Номер 378, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)Рассмотрим систему уравнений:$$\begin{cases}|x + y| = 2 \\|x - 3| + |y + 3| = 2\end{cases}$$Первое уравнение $|x + y| = 2$ эквивалентно двум случаям: $x + y = 2$ или $x + y = -2$.
Второе уравнение $|x - 3| + |y + 3| = 2$ можно интерпретировать геометрически. Это уравнение задает множество точек $(x, y)$, сумма манхэттенских расстояний от которых до точек $(3, 0)$ и $(0, -3)$ равна 2. Графиком этого уравнения является квадрат с центром в точке $(3, -3)$ и вершинами в точках $(5, -3)$, $(3, -1)$, $(1, -3)$ и $(3, -5)$.
Для решения системы найдем пересечение графиков уравнений. Рассмотрим два случая, вытекающих из первого уравнения.

Случай 1: $x + y = 2$.
Это уравнение прямой. Найдем ее пересечение с графиком второго уравнения. Подставим $y = 2 - x$ во второе уравнение:
$|x - 3| + |(2 - x) + 3| = 2$
$|x - 3| + |5 - x| = 2$
$|x - 3| + |x - 5| = 2$
Это уравнение означает, что сумма расстояний от точки $x$ на числовой оси до точек 3 и 5 равна 2. Так как расстояние между точками 3 и 5 равно $|5 - 3| = 2$, равенство выполняется для любой точки $x$, находящейся на отрезке $[3, 5]$.
Следовательно, $3 \le x \le 5$. Соответствующие значения $y$ находятся из $y = 2 - x$. При $x \in [3, 5]$, $y$ изменяется от $2-3=-1$ до $2-5=-3$.
Таким образом, решением в этом случае является отрезок, соединяющий точки $(3, -1)$ и $(5, -3)$.

Случай 2: $x + y = -2$.
Это также уравнение прямой. Подставим $y = -2 - x$ во второе уравнение:
$|x - 3| + |(-2 - x) + 3| = 2$
$|x - 3| + |1 - x| = 2$
$|x - 3| + |x - 1| = 2$
Это уравнение означает, что сумма расстояний от точки $x$ до точек 1 и 3 равна 2. Расстояние между 1 и 3 равно $|3 - 1| = 2$, поэтому равенство выполняется для любого $x$ на отрезке $[1, 3]$.
Следовательно, $1 \le x \le 3$. Соответствующие значения $y$ находятся из $y = -2 - x$. При $x \in [1, 3]$, $y$ изменяется от $-2-1=-3$ до $-2-3=-5$.
Решением в этом случае является отрезок, соединяющий точки $(1, -3)$ и $(3, -5)$.

Эти два отрезка являются сторонами квадрата, заданного вторым уравнением.

Ответ: Решением является объединение двух множеств точек (отрезков):
1. Все точки $(x, y)$ такие, что $y = 2 - x$ при $x \in [3, 5]$.
2. Все точки $(x, y)$ такие, что $y = -2 - x$ при $x \in [1, 3]$.

2)Рассмотрим систему уравнений:$$\begin{cases}\cos x + \cos y = -\sqrt{3} \\|x + y| = \frac{\pi}{3}\end{cases}$$Из второго уравнения следует, что $x+y = \frac{\pi}{3}$ или $x+y = -\frac{\pi}{3}$.
Используем формулу суммы косинусов для первого уравнения: $\cos x + \cos y = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$.

Случай 1: $x+y = \frac{\pi}{3}$.
Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:
$2\cos\left(\frac{\pi/3}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = -\sqrt{3}$
$2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = -\sqrt{3}$
$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = -\sqrt{3}$
$\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = -1$
Это означает, что аргумент косинуса равен $\pi + 2\pi n$ для любого целого $n \in \mathbb{Z}$:
$\frac{x-y}{2} = \pi + 2\pi n$
$x-y = 2\pi + 4\pi n$
Теперь решим систему линейных уравнений для $x$ и $y$:$$\begin{cases}x+y = \frac{\pi}{3} \\x-y = 2\pi(1+2n)\end{cases}$$Складывая уравнения, получаем: $2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi + 4\pi n = \frac{7\pi}{3} + 4\pi n$, откуда $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.
Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $2y = \frac{\pi}{3} - (2\pi + 4\pi n) = -\frac{5\pi}{3} - 4\pi n$, откуда $y = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi n$.
Первая серия решений: $\left(\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, -\frac{5\pi}{6} - 2\pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $x+y = -\frac{\pi}{3}$.
Аналогично подставляем в формулу суммы косинусов:
$2\cos\left(\frac{-\pi/3}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = -\sqrt{3}$
$2\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = -\sqrt{3}$
$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = -\sqrt{3}$
$\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = -1$
$\frac{x-y}{2} = \pi + 2\pi k$ для любого целого $k \in \mathbb{Z}$
$x-y = 2\pi + 4\pi k$
Решаем систему:$$\begin{cases}x+y = -\frac{\pi}{3} \\x-y = 2\pi(1+2k)\end{cases}$$Складывая уравнения: $2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi + 4\pi k = \frac{5\pi}{3} + 4\pi k$, откуда $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.
Вычитая второе из первого: $2y = -\frac{\pi}{3} - (2\pi + 4\pi k) = -\frac{7\pi}{3} - 4\pi k$, откуда $y = -\frac{7\pi}{6} - 2\pi k$.
Вторая серия решений: $\left(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, -\frac{7\pi}{6} - 2\pi k\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Решениями системы являются две серии пар $(x, y)$ для любых целых $n, k \in \mathbb{Z}$:
1. $\left( \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, -\frac{5\pi}{6} - 2\pi n \right)$
2. $\left( \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, -\frac{7\pi}{6} - 2\pi k \right)$