Номер 371, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $|x^2 - 4| - |9 - x^2| = 5$

Воспользуемся свойством модуля $|a| = |-a|$, чтобы упростить второе слагаемое: $|9 - x^2| = |-(x^2 - 9)| = |x^2 - 9|$.

Исходное уравнение принимает вид:

$|x^2 - 4| - |x^2 - 9| = 5$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $y \ge 0$.

Получаем уравнение с новой переменной:

$|y - 4| - |y - 9| = 5$

Решим это уравнение методом интервалов. Нули подмодульных выражений: $y = 4$ и $y = 9$. Они разбивают числовую прямую (с учетом условия $y \ge 0$) на три промежутка: $[0, 4)$, $[4, 9)$ и $[9, \infty)$.

Случай 1: $y \in [0, 4)$, то есть $0 \le y < 4$.
На этом промежутке $y - 4 < 0$ и $y - 9 < 0$.
Следовательно, $|y - 4| = -(y - 4) = 4 - y$ и $|y - 9| = -(y - 9) = 9 - y$.
Уравнение принимает вид:
$(4 - y) - (9 - y) = 5$
$4 - y - 9 + y = 5$
$-5 = 5$
Получено неверное равенство, следовательно, на этом промежутке решений нет.

Случай 2: $y \in [4, 9)$, то есть $4 \le y < 9$.
На этом промежутке $y - 4 \ge 0$ и $y - 9 < 0$.
Следовательно, $|y - 4| = y - 4$ и $|y - 9| = -(y - 9) = 9 - y$.
Уравнение принимает вид:
$(y - 4) - (9 - y) = 5$
$y - 4 - 9 + y = 5$
$2y - 13 = 5$
$2y = 18$
$y = 9$
Полученное значение $y=9$ не принадлежит рассматриваемому интервалу $[4, 9)$. Решений нет.

Случай 3: $y \in [9, \infty)$, то есть $y \ge 9$.
На этом промежутке $y - 4 > 0$ и $y - 9 \ge 0$.
Следовательно, $|y - 4| = y - 4$ и $|y - 9| = y - 9$.
Уравнение принимает вид:
$(y - 4) - (y - 9) = 5$
$y - 4 - y + 9 = 5$
$5 = 5$
Получено верное тождество, следовательно, все значения $y$ из этого промежутка являются решениями уравнения. То есть, $y \ge 9$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.
Мы нашли, что $y \ge 9$. Так как $y = x^2$, получаем неравенство:
$x^2 \ge 9$
$x^2 - 9 \ge 0$
$(x - 3)(x + 3) \ge 0$
Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \le -3$ и $x \ge 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

2) $3^x + 9 - |9 - 3^x| = |x - 6| + x$

Рассмотрим левую часть уравнения и раскроем модуль $|9 - 3^x|$, в зависимости от знака подмодульного выражения.

Случай 1: Если $9 - 3^x \ge 0$, то есть $3^x \le 9$, что эквивалентно $x \le 2$.
В этом случае $|9 - 3^x| = 9 - 3^x$.
Левая часть уравнения становится: $3^x + 9 - (9 - 3^x) = 3^x + 9 - 9 + 3^x = 2 \cdot 3^x$.
При условии $x \le 2$ исходное уравнение принимает вид:
$2 \cdot 3^x = |x - 6| + x$
Так как $x \le 2$, то $x-6$ всегда отрицательно, значит $|x - 6| = -(x - 6) = 6 - x$.
Подставляем:
$2 \cdot 3^x = (6 - x) + x$
$2 \cdot 3^x = 6$
$3^x = 3$
$x = 1$
Корень $x=1$ удовлетворяет условию $x \le 2$, следовательно, является решением.

Случай 2: Если $9 - 3^x < 0$, то есть $3^x > 9$, что эквивалентно $x > 2$.
В этом случае $|9 - 3^x| = -(9 - 3^x) = 3^x - 9$.
Левая часть уравнения становится: $3^x + 9 - (3^x - 9) = 3^x + 9 - 3^x + 9 = 18$.
При условии $x > 2$ исходное уравнение принимает вид:
$18 = |x - 6| + x$
Для раскрытия модуля $|x-6|$ нужно рассмотреть два подслучая.
Подслучай 2a: $2 < x < 6$.
В этом интервале $x - 6 < 0$, поэтому $|x - 6| = -(x - 6) = 6 - x$.
Уравнение становится:
$18 = (6 - x) + x$
$18 = 6$
Получено неверное равенство, значит в интервале $(2, 6)$ решений нет.
Подслучай 2b: $x \ge 6$.
В этом интервале $x - 6 \ge 0$, поэтому $|x - 6| = x - 6$.
Уравнение становится:
$18 = (x - 6) + x$
$18 = 2x - 6$
$24 = 2x$
$x = 12$
Корень $x=12$ удовлетворяет условию $x \ge 6$, следовательно, является решением.

Объединяя все найденные решения, получаем два корня.

Ответ: $\{1; 12\}$.