Номер 368, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $|3x + 1| < 4$

Неравенство вида $|f(x)| < a$ (где $a>0$) равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

Применим это правило к нашему неравенству:

$-4 < 3x + 1 < 4$

Вычтем 1 из всех частей неравенства, чтобы выделить слагаемое с $x$:

$-4 - 1 < 3x < 4 - 1$

$-5 < 3x < 3$

Теперь разделим все части неравенства на 3:

$-\frac{5}{3} < x < 1$

Таким образом, решение неравенства представляет собой интервал от $-\frac{5}{3}$ до $1$.

Ответ: $(-\frac{5}{3}; 1)$

2) $|5 - 2x| > 1$

Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a>0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

В данном случае получаем совокупность:

$5 - 2x > 1$ или $5 - 2x < -1$

Решим первое неравенство:

$5 - 2x > 1$

$-2x > 1 - 5$

$-2x > -4$

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 2$

Решим второе неравенство:

$5 - 2x < -1$

$-2x < -1 - 5$

$-2x < -6$

$x > 3$

Объединяя решения, получаем, что $x$ должен быть меньше 2 или больше 3.

Ответ: $(-\infty; 2) \cup (3; \infty)$

3) $|2x - 5| \geq x - 1$

Для решения этого неравенства раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака подмодульного выражения.

Случай 1: Подмодульное выражение неотрицательно, то есть $2x - 5 \geq 0$, что эквивалентно $x \geq 2.5$.

В этом случае $|2x - 5| = 2x - 5$. Неравенство принимает вид:

$2x - 5 \geq x - 1$

$2x - x \geq 5 - 1$

$x \geq 4$

Решение $x \geq 4$ удовлетворяет условию $x \geq 2.5$. Следовательно, $x \in [4; \infty)$ является частью решения.

Случай 2: Подмодульное выражение отрицательно, то есть $2x - 5 < 0$, что эквивалентно $x < 2.5$.

В этом случае $|2x - 5| = -(2x - 5) = 5 - 2x$. Неравенство принимает вид:

$5 - 2x \geq x - 1$

$5 + 1 \geq x + 2x$

$6 \geq 3x$

$2 \geq x$, или $x \leq 2$.

Решение $x \leq 2$ удовлетворяет условию $x < 2.5$. Следовательно, $x \in (-\infty; 2]$ является второй частью решения.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $(-\infty; 2] \cup [4; \infty)$

4) $|x| + |x + 3| < 5$

Для решения этого неравенства применим метод интервалов. Найдем точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль: $x=0$ и $x+3=0 \implies x=-3$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала, на каждом из которых мы раскроем модули.

Интервал 1: $x < -3$.

На этом интервале $x < 0$ и $x+3 < 0$, поэтому $|x| = -x$ и $|x+3| = -(x+3) = -x-3$.

Неравенство принимает вид: $-x + (-x - 3) < 5$

$-2x - 3 < 5 \implies -2x < 8 \implies x > -4$.

С учетом условия $x < -3$, получаем решение для этого интервала: $-4 < x < -3$.

Интервал 2: $-3 \leq x < 0$.

На этом интервале $x < 0$ и $x+3 \geq 0$, поэтому $|x| = -x$ и $|x+3| = x+3$.

Неравенство принимает вид: $-x + (x + 3) < 5$

$3 < 5$.

Это верное числовое неравенство, значит, все значения $x$ из этого интервала $[-3; 0)$ являются решением.

Интервал 3: $x \geq 0$.

На этом интервале $x \geq 0$ и $x+3 > 0$, поэтому $|x| = x$ и $|x+3| = x+3$.

Неравенство принимает вид: $x + (x + 3) < 5$

$2x + 3 < 5 \implies 2x < 2 \implies x < 1$.

С учетом условия $x \geq 0$, получаем решение для этого интервала: $0 \leq x < 1$.

Объединим все найденные решения: $(-4; -3) \cup [-3; 0) \cup [0; 1)$. Это объединение дает один сплошной интервал.

Ответ: $(-4; 1)$