Номер 376, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Решим уравнение $x^4 + x^2 + 4|x^2 - x| = 2x^3 + 12$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения $x^2 - x$.

Случай 1: $x^2 - x \ge 0$. Это неравенство выполняется при $x(x-1) \ge 0$, то есть для $x \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$.

В этом случае $|x^2 - x| = x^2 - x$. Уравнение принимает вид:

$x^4 + x^2 + 4(x^2 - x) = 2x^3 + 12$

$x^4 + x^2 + 4x^2 - 4x - 2x^3 - 12 = 0$

$x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x - 12 = 0$

Будем искать целые корни среди делителей свободного члена -12: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.

Проверим $x = -1$:
$(-1)^4 - 2(-1)^3 + 5(-1)^2 - 4(-1) - 12 = 1 - 2(-1) + 5(1) + 4 - 12 = 1 + 2 + 5 + 4 - 12 = 0$.
Корень $x = -1$ подходит, так как $-1 \in (-\infty, 0]$.

Проверим $x = 2$:
$2^4 - 2(2)^3 + 5(2)^2 - 4(2) - 12 = 16 - 2(8) + 5(4) - 8 - 12 = 16 - 16 + 20 - 8 - 12 = 0$.
Корень $x = 2$ подходит, так как $2 \in [1, \infty)$.

Мы нашли два корня $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Разделим многочлен $x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x - 12$ на произведение $(x+1)(x-2) = x^2 - x - 2$.

Выполнив деление столбиком, получим: $(x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x - 12) : (x^2 - x - 2) = x^2 - x + 6$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде $(x+1)(x-2)(x^2 - x + 6) = 0$.

Осталось решить квадратное уравнение $x^2 - x + 6 = 0$.
Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$.
Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Случай 2: $x^2 - x < 0$. Это неравенство выполняется при $x(x-1) < 0$, то есть для $x \in (0, 1)$.

В этом случае $|x^2 - x| = -(x^2 - x) = x - x^2$. Уравнение принимает вид:

$x^4 + x^2 + 4(x - x^2) = 2x^3 + 12$

$x^4 + x^2 + 4x - 4x^2 - 2x^3 - 12 = 0$

$x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x - 12 = 0$

Рассмотрим левую часть $f(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x$ на интервале $(0, 1)$ и сравним ее с 12.

Для $x \in (0, 1)$ имеем $0 < x < 1$. Тогда $x^4 < 1$, $-2 < -2x^3 < 0$, $-3 < -3x^2 < 0$, $0 < 4x < 4$.
Суммируя эти значения, получим: $x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x < 1 + 0 + 0 + 4 = 5$.
Максимальное значение левой части на этом интервале строго меньше 5, следовательно, она не может быть равна 12. Таким образом, в этом случае корней нет.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем два корня.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 2$.

2) Решим уравнение $|x|^3 + |x-1|^3 = 9$.

Раскроем модули, рассмотрев три случая в зависимости от значения $x$.

Случай 1: $x < 0$.

В этом случае $|x| = -x$ и $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Уравнение принимает вид:

$(-x)^3 + (1-x)^3 = 9$

$-x^3 + (1 - 3x + 3x^2 - x^3) = 9$

$-2x^3 + 3x^2 - 3x + 1 - 9 = 0$

$2x^3 - 3x^2 + 3x + 8 = 0$

Проверим возможные целые корни среди отрицательных делителей числа 8. Подставим $x=-1$:

$2(-1)^3 - 3(-1)^2 + 3(-1) + 8 = -2 - 3 - 3 + 8 = 0$.

Корень $x = -1$ подходит, так как удовлетворяет условию $x < 0$.

Разделив многочлен $2x^3 - 3x^2 + 3x + 8$ на $(x+1)$, получим частное $2x^2 - 5x + 8$.

Решим квадратное уравнение $2x^2 - 5x + 8 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 25 - 64 = -39$.
Так как $D < 0$, других действительных корней в этом случае нет.

Случай 2: $0 \le x \le 1$.

В этом случае $|x| = x$ и $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Уравнение принимает вид:

$x^3 + (1-x)^3 = 9$

Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ или просто раскроем скобки:

$x^3 + 1 - 3x + 3x^2 - x^3 = 9$

$3x^2 - 3x + 1 = 9$

$3x^2 - 3x - 8 = 0$

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 9 + 96 = 105$.

Корни уравнения: $x = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{6}$.

Оценим значения корней: $10 < \sqrt{105} < 11$.
$x_1 = \frac{3 + \sqrt{105}}{6} > \frac{3+10}{6} = \frac{13}{6} \approx 2.17$. Этот корень не принадлежит отрезку $[0, 1]$.
$x_2 = \frac{3 - \sqrt{105}}{6} < \frac{3-10}{6} = -\frac{7}{6} \approx -1.17$. Этот корень также не принадлежит отрезку $[0, 1]$.
Следовательно, в этом случае корней нет.

Случай 3: $x > 1$.

В этом случае $|x| = x$ и $|x-1| = x-1$. Уравнение принимает вид:

$x^3 + (x-1)^3 = 9$

$x^3 + (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 9$

$2x^3 - 3x^2 + 3x - 10 = 0$

Проверим возможные целые корни среди делителей 10, которые больше 1. Подставим $x=2$:

$2(2)^3 - 3(2)^2 + 3(2) - 10 = 2(8) - 3(4) + 6 - 10 = 16 - 12 + 6 - 10 = 0$.

Корень $x = 2$ подходит, так как удовлетворяет условию $x > 1$.

Разделив многочлен $2x^3 - 3x^2 + 3x - 10$ на $(x-2)$, получим частное $2x^2 + x + 5$.

Решим квадратное уравнение $2x^2 + x + 5 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 1 - 40 = -39$.
Так как $D < 0$, других действительных корней в этом случае нет.

Объединяя результаты всех трех случаев, получаем два корня.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 2$.