Номер 373, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Решим неравенство $|x + 3| + |x - 1| + |x - 3| < 10$.
Для решения этого типа неравенств с несколькими модулями применяется метод интервалов. Сначала найдем точки, в которых выражения под знаком модуля равны нулю. Эти точки разделят числовую ось на интервалы.
$x + 3 = 0 \implies x = -3$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$x - 3 = 0 \implies x = 3$
Получаем четыре интервала для рассмотрения: $(-\infty; -3)$, $[-3; 1)$, $[1; 3)$ и $[3; +\infty)$.

1. При $x \in (-\infty; -3)$ (или $x < -3$):
Все выражения под модулями отрицательны: $x+3 < 0$, $x-1 < 0$, $x-3 < 0$.
Раскрываем модули, меняя знак:
$-(x + 3) - (x - 1) - (x - 3) < 10$
$-x - 3 - x + 1 - x + 3 < 10$
$-3x + 1 < 10$
$-3x < 9$
$x > -3$
Решение $x > -3$ не пересекается с интервалом $x < -3$, поэтому на этом интервале решений нет.

2. При $x \in [-3; 1)$:
$x+3 \ge 0$, $x-1 < 0$, $x-3 < 0$.
Раскрываем модули:
$(x + 3) - (x - 1) - (x - 3) < 10$
$x + 3 - x + 1 - x + 3 < 10$
$-x + 7 < 10$
$-x < 3$
$x > -3$
Пересечение решения $x > -3$ с интервалом $[-3; 1)$ дает нам интервал $(-3; 1)$.

3. При $x \in [1; 3)$:
$x+3 > 0$, $x-1 \ge 0$, $x-3 < 0$.
Раскрываем модули:
$(x + 3) + (x - 1) - (x - 3) < 10$
$x + 3 + x - 1 - x + 3 < 10$
$x + 5 < 10$
$x < 5$
Пересечение решения $x < 5$ с интервалом $[1; 3)$ дает нам интервал $[1; 3)$.

4. При $x \in [3; +\infty)$:
Все выражения под модулями неотрицательны: $x+3 > 0$, $x-1 > 0$, $x-3 \ge 0$.
Раскрываем модули:
$(x + 3) + (x - 1) + (x - 3) < 10$
$3x - 1 < 10$
$3x < 11$
$x < \frac{11}{3}$
Пересечение решения $x < \frac{11}{3}$ с интервалом $[3; +\infty)$ дает нам интервал $[3; \frac{11}{3})$.

Теперь объединим все найденные решения:
$(-3; 1) \cup [1; 3) \cup [3; \frac{11}{3}) = (-3; \frac{11}{3})$.
Ответ: $(-3; \frac{11}{3})$.

2) Решим неравенство $|\frac{3x + 1}{x - 3}| < 3$.
Данное неравенство имеет вид $|A| < B$, где $B > 0$. Оно равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.
$-3 < \frac{3x + 1}{x - 3} < 3$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $x - 3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.
Поскольку обе части исходного неравенства $|\frac{3x + 1}{x - 3}| < 3$ неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, чтобы избавиться от знака модуля:
$(\frac{3x + 1}{x - 3})^2 < 3^2$
$\frac{(3x + 1)^2}{(x - 3)^2} < 9$
Перенесем 9 в левую часть:
$\frac{(3x + 1)^2}{(x - 3)^2} - 9 < 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{(3x + 1)^2 - 9(x - 3)^2}{(x - 3)^2} < 0$
Знаменатель $(x - 3)^2$ всегда положителен при $x \neq 3$. Следовательно, знак всей дроби зависит только от знака числителя:
$(3x + 1)^2 - 9(x - 3)^2 < 0$
Представим $9(x-3)^2$ как $(3(x-3))^2$ и воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(3x + 1)^2 - (3x - 9)^2 < 0$
$((3x + 1) - (3x - 9)) \cdot ((3x + 1) + (3x - 9)) < 0$
$(3x + 1 - 3x + 9) \cdot (3x + 1 + 3x - 9) < 0$
$(10) \cdot (6x - 8) < 0$
$6x - 8 < 0$
$6x < 8$
$x < \frac{8}{6}$
$x < \frac{4}{3}$
Полученное решение удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 3$).
Ответ: $(-\infty; \frac{4}{3})$.