Номер 367, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $x^2 - 5|x| = 0$

Поскольку $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать уравнение, заменив $x^2$ на $|x|^2$:
$|x|^2 - 5|x| = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = |x|$. Так как модуль числа не может быть отрицательным, $y \ge 0$.
$y^2 - 5y = 0$
Вынесем $y$ за скобки:
$y(y - 5) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $y_1 = 0$ и $y_2 = 5$. Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену:
1. Если $|x| = 0$, то $x = 0$.
2. Если $|x| = 5$, то $x = 5$ или $x = -5$.
Таким образом, уравнение имеет три решения.
Ответ: $-5; 0; 5$.

2) $2x^2 + |x| - 3x = 0$

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$.
Уравнение принимает вид:
$2x^2 + x - 3x = 0$
$2x^2 - 2x = 0$
$2x(x - 1) = 0$
Отсюда получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$, поэтому являются решениями исходного уравнения.
Случай 2: $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$.
Уравнение принимает вид:
$2x^2 - x - 3x = 0$
$2x^2 - 4x = 0$
$2x(x - 2) = 0$
Отсюда получаем корни $x_3 = 0$ и $x_4 = 2$. Ни один из этих корней не удовлетворяет условию $x < 0$, поэтому они не являются решениями исходного уравнения.
Объединяя результаты, полученные в первом случае, находим все решения.
Ответ: $0; 1$.

3) $x^2 + |x + 4| = 4$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения под модулем.
Случай 1: $x + 4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$. Тогда $|x + 4| = x + 4$.
Уравнение принимает вид:
$x^2 + x + 4 = 4$
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge -4$, следовательно, являются решениями.
Случай 2: $x + 4 < 0$, то есть $x < -4$. Тогда $|x + 4| = -(x + 4) = -x - 4$.
Уравнение принимает вид:
$x^2 - (x + 4) = 4$
$x^2 - x - 4 = 4$
$x^2 - x - 8 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 1 + 32 = 33$.
Корни: $x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2}$.
Рассмотрим корень $x_3 = \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$. Поскольку $\sqrt{33} > \sqrt{25}=5$, то $x_3 > \frac{1+5}{2} = 3$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < -4$.
Рассмотрим корень $x_4 = \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$. Поскольку $5 < \sqrt{33} < 6$, то $-5 > -\sqrt{33} > -6$, значит $-4 > 1-\sqrt{33} > -5$, и $-2 > \frac{1-\sqrt{33}}{2} > -2.5$. Этот корень также не удовлетворяет условию $x < -4$.
Таким образом, во втором случае решений нет.
Ответ: $-1; 0$.

4) $x^2 - |x - 5| = 5$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$. Тогда $|x - 5| = x - 5$.
Уравнение принимает вид:
$x^2 - (x - 5) = 5$
$x^2 - x + 5 = 5$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Ни один из них не удовлетворяет условию $x \ge 5$.
Случай 2: $x - 5 < 0$, то есть $x < 5$. Тогда $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$.
Уравнение принимает вид:
$x^2 - (5 - x) = 5$
$x^2 + x - 5 = 5$
$x^2 + x - 10 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 1 + 40 = 41$.
Корни: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}$.
Рассмотрим корень $x_3 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{2}$. Поскольку $6 < \sqrt{41} < 7$, то $5 < -1+\sqrt{41} < 6$, и $2.5 < \frac{-1+\sqrt{41}}{2} < 3$. Этот корень удовлетворяет условию $x < 5$.
Рассмотрим корень $x_4 = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}$. Он очевидно отрицателен, поэтому также удовлетворяет условию $x < 5$.
Таким образом, оба корня, полученные во втором случае, являются решениями.
Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{41}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{41}}{2}$.