Номер 374, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Решим логарифмическое неравенство $\log_{\frac{3}{10}} |2x + 1| > 1$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$|2x + 1| > 0$

Модуль числа всегда неотрицателен. Он равен нулю, только если выражение под модулем равно нулю. Поэтому мы должны исключить этот случай:

$2x + 1 \ne 0$

$2x \ne -1$

$x \ne -\frac{1}{2}$

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием:

$1 = \log_{\frac{3}{10}} \left(\frac{3}{10}\right)$

Неравенство принимает вид:

$\log_{\frac{3}{10}} |2x + 1| > \log_{\frac{3}{10}} \left(\frac{3}{10}\right)$

Основание логарифма $a = \frac{3}{10}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$|2x + 1| < \frac{3}{10}$

Это неравенство с модулем равносильно двойному неравенству:

$-\frac{3}{10} < 2x + 1 < \frac{3}{10}$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-\frac{3}{10} - 1 < 2x < \frac{3}{10} - 1$

$-\frac{3}{10} - \frac{10}{10} < 2x < \frac{3}{10} - \frac{10}{10}$

$-\frac{13}{10} < 2x < -\frac{7}{10}$

Разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{13}{20} < x < -\frac{7}{20}$

Полученное решение $x \in \left(-\frac{13}{20}, -\frac{7}{20}\right)$ нужно совместить с ОДЗ ($x \ne -\frac{1}{2}$).

Поскольку $-\frac{1}{2} = -\frac{10}{20}$, и это значение находится внутри интервала $\left(-\frac{13}{20}, -\frac{7}{20}\right)$, мы должны исключить эту точку из решения. Таким образом, окончательное решение является объединением двух интервалов.

Ответ: $x \in \left(-\frac{13}{20}, -\frac{1}{2}\right) \cup \left(-\frac{1}{2}, -\frac{7}{20}\right)$.

2) Решим показательное неравенство $|x - 3|^{2x^2 - 7x} > 1$.

Решение этого неравенства зависит от значения основания степени $|x - 3|$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1.

$|x - 3| > 1$

Это неравенство распадается на два:

$x - 3 > 1$ или $x - 3 < -1$

$x > 4$ или $x < 2$

В этом случае показательная функция является возрастающей, поэтому для выполнения исходного неравенства показатель степени должен быть больше нуля:

$2x^2 - 7x > 0$

$x(2x - 7) > 0$

Решением этого квадратного неравенства являются интервалы $x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{7}{2}, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученных решений: $(x < 2 \text{ или } x > 4)$ и $(x < 0 \text{ или } x > \frac{7}{2})$.

Пересекая $(-\infty, 2) \cup (4, +\infty)$ с $(-\infty, 0) \cup (\frac{7}{2}, +\infty)$, получаем $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1.

$0 < |x - 3| < 1$

Неравенство $|x - 3| < 1$ равносильно двойному неравенству:

$-1 < x - 3 < 1$

$2 < x < 4$

Условие $|x - 3| > 0$ означает, что $x \ne 3$. Объединяя эти условия, получаем $x \in (2, 3) \cup (3, 4)$.

В этом случае показательная функция является убывающей, поэтому для выполнения исходного неравенства показатель степени должен быть меньше нуля:

$2x^2 - 7x < 0$

$x(2x - 7) < 0$

Решением этого квадратного неравенства является интервал $x \in (0, \frac{7}{2})$.

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \in (2, 3) \cup (3, 4)$ и $x \in (0, \frac{7}{2})$.

Пересекая $(2, 3) \cup (3, 4)$ с $(0, \frac{7}{2})$, получаем $x \in (2, 3) \cup (3, \frac{7}{2})$.

Объединение решений.

Окончательным решением является объединение решений из обоих случаев:

$\left((-\infty, 0) \cup (4, +\infty)\right) \cup \left((2, 3) \cup (3, \frac{7}{2})\right)$

Заметим, что случай $|x - 3| = 1$ (т.е. $x=2$ или $x=4$) не является решением, так как неравенство $1 > 1$ ложно.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (2, 3) \cup \left(3, \frac{7}{2}\right) \cup (4, +\infty)$.