infty, 0]$.

Проверим $x = 2$:
$2^4 - 2(2)^3 + 5(2)^2 - 4(2) - 12 = 16 - 2(8) + 5(4) - 8 - 12 = 16 - 16 + 20 - 8 - 12 = 0$.
Корень $x = 2$ подходит, так как $2 \in [1, \infty)$.

Мы нашли два корня $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Разделим многочлен $x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x - 12$ на произведение $(x+1)(x-2) = x^2 - x - 2$.

Выполнив деление столбиком, получим: $(x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x - 12) : (x^2 - x - 2) = x^2 - x + 6$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде $(x+1)(x-2)(x^2 - x + 6) = 0$.

Осталось решить квадратное уравнение $x^2 - x + 6 = 0$.
Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$.
Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Случай 2: $x^2 - x < 0$. Это неравенство выполняется при $x(x-1) < 0$, то есть для $x \in (0, 1)$.

В этом случае $|x^2 - x| = -(x^2 - x) = x - x^2$. Уравнение принимает вид:

$x^4 + x^2 + 4(x - x^2) = 2x^3 + 12$

$x^4 + x^2 + 4x - 4x^2 - 2x^3 - 12 = 0$

$x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x - 12 = 0$

Рассмотрим левую часть $f(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x$ на интервале $(0, 1)$ и сравним ее с 12.

Для $x \in (0, 1)$ имеем $0 < x < 1$. Тогда $x^4 < 1$, $-2 < -2x^3 < 0$, $-3 < -3x^2 < 0$, $0 < 4x < 4$.
Суммируя эти значения, получим: $x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x < 1 + 0 + 0 + 4 = 5$.
Максимальное значение левой части на этом интервале строго меньше 5, следовательно, она не может быть равна 12. Таким образом, в этом случае корней нет.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем два корня.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 2$.

2) Решим уравнение $|x|^3 + |x-1|^3 = 9$.

Раскроем модули, рассмотрев три случая в зависимости от значения $x$.

Случай 1: $x < 0$.

В этом случае $|x| = -x$ и $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Уравнение принимает вид:

$(-x)^3 + (1-x)^3 = 9$

$-x^3 + (1 - 3x + 3x^2 - x^3) = 9$

$-2x^3 + 3x^2 - 3x + 1 - 9 = 0$

$2x^3 - 3x^2 + 3x + 8 = 0$

Проверим возможные целые корни среди отрицательных делителей числа 8. Подставим $x=-1$:

$2(-1)^3 - 3(-1)^2 + 3(-1) + 8 = -2 - 3 - 3 + 8 = 0$.

Корень $x = -1$ подходит, так как удовлетворяет условию $x < 0$.

Разделив многочлен $2x^3 - 3x^2 + 3x + 8$ на $(x+1)$, получим частное $2x^2 - 5x + 8$.

Решим квадратное уравнение $2x^2 - 5x + 8 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 25 - 64 = -39$.
Так как $D < 0$, других действительных корней в этом случае нет.

Случай 2: $0 \le x \le 1$.

В этом случае $|x| = x$ и $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Уравнение принимает вид:

$x^3 + (1-x)^3 = 9$

Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ или просто раскроем скобки:

$x^3 + 1 - 3x + 3x^2 - x^3 = 9$

$3x^2 - 3x + 1 = 9$

$3x^2 - 3x - 8 = 0$

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 9 + 96 = 105$.

Корни уравнения: $x = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{6}$.

Оценим значения корней: $10 < \sqrt{105} < 11$.
$x_1 = \frac{3 + \sqrt{105}}{6} > \frac{3+10}{6} = \frac{13}{6} \approx 2.17$. Этот корень не принадлежит отрезку $[0, 1]$.
$x_2 = \frac{3 - \sqrt{105}}{6} < \frac{3-10}{6} = -\frac{7}{6} \approx -1.17$. Этот корень также не принадлежит отрезку $[0, 1]$.
Следовательно, в этом случае корней нет.

Случай 3: $x > 1$.

В этом случае $|x| = x$ и $|x-1| = x-1$. Уравнение принимает вид:

$x^3 + (x-1)^3 = 9$

$x^3 + (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 9$

$2x^3 - 3x^2 + 3x - 10 = 0$

Проверим возможные целые корни среди делителей 10, которые больше 1. Подставим $x=2$:

$2(2)^3 - 3(2)^2 + 3(2) - 10 = 2(8) - 3(4) + 6 - 10 = 16 - 12 + 6 - 10 = 0$.

Корень $x = 2$ подходит, так как удовлетворяет условию $x > 1$.

Разделив многочлен $2x^3 - 3x^2 + 3x - 10$ на $(x-2)$, получим частное $2x^2 + x + 5$.

Решим квадратное уравнение $2x^2 + x + 5 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 1 - 40 = -39$.
Так как $D < 0$, других действительных корней в этом случае нет.

Объединяя результаты всех трех случаев, получаем два корня.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 2$.

1)

Исходное уравнение имеет вид $a^b = 1$. Такое уравнение может выполняться в трех случаях:

1. Основание $a = 1$.

2. Показатель степени $b = 0$, при этом основание $a \ne 0$.

3. Основание $a = -1$, при этом показатель степени $b$ — четное целое число.

В данном уравнении основание $a = |x-2|$ и показатель степени $b = 10x^2 - 3x - 1$.

Рассмотрим каждый случай:

Случай 1: Основание равно 1.

$|x-2| = 1$

Это уравнение распадается на два:

$x-2 = 1 \implies x = 3$

$x-2 = -1 \implies x = 1$

Оба значения являются корнями исходного уравнения.

Случай 2: Показатель степени равен 0, а основание не равно 0.

$10x^2 - 3x - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-1) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2 \cdot 10} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2 \cdot 10} = \frac{-4}{20} = -\frac{1}{5}$

Теперь нужно проверить, что при этих значениях $x$ основание $|x-2|$ не равно нулю. Основание равно нулю при $x=2$. Поскольку найденные корни $x=1/2$ и $x=-1/5$ не равны 2, оба они являются решениями исходного уравнения.

Случай 3: Основание равно -1.

$|x-2| = -1$

Это уравнение не имеет решений, так как модуль любого числа не может быть отрицательным.

Объединяя все найденные корни, получаем итоговый набор решений.

Ответ: $x \in \{-\frac{1}{5}; \frac{1}{2}; 1; 3\}$.

2)

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$3x - 1 > 0 \implies 3x > 1 \implies x > \frac{1}{3}$

$5 - 2x > 0 \implies 5 > 2x \implies x < \frac{5}{2}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{1}{3}; \frac{5}{2})$.

Преобразуем исходное уравнение, используя свойства логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$ и заменив $1$ на $\log_2 2$:

$|\log_2(3x-1) - \log_2 3| = |\log_2(5-2x) - \log_2 2|$

$|\log_2\left(\frac{3x-1}{3}\right)| = |\log_2\left(\frac{5-2x}{2}\right)|$

Уравнение вида $|A| = |B|$ равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ и $A = -B$.

Случай 1: Аргументы модулей равны.

$\log_2\left(\frac{3x-1}{3}\right) = \log_2\left(\frac{5-2x}{2}\right)$

Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:

$\frac{3x-1}{3} = \frac{5-2x}{2}$

$2(3x-1) = 3(5-2x)$

$6x-2 = 15 - 6x$

$12x = 17 \implies x = \frac{17}{12}$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ и $\frac{5}{2} = \frac{30}{12}$. Так как $\frac{4}{12} < \frac{17}{12} < \frac{30}{12}$, корень $x = \frac{17}{12}$ подходит.

Случай 2: Аргументы модулей противоположны.

$\log_2\left(\frac{3x-1}{3}\right) = -\log_2\left(\frac{5-2x}{2}\right)$

Используя свойство $-\log_a b = \log_a(\frac{1}{b})$, получаем:

$\log_2\left(\frac{3x-1}{3}\right) = \log_2\left(\frac{2}{5-2x}\right)$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$\frac{3x-1}{3} = \frac{2}{5-2x}$

$(3x-1)(5-2x) = 3 \cdot 2$

$15x - 6x^2 - 5 + 2x = 6$

$-6x^2 + 17x - 11 = 0$

$6x^2 - 17x + 11 = 0$

Решаем квадратное уравнение:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 11 = 289 - 264 = 25 = 5^2$

$x_1 = \frac{17 + 5}{12} = \frac{22}{12} = \frac{11}{6}$

$x_2 = \frac{17 - 5}{12} = \frac{12}{12} = 1$

Проверим оба корня на принадлежность ОДЗ $(\frac{1}{3}; \frac{5}{2})$.

Для $x_1 = \frac{11}{6}$: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ и $\frac{5}{2} = \frac{15}{6}$. Так как $\frac{2}{6} < \frac{11}{6} < \frac{15}{6}$, корень подходит.

Для $x_2 = 1$: $\frac{1}{3} < 1 < \frac{5}{2}$, корень подходит.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $x \in \{1; \frac{11}{6}; \frac{17}{12}\}$.

1)Рассмотрим систему уравнений:$$\begin{cases}|x + y| = 2 \\|x - 3| + |y + 3| = 2\end{cases}$$Первое уравнение $|x + y| = 2$ эквивалентно двум случаям: $x + y = 2$ или $x + y = -2$.
Второе уравнение $|x - 3| + |y + 3| = 2$ можно интерпретировать геометрически. Это уравнение задает множество точек $(x, y)$, сумма манхэттенских расстояний от которых до точек $(3, 0)$ и $(0, -3)$ равна 2. Графиком этого уравнения является квадрат с центром в точке $(3, -3)$ и вершинами в точках $(5, -3)$, $(3, -1)$, $(1, -3)$ и $(3, -5)$.
Для решения системы найдем пересечение графиков уравнений. Рассмотрим два случая, вытекающих из первого уравнения.

Случай 1: $x + y = 2$.
Это уравнение прямой. Найдем ее пересечение с графиком второго уравнения. Подставим $y = 2 - x$ во второе уравнение:
$|x - 3| + |(2 - x) + 3| = 2$
$|x - 3| + |5 - x| = 2$
$|x - 3| + |x - 5| = 2$
Это уравнение означает, что сумма расстояний от точки $x$ на числовой оси до точек 3 и 5 равна 2. Так как расстояние между точками 3 и 5 равно $|5 - 3| = 2$, равенство выполняется для любой точки $x$, находящейся на отрезке $[3, 5]$.
Следовательно, $3 \le x \le 5$. Соответствующие значения $y$ находятся из $y = 2 - x$. При $x \in [3, 5]$, $y$ изменяется от $2-3=-1$ до $2-5=-3$.
Таким образом, решением в этом случае является отрезок, соединяющий точки $(3, -1)$ и $(5, -3)$.

Случай 2: $x + y = -2$.
Это также уравнение прямой. Подставим $y = -2 - x$ во второе уравнение:
$|x - 3| + |(-2 - x) + 3| = 2$
$|x - 3| + |1 - x| = 2$
$|x - 3| + |x - 1| = 2$
Это уравнение означает, что сумма расстояний от точки $x$ до точек 1 и 3 равна 2. Расстояние между 1 и 3 равно $|3 - 1| = 2$, поэтому равенство выполняется для любого $x$ на отрезке $[1, 3]$.
Следовательно, $1 \le x \le 3$. Соответствующие значения $y$ находятся из $y = -2 - x$. При $x \in [1, 3]$, $y$ изменяется от $-2-1=-3$ до $-2-3=-5$.
Решением в этом случае является отрезок, соединяющий точки $(1, -3)$ и $(3, -5)$.

Эти два отрезка являются сторонами квадрата, заданного вторым уравнением.

Ответ: Решением является объединение двух множеств точек (отрезков):
1. Все точки $(x, y)$ такие, что $y = 2 - x$ при $x \in [3, 5]$.
2. Все точки $(x, y)$ такие, что $y = -2 - x$ при $x \in [1, 3]$.

2)Рассмотрим систему уравнений:$$\begin{cases}\cos x + \cos y = -\sqrt{3} \\|x + y| = \frac{\pi}{3}\end{cases}$$Из второго уравнения следует, что $x+y = \frac{\pi}{3}$ или $x+y = -\frac{\pi}{3}$.
Используем формулу суммы косинусов для первого уравнения: $\cos x + \cos y = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$.

Случай 1: $x+y = \frac{\pi}{3}$.
Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:
$2\cos\left(\frac{\pi/3}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = -\sqrt{3}$
$2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = -\sqrt{3}$
$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = -\sqrt{3}$
$\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = -1$
Это означает, что аргумент косинуса равен $\pi + 2\pi n$ для любого целого $n \in \mathbb{Z}$:
$\frac{x-y}{2} = \pi + 2\pi n$
$x-y = 2\pi + 4\pi n$
Теперь решим систему линейных уравнений для $x$ и $y$:$$\begin{cases}x+y = \frac{\pi}{3} \\x-y = 2\pi(1+2n)\end{cases}$$Складывая уравнения, получаем: $2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi + 4\pi n = \frac{7\pi}{3} + 4\pi n$, откуда $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.
Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $2y = \frac{\pi}{3} - (2\pi + 4\pi n) = -\frac{5\pi}{3} - 4\pi n$, откуда $y = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi n$.
Первая серия решений: $\left(\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, -\frac{5\pi}{6} - 2\pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $x+y = -\frac{\pi}{3}$.
Аналогично подставляем в формулу суммы косинусов:
$2\cos\left(\frac{-\pi/3}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = -\sqrt{3}$
$2\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = -\sqrt{3}$
$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = -\sqrt{3}$
$\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = -1$
$\frac{x-y}{2} = \pi + 2\pi k$ для любого целого $k \in \mathbb{Z}$
$x-y = 2\pi + 4\pi k$
Решаем систему:$$\begin{cases}x+y = -\frac{\pi}{3} \\x-y = 2\pi(1+2k)\end{cases}$$Складывая уравнения: $2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi + 4\pi k = \frac{5\pi}{3} + 4\pi k$, откуда $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.
Вычитая второе из первого: $2y = -\frac{\pi}{3} - (2\pi + 4\pi k) = -\frac{7\pi}{3} - 4\pi k$, откуда $y = -\frac{7\pi}{6} - 2\pi k$.
Вторая серия решений: $\left(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, -\frac{7\pi}{6} - 2\pi k\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Решениями системы являются две серии пар $(x, y)$ для любых целых $n, k \in \mathbb{Z}$:
1. $\left( \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, -\frac{5\pi}{6} - 2\pi n \right)$
2. $\left( \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, -\frac{7\pi}{6} - 2\pi k \right)$

1)

Исходное неравенство: $|2^{4x^2-1} - 5| \le 3$.

Неравенство с модулем вида $|A| \le B$ равносильно двойному неравенству $-B \le A \le B$.

Применим это правило:

$-3 \le 2^{4x^2-1} - 5 \le 3$

Прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$-3 + 5 \le 2^{4x^2-1} \le 3 + 5$

$2 \le 2^{4x^2-1} \le 8$

Представим числа 2 и 8 в виде степеней с основанием 2:

$2^1 \le 2^{4x^2-1} \le 2^3$

Так как основание степени (2) больше 1, то для показателей степени неравенство сохраняет свой знак:

$1 \le 4x^2 - 1 \le 3$

Снова решаем двойное неравенство. Прибавим 1 ко всем частям:

$1 + 1 \le 4x^2 \le 3 + 1$

$2 \le 4x^2 \le 4$

Разделим все части на 4:

$\frac{2}{4} \le x^2 \le \frac{4}{4}$

$\frac{1}{2} \le x^2 \le 1$

Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 \ge \frac{1}{2} \\ x^2 \le 1 \end{cases}$

Решением первого неравенства $x^2 \ge \frac{1}{2}$ является объединение интервалов $x \in (-\infty, -\sqrt{\frac{1}{2}}] \cup [\sqrt{\frac{1}{2}}, \infty)$, что равносильно $x \in (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$.

Решением второго неравенства $x^2 \le 1$ является интервал $x \in [-1, 1]$.

Для получения окончательного ответа найдем пересечение этих решений:

$(-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty) \cap [-1, 1]$

Результатом пересечения является объединение двух интервалов: $[-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$.

Ответ: $x \in [-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$.

2)

Исходное неравенство: $\log_{0.25} |\frac{2x+1}{x+3} + \frac{1}{2}| > \frac{1}{2}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. Так как выражение находится под знаком модуля, оно всегда неотрицательно. Нам нужно лишь исключить случаи, когда аргумент равен нулю или не определен.

Выражение не определено, если знаменатель $x+3=0$, то есть $x \ne -3$.

Найдем, когда выражение под модулем равно нулю. Сначала упростим его:

$\frac{2x+1}{x+3} + \frac{1}{2} = \frac{2(2x+1) + 1(x+3)}{2(x+3)} = \frac{4x+2+x+3}{2(x+3)} = \frac{5x+5}{2(x+3)} = \frac{5(x+1)}{2(x+3)}$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю: $5(x+1)=0 \implies x=-1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \ne -3$ и $x \ne -1$.

Перейдем к решению неравенства. Подставим упрощенное выражение:

$\log_{0.25} |\frac{5(x+1)}{2(x+3)}| > \frac{1}{2}$

Основание логарифма $0.25$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому при избавлении от логарифма знак неравенства меняется на противоположный:

$|\frac{5(x+1)}{2(x+3)}| < (0.25)^{\frac{1}{2}}$

$|\frac{5(x+1)}{2(x+3)}| < \sqrt{0.25}$

$|\frac{5(x+1)}{2(x+3)}| < 0.5$, что то же самое, что и $|\frac{5(x+1)}{2(x+3)}| < \frac{1}{2}$.

Неравенство вида $|A| < B$ равносильно двойному неравенству $-B < A < B$:

$-\frac{1}{2} < \frac{5(x+1)}{2(x+3)} < \frac{1}{2}$

Умножим все части на 2:

$-1 < \frac{5(x+1)}{x+3} < 1$

Это двойное неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} \frac{5(x+1)}{x+3} < 1 \\ \frac{5(x+1)}{x+3} > -1 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $\frac{5x+5}{x+3} - 1 < 0 \implies \frac{5x+5 - (x+3)}{x+3} < 0 \implies \frac{4x+2}{x+3} < 0 \implies \frac{2(2x+1)}{x+3} < 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-3, -1/2)$.

Решим второе неравенство: $\frac{5x+5}{x+3} + 1 > 0 \implies \frac{5x+5 + x+3}{x+3} > 0 \implies \frac{6x+8}{x+3} > 0 \implies \frac{2(3x+4)}{x+3} > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -3) \cup (-4/3, \infty)$.

Найдем пересечение решений системы: $(-3, -1/2) \cap ((-\infty, -3) \cup (-4/3, \infty))$. Пересечением является интервал $(-4/3, -1/2)$.

Теперь учтем ОДЗ ($x \ne -3$ и $x \ne -1$). Точка $x=-3$ не входит в найденный интервал. Точка $x=-1$ входит в интервал $(-4/3, -1/2)$, поэтому ее необходимо исключить из решения.

Итоговое решение: $x \in (-4/3, -1) \cup (-1, -1/2)$.

Ответ: $x \in (-\frac{4}{3}, -1) \cup (-1, -\frac{1}{2})$.

1)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $x^2 + 5x < 6$.

Перенесем все члены в левую часть: $x^2 + 5x - 6 < 0$.

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$.

Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -6$ и $x_2 = 1$.

Графиком функции $y = x^2 + 5x - 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции меньше нуля между корнями.

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-6, 1)$.

Второе неравенство: $x + 1 \le 1$.

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$x \le 1 - 1$

$x \le 0$

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 0]$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти общие значения для интервалов $x \in (-6, 1)$ и $x \in (-\infty, 0]$.

Пересечением этих двух множеств является интервал $(-6, 0]$.

Ответ: $x \in (-6, 0]$

2)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $|x^2 - 4x| < 5$.

Неравенство с модулем вида $|a| < b$ (где $b>0$) равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.

Таким образом, $|x^2 - 4x| < 5$ равносильно $-5 < x^2 - 4x < 5$.

Это двойное неравенство можно разбить на систему из двух неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 4x < 5 \\ x^2 - 4x > -5 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 - 4x - 5 < 0 \\ x^2 - 4x + 5 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство системы: $x^2 - 4x - 5 < 0$.

Корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in (-1, 5)$.

Решим второе неравенство системы: $x^2 - 4x + 5 > 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), выражение $x^2 - 4x + 5$ всегда положительно для любого действительного значения $x$. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Решением системы $ \begin{cases} x \in (-1, 5) \\ x \in (-\infty, +\infty) \end{cases} $ является пересечение этих интервалов, то есть $x \in (-1, 5)$.

Второе неравенство: $|x + 1| < 3$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-3 < x + 1 < 3$.

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-3 - 1 < x < 3 - 1$

$-4 < x < 2$

Решение второго неравенства: $x \in (-4, 2)$.

Наконец, найдем пересечение решений обоих неравенств системы: $x \in (-1, 5)$ и $x \in (-4, 2)$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(-1, 2)$.

Ответ: $x \in (-1, 2)$